12 Náhodný proces, filtrace, martingál

Question 1

Náhodný proces

Answer 1

Nechť (Omega, A, P) je pravděpodobnostní prostor a T je indexová množina. Náhodný proces {X(w,t); t z T} je zobrazení X: Omega x T -> R, které je A-měřitelné

Question 2

Trajektorie

Answer 2

X(t) = X(t,w) pro pevné w

Question 3

Náhodná veličina

Answer 3

X(w) = X(t,w) pro fixní t

Question 4

Charakteristiky náhodného procesu

Answer 4

mi(t) = E(X(t))
var(X(t)) = gamma(t,t)
gamma(s,t) = cov(X(s),X(t))
ro(s,t) = cor(X(s), X(t))

Question 5

Distribuční funkce náhodného procesu

Answer 5

Systém funkcí Ft(X) = Ft1,…,tn(x1,…,xn) = P(X(t1) <= x1, …, X(tn) <= xn) pro n z N, …

Question 6

Rozdělení pravděpodobnosti náhodného procesu

Answer 6

PX(t)(B) = P(X-1(B,t)) = P({w: X(w,t) v B}) pro B z Borel a t z T

Question 7

Kolmogorovy podmínky

Answer 7

symetrie: pro libovolnou permutaci indexů platí že distribuční funkce s prohozenými argumenty jsou si rovny
konzistence: pro libovolné t platí lim Ft1,…,tn,t(x1,…,xn, x) = Ft1,…,tn(x1,…,xn)

Question 8

Kolmogorova věta

Answer 8

K systému funkcí Ft(x) splňující kolmogorovy podmínky existuje pravděpodobnostní prostor a na něm náhodný proces {X(t)} takový, že Ft(x) je jeho systém distribučních funkcí.

Question 9

Filtrace

Answer 9

Filtrace pravděpodobnostního prostoru je systém množin Ft splňující pro všechna s,t >= 0:
Ft je sigma algebra
Ft <= A
s<=t: Fs <= Ft

Question 10

Adaptace vzhledem k filtraci

Answer 10

Náhodný proces je adaptovaný vzhledem k filtraci Ft pokud pro všechna t>=0, B z Borel: {w: X(t,w) z B} náleží Ft

Question 11

Přirozená filtrace

Answer 11

Přirozená filtrace A vzhledem k náhodnému procesu je filtrace FtX = sigma(X-1(B,s); s<=t, B z Borel) pro všechna T

Question 12

Historie

Answer 12

Historie náhodného procesu je přirozená filtrace A vzhledem k danému procesu

Question 13

Martingal

Answer 13

Náhodný proces je martingal vzhledem k filtraci Ft, pokud:
M je adaptovaný vzhledem k Ft
E(|M(t)|) < nekonečno
E(M(t)|Fs) = M(s)

Question 14

Submartingal

Answer 14

E(M(t)|Fs) >= M(s)

Question 15

Supermartingal

Answer 15

E(M(t)|Fs) <= M(s)

Question 16

Stopping time

Answer 16

Náhodná veličina tau se nazývá stopping time vzhledem k filtraci Ft pokud {tau<=t} náleží Ft pro všechna t>=0

Náhodný proces I{t < tau} musí být adaptovaný vzhledem k filtraci Ft

Lze ho vnímat jako náhodný čas, v němž sledovaný náhodný proces splní určitou podmínku, tzv. pravidlo zastavení, založenou na současném a historickém chování procesu

Question 17

First hitting time

Answer 17

taua = min{t >= 0: X(t) = a}

Question 18

First passage time

Answer 18

taua = min{t >= 0: X(t) >= a}