3 Räume der Funktionalanalysis Flashcards
1
Q
(D) Banachraum
(Bsp) Unsere vier Standard-Banachräume
A
- Banachraum
Normierter |K-Vektorraum (V, ∥ · ∥) heißt Banachraum, wenn er als metrischer Raum vollständig ist (alle Cauchy-Folgen konvergieren). - Folgenräume l^p(N), l^∞(N)
Folgenraum: Vektorraum, deren Elemente Zahlenfolgen sind. Wird durch l^p-Norm ||(xn)n||_l^p := (∑n|xn|^p)^1/p zu einem Banachraum.
- μ Zählmaß auf M.
- l^p(M) := L^p(M, μ) = L^p(M, μ).- p ∈ [1, ∞): l^p(M) = {f : M → C | ∑m∈M |f(m)|^p < ∞}
- p=∞: l^∞(M) = {f : M → C | supm∈M |f(m)| < ∞}.
- Schachtelung: l^p(M) ⊆ l^q(M) für p < q ∈ [1,∞].
- Spezialfall M = |N: Abkürzung l^p ≡ l^p(N).
- C(I,K), L(l^2(N))
2
Q
(D, Bsp) Operator, Raum der stetigen, unitär, normal, (un)beschränkt, adjungiert, selbstadjungiert (Spektrum)
(S, Bsp) L(V,W) ist Banachraum*
A
- Operator, Raum der stetigen
Ein Operator ist ein linearer Endomorphismus eines K-Vektorraums (Bsp: Differentialoperator).
L(V):=L(V,V) ist der Raum der stetigen=beschränkten Operatoren auf V (Bsp: L(H)).
- unitär: UU* = UU = 1 (erhält Skalarprodukt: ⟨Uφ, Uψ⟩ = ⟨φ, ψ⟩)
- normal: UU = UU (ER orthogonal zueinander); Gegenbeispiel: nilpotente Matrix kein normaler Operator
- selbstadjungiert: U = U (reelles Spektrum, insbes. alle EW reell)
- (un)beschränkt: Operatornorm (un)endlich
Adjungierter Operator:
- im Reellen: adjungiert = transponiert
- im Komplexen: adjungiert = transponiert + komplex konjugiert
- ⟨O∗φ, ψ⟩ = ⟨φ, Oψ⟩
- Selbstadjungierte Operatoren haben ein reelles Spektrum, insbesondere sind alle Eigenwerte reell.
- L(V,W) ist Banachraum*
Sind V, W normierte R/C-Vektorräume und W vollständig, dann ist L(V,W) ein Banachraum. Bsp: L(H).
3
Q
(D) algebraischer/topologischer Dualraum
(S) Stetigkeit und Beschränktheit
(A, Bsp) echter Unterraum
A
- algebraischer und topologischer Dualraum
- V* := Hom(V,K)
- V ′ := L(V, K) ⊆ V* topologischer Dualraum von V - Stetigkeit und Beschränktheit
Lineare Abbildung A : V -> W zwischen normierten K-Vektorräumen genau stetig, wenn beschränkt. - Echter Unterraum
Der topologische Dualraum ist ein echter Unterraum des algebraischen DR: Betrachte I:=[0,1], V:=C∞(I,R), fn(x):=sin(2πnx), A : V -> V, A(f) = f’.
4
Q
(D) punktetrennend
K) Hahn-Banach (punktetrennend
A
Menge F von Funktionen f : X → K auf Menge X heißt punktetrennend, wenn es für alle x1 ≠ x2 ein f ∈ F gibt mit f(x1) ≠ f(x2).
(X, ∥ · ∥X ) norm. K-VR => (X′, ∥ · ∥X′ ) punktetrennend, […]
5
Q
(D, Bsp) topologischer Vektorraum
(D) normierter Vektorraum
(Bsp) topologischer Vektorraum der kein normierter Vektorraum ist
A
- topologischer Vektorraum
K-VR V über Körper K = R oder C, der gleichzeitig ein topologischer Raum ist, heißt topologischer Vektorraum, wenn Addition und Skalarmultiplikation bzgl. der entsprechenden Topologie (Standardtopologie, Produkttopologie) stetig sind. - normierter Vektorraum
- Ein Paar (V,||•||) aus VR und Norm
- Jeder normierte VR ist topologischer VR
- topologischer Vektorraum der kein normierter Vektorraum ist: Schwartz-Raum
6
Q
(S) Jensen-Ungleichung + Bsp
(S) Hölder-Ungleichung
(K) Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Minkowski-Ungleichung
A
1. Jensen-Ungleichung (M, M, μ) Wahrscheinlichkeitsraum, g ∈ L^1R(M, μ), ⟨g⟩ := ∫ g dμ, C : R → R konvex (C ◦ g) ≥ C((g)) -- M=[0,1], μ Lebesguemaß ∫M g^2 dµ ≥ (∫M g dµ)^2
- Hölder-Ungleichung
p, q ∈ [1, ∞] dual, d.h. 1/p + 1/q = 1/r, f ∈ L^p(M,μ) und g ∈ L^q(M,μ). Dann ist f*g ∈ L^r(M,μ) und
∥f · g∥r ≤ ∥f∥p · ∥g∥q. - Cauchy-Schwarz-Ungleichung
⟨f, g⟩ := ∫M f · g– dμ Skalarprodukt.
|⟨f, g⟩| ≤ ∥f ∥2 · ∥g∥2
(folgt aus Hölder für p=q=2) - Minkowski-Ungleichung
p ∈ [1, ∞], f, g ∈ L^p(M, μ).
∥f + g∥_p ≤ ∥f∥p + ∥g∥p.
(MKU ist eine Dreiecksungleichung)
7
Q
(D) L^p-Raum, L^∞
Inklusion der L^p-Räume
(S) Riesz-Fischer
A
(M,M,μ) ein Maßraum, K = R oder K = C.
- 1 ≤ p < ∞: L^p-Raum L^pK(M, μ) ist K-Vektorraum der Äquivalenzklassen μ–fast überall übereinstimmender messbarer Funktionen f : M → K, für die gilt
∥f ∥p := ( ∫M | f |^p dμ)^1/p < ∞.
- p = ∞: L^p-Raum L^∞(M,μ) ist Raum der Äquivalenzklassen der wesentlich beschränkten Funktionen, (= messbare Funktionen f : M → K, für die ein c>0 existiert mit μ({m∈M ||f(m)|>c}) = 0)
∥f ∥∞ := inf{c > 0 | |f(m)| ≤ c für μ–fast alle m ∈ M}.
- Inklusion
Für L^p-Räume unbeschränkter Definitionsbereiche gilt
p ≠ q ∈ [1,∞] => L^p(R^d) /⊆ L^q(Rd)
4. Riesz-Fischer Es sei (M,M,μ) ein Maßraum und p ∈ [1,∞]. Dann ist Lp(M, μ) ein Banachraum.
8
Q
- Summe von Hilberträumen (alg. direkte Summe, orthogonale direkte Summe, Skalarprodukt auf odS und Konvergenz)
- Tensorprodukt von Hilberträumen (alg. Tensorprodukt, Skalarprodukt, Vervollständigung)
- Fockraum (Sn, An, Tensoralgebra, allgemein, bosonisch, fermionisch)
- Verträglichkeit von Separabilität mit Konstruktionen (3)
A
- Summe von Hilberträumen
- algebraisch: ⊕Vi := {(vi)i∈I ∈ ∏Vi | vi = 0 für fast alle i∈I}
- orthogonal: H := {(vi)i∈I ∈ ∏Vi | ∑ ∥vi∥i^2 kleiner ∞} mit Hilberträumen (Vi,(·,·)i)
- Skalarprodukt auf H: ( (vi)i∈I,(wi)i∈I ) := ∑ (vi,wi)i (konvergiert absolut nach Cauchy-Schwarz-UG)
- Vollständigkeit: warsl weil Teilraum des Tensorprodukts - Tensorprodukte von Hilberträumen
- b1^(j1) ⊗ . . . ⊗ bn^(jn)
- Skalarprodukt ist bilineare Fortsetzung von (v1 ⊗ … ⊗ vn, w1 ⊗ … ⊗ wn) := ∏(vi,wi)i
- Vollständigkeit durch Vervollständigung des metrischen Raums - Fockraum
Fockraum F(H) := ⊕n∈N0 H^⊗n
bosonischer Fockraum FS(H) := ⊕n∈N0 SnH^⊗n
fermionischer Fockraum FA(H) := ⊕n∈N0 AnH^⊗n
Sn := 1/n! ∑π∈Sym(n) U(π)
An := 1/n! ∑π∈Sym(n) sgn(π) U(π)
U : Sym(n) → L(V^⊗n) unitäre Darstellung der symmetrischen Gruppe
9
Q
(A) Skalarprodukt»_space; Norm»_space; Metrik»_space; Topologie
A
- Skalarprodukt induziert Norm: ||x|| = √(x,x).
- Norm induziert Metrik: d(x,y) = ||x-y||.
- Metrik induziert Topologie: (X,d) metrischer Raum, O = {O⊆X | ∀x∈O : ∃ε>0 mit Bε(x)⊆O} mit Bε(x) = {y in X : d(x,y)
10
Q
(D) Hilbertraum (Isomorphie falls endlich + Skalarprodukt)
(D) Prähilbertraum
(D) Skalarprodukt
(A) Existenz und Länge von ONBs in Hilberträumen und PHR.
A
- Hilbertraum
- Prähilbertraum, der als metrischer Raum vollständig ist
- falls der Hilbertraum endlich-dimensional ist, ist er isomorph zum Vektorraum C^n mit Skalarprodukt (φ,ψ) = ∑φk ψk– - Prähilbertraum
Vektorraum mit Skalarprodukt. - Skalarprodukt
- Ein Skalarprodukt ist eine hermitesche Sesquilinearform mit (v, v)≥0 und (v, v)=0 genau dann, wenn v=0.
- Eine hermitesche Sesquilinearform (kurz: hermitesche Form) ist eine Sesquilinearform mit (v, w)– = (w, v) (=hermitesch).
- Eine Sesquilinearform ist eine Abbildung VxW→C, die linear im ersten und semilinear im zweiten Argument ist.
(A) Existenz und Länge von ONBs in HR und PHR
- Nicht jeder PHR hat eine ONB, wenn separabel, dann schon
- Jeder Hilbertraum hat eine ONB
- HR ist separabel <=> HR hat abzählbare ONB
11
Q
(D) schwache Topologie, schwach-*-Topologie
schwach-*-Topologie, Hausdorffraum, Abzählbarkeitsaxiom
Der wohl wichtigste Satz für Dualräume normierter Vektorräume
Hahn-Banach punktetrennend
A
X, Y K–Vektorräume, ⟨·, ·⟩ : X × Y → K bilineare Abbildung
- schwache Topologie
- induziert durch Y und ⟨·, ·⟩
- gröbste Topologie auf X, bezüglich derer die Abbildungen ⟨·, y⟩ : X → K (y ∈ Y ) stetig sind.
- wird mit σ(X, Y ) ≡ σ(X, Y, ⟨·, ·⟩) bezeichnet. - schwache Topologie, schwach--Topologie
X topologischen K–Vektorraum
die schwache Topologie auf X die durch den topologischen Dualraum X′ von X induzierte schwache Topologie σ(X, X′, ⟨·, ·⟩), mit ⟨x, x′⟩ := x′(x). Die schwach--Topologie auf X′ ist die Topologie σ(X′, X, ⟨·, ·⟩). - schwach--Topologie, Hausdorff, AA
Topologische K–Vektorraum X′ mit schwach--Topologie ist Hausdorffraum (Hahn-Banach punktetrennend), erfüllt aber nicht das erste AA. - Banach-Alaoglu
Für jeden normierten Vektorraum (X, ∥ · ∥X ) ist Einheitskugel des topologischen Dualraums (X′, ∥ · ∥X′) in der schwach-∗–Topologie kompakt. - Hahn-Banach punktetrennend
(X, ∥ · ∥X) normierter K-Vektorraum => (X′, ∥ · ∥X′ ) punktetrennend
