04 - Application de la seconde loi de Newton à la chute

Question 0

Chute libre verticale sans vitesse initiale (axe descendant) :

Answer 0

z = 1/2.gt²

Question 1

Pourquoi la chute libre verticale est un MRUA ?

Answer 1

• sa trajectoire décrit une droite

- a = cste

Question 2

Chute libre avec vitesse initiale (axe descendant) :
Cas 1 : l’objet est lancé vers le bas avec une vitesse v₀ non nulle

Équation horaire ?

Answer 2

z = 1/2.gt² + v₀.t

Question 3

Chute libre avec vitesse initiale (axe descendant) :
Cas 1 : l’objet est lancé vers le bas avec une vitesse v₀ non nulle

Hauteur de chute ?

Answer 3

h = 1/2.gt[c]² + v₀.t (t[c] est le temps de chute)

Question 4

Chute libre avec vitesse initiale (axe descendant) :
Cas 2 : l’objet est lancé vers le haut avec une vitesse v₀ non nulle

Equation horaire ?

Answer 4

z = 1/2.gt² - v₀.t

Question 5

Chute libre avec vitesse initiale :
Cas 2 : l’objet est lancé vers le haut avec une vitesse v₀ non nulle

Temps de montée ?

Answer 5

t = v₀ / g

Question 6

Chute libre avec vitesse initiale :
Cas 2 : l’objet est lancé vers le haut avec une vitesse v₀ non nulle

Hauteur maximale (flèche) ?

Answer 6

h(max) = v₀² / 2g

Question 7

Chute libre avec vitesse initiale :
Cas 2 : l’objet est lancé vers le haut avec une vitesse v₀ non nulle

Temps de repassage ?

Answer 7

t(repassage) = 2v₀ / g

Question 8

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv

Equation différentielle ?

Answer 8

dv/dt + (K/m)v = g (1 - ρ[fluide]/ρ)

dv/dt + (K/m)v = g (m - m[fluide] ) / m

Question 9

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv

Pourquoi cette situation ne correspond pas à une chute libre ?

Answer 9

Le poids n’est pas la seule force agissant sur le système :

a⃗ ≠ g⃗

Question 10

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv

Solution de l’équation différentielle ?

Answer 10

De la forme v(t) = A + Be ̄ᶛᵗ

v(t) = mg/K (1 - ρ[fluide]/ρ) (1 - e^(-Kt/m) )

Question 11

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv

Quel est la valeur de la vitesse limite ?

Answer 11

Dans l’équation différentielle de la vitesse :
La vitesse limite est atteinte quand dv/dt = 0
d’où v[lim] = mg/K (1 - ρ[fluide]/ρ)

Question 12

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv

(Méthode des 50%) À quoi correspond la valeur τ.ln2 ≃ 0,7t ?

Answer 12

Au temps correspondant à 50% de v[lim], càd la durée au bout de laquelle la vitesse a atteint la moitié de sa valeur

Question 13

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv

Au bout d’une durée de quel ordre le régime est dit asymptotique / permanent (MRU) ?

Answer 13

Au bout d’une durée de l’ordre de 5τ

Question 14

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv

Accélération ?

Answer 14

a = dv/dt = ( v[lim] / τ ).e^(-t/τ) = g.(1 - ρ[fluide]/ρ).e^(-t/τ)

Avec a[max] = v[lim] / τ = g.(1 - ρ[fluide]/ρ)

Question 15

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv

Constante de frottement ?

Answer 15

f⃗ = -Kv⃗
K = 6πrη
K est le coeff. de frottement

Question 16

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv

Equation différentielle en négligeant la poussée d’Archimède ?

Answer 16

dv/dt + (K/m)v = g

Question 17

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv

Solution de l’équation différentielle en négligeant la poussée d’Archimède ?

Answer 17

v(t) = v[lim].( 1 - e^(-t/τ) )

où v[lim] = mg/K et τ = m/K

Question 18

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv

Accélération en négligeant la poussée d’Archimède ?

Answer 18

a(t) = a[max].e^(-t/τ)

où a[max] = v[lim] / τ = g

Question 19

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv²

Equation différentielle ?

Answer 19

dv/dt + (K/m)v² = g (1 - ρ[fluide]/ρ)

Question 20

Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv²

Vitesse limite ?

Answer 20

La vitesse limite est atteinte quand dv/dt = 0,

soit v[lim] = √ ( mg/K.1-ρ[fluide]/ρ )

Question 21

Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)

Equation de la trajectoire ?

Answer 21

z = -1/2 g x²/v₀².cos²α + x.tanα

Question 22

Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)

Portée x[p] telle que z = 0 ?

Answer 22

x[p] = v₀².sin2α / g = 2v₀ ͯv₀ʸ / g

Remarque :
sin2α = 2 sinα . cosα

Question 23

Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)

A quelle condition la portée est maximale ?

Answer 23

La portée est maximale pour α = π/4 (45°)

soit x[p]max = v₀² / g

Question 24

Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)

Flèche z[f] telle que vᶻ = 0 ?

Answer 24

z[f] = v₀².sin²α / 2g

Question 25

Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)

À quelle condition la flèche est maximale ?

Answer 25

La flèche est maximale pour α = π/2

soit z[f]max = v₀² / 2g

Question 26

Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)

Relation entre flèche et portée ?

Answer 26

z[f] / x[p] = tanα / 4
x[p] = 2x[f]
z[f] / x[f] = tanα / 2

Question 27

Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)

Temps de chute ?

Answer 27

t[chute] = x[p] / v₀.cosα = 2v₀.sinα / g
t[chute]² = 8z[f] / g

Question 28

Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)

Vitesse initiale ?

Answer 28

v₀² = g.x[p] / sin2α

puisque x[p] = v₀².sin2α / g

Question 29

Chute parabolique - Cas 2 (h, v₀)

Equation de la trajectoire ?

Answer 29

z = -1/2 g x²/v₀² + h

Question 30

Chute parabolique - Cas 2 (h, v₀)

Flèche ?

Answer 30

z[f] = h

Question 31

Chute parabolique - Cas 2 (h, v₀)√

Portée ?

Answer 31

x[p] = v₀ √(2h/g)

Question 32

Chute parabolique - Cas 2 (h, v₀)

Temps de chute ?

Answer 32

t[chute] = √(2h/g)

Question 33

Chute parabolique - Cas 2 (h, v₀)

Vitesse initiale ?

Answer 33

v₀² = gp² / 2h

Question 34

Chute parabolique - Cas 3 (h, α, v₀)

Equation de la trajectoire ?

Answer 34

z = -1/2 g x²/v₀².cos²α + x.tanα + h

Question 35

Chute parabolique - Cas 3 (h, α, v₀)

Flèche ?

Answer 35

z[f] = F + h = v₀².sin²α / 2g + h

Question 36

Chute parabolique - Cas 3 (h, α, v₀)

Portée ?

Answer 36

x[p] = P/2 ( 1 + √(1+h/F) )

Question 37

Chute parabolique - Cas 3 (h, α, v₀)

Temps de chute ?

Answer 37

t[chute] = x[p] / v₀.cosα

Question 38

Chute parabolique - Cas 3 (h, α, v₀)
Vitesse initiale (de façon générale) ?

Answer 38

v₀² = gP² / P.sin2α+2hcos²α

Question 39

Chute parabolique - Cas 3 (h, α, v₀)

Vitesse initiale si α = 45° = π/4 ?

Answer 39

v₀² = gP / 1+h/P