4 Grundbegriffe der Fourier-Analysis

Question 1

(D, Bsp, GBsp) lokalkompakte abelsche Gruppe

Answer 1

1. lokalkompakte abelsche Gruppe
   abelsche topologische Gruppe, die lokalkompakt ist
   - topologische Gruppe: Gruppenverknüpfung und Inversion stetig bzgl. der Topologie
   - lokalkompakt: Jede Umgebung eines Punktes enthält eine kompakte Umgebung
2. Beispiel, Gegenbeispiel
   R^d mit der Standardtopologie
   Q als Gegenbeispiel

Question 2

(D) Fourier-Transformation
(D) Haar-Maß, Charakter, (D) duale Gruppe, Beispiel
(D) Fourier-Transformation auf L^2
Inklusion

Answer 2

1. Fourier-Transformation
   F1 : L^1(G,µ) → L^∞(G^,µ^), f → f^, f^(k) = ∫G f(x) χk(−x) dμ(x).
2. Haar-Maß:
   Für lokalkompakte abelsche Gruppe G existiert auf σ–Algebra B der Borel-Mengen von G ein bis auf Normierung eindeutiges translationsinvariantes reguläres Borel-Maß: Haar-Maß
   μ : B → [0, ∞] , μ(B + x) = μ(B) (B ∈ B, x ∈ G) mit μ(B) > 0 für B≠∅ offen.
3. Charakter, duale Gruppe
   - Funktion χ : G → S^1 heißt Charakter von G, wenn χ stetiger Gruppenhomomorphismus ist: χ(x + y) = χ(x)χ(y) (x,y ∈ G)
   - abelsche Gruppe (G^,◦): duale Gruppe von (G,+) = Menge der Charaktere von G
4. Beispiel
   (R^d, +) mit Standardtopologie ist selbstdual. Haarmaß ist Lebesgue-Maß λ^d.
5. Fourier-Transformation auf L^2
   Da Menge {…} dicht ist, kann FT auf L^2 fortgesetzt werden.
6. Inklusion
   Für L^p-Räume unbeschränkter Definitionsbereiche sind i.A. nicht ineinander enthalten.

Question 3

(D) Schwartzraum

Dichtheit

Answer 3

1. Schwartzraum
   S(R^d) := {f ∈ C∞(Rd,C) | ∀α,β ∈ N0^d : ∥f∥α,β < ∞}
   mit Halbnormen ∥f∥α,β := sup_x∈R^d |x^α D^β f(x)| (α,β ∈ N0^d).
2. Dichtheit
   S(R^d) liegt dicht in L^p(R^d) für p≠∞:
3. L^p-Funktion kann durch Funktion mit kompaktem Träger approximiert werden.
4. Funktion mit kompaktem Träger kann durch Faltung mit δ-Scharen approximiert werden
5. Also liegt Schwartz-Raum S(R^d) dicht in L^p-Raum L^p(R^d)

Question 4

(D) Fourier-Transformierte einer Schwartzfunktion
(D) inverse Fourier-Transformierte einer Schwartzfunktion
(S) FT und inverse FT einer Schwartzfunktion

(A) eA ist Schwartzfunktion, Norm

(A) FT auf Schwartzraum und Differentialoperator/Multiplikationsoperator

Answer 4

f ∈ S(R^d)

1. Fourier-Transformierte einer Schwartzfunktion
   ^f(k) := (2π)^-d/2 ∫R^d f(x) e^-i(k,x) dx (k∈R^d)
2. inverse Fourier-Transformierte einer Schwartzfunktion
   ˇf(x) := (2π)^-d/2 ∫R^d f(k) e^i(k,x) dk (x∈R^d)
3. eA ist Schwartzfunktion
   Haben gezeigt, dass eine bestimmte e-Funktion eine Schartzfunktion ist, die L^2-Norm 1 hat. (Die eA heißen scheinbar Gaußfunktionen; scheinbar Verbindung zur Normalverteilung)
4. FT und inverse FT einer Schwartzfunktion
   Fourier-Transformation S(R^d) → S(R^d), f → f ˆ und inverse Fourier-Transformation f → f ˇ sind lineare Homöoomorphismen und zueinander invers.
   (dh die FT bildet den SR homöomorph auf sich selbst ab; L^1 wird hingegen auf L^∞ abgebildet)
5. FT auf Schwartzraum und Differentialoperator/Multiplikationsoperator
   Unter FT auf S(R^d) wird der Laplaceoperator zum Multiplikationsoperator

Question 5

(D) Wp,q (KM, Isometrien), Weyl-Operatoren, Schwartzfunktionen

(L) Weyl-Operatoren und Fourier-Transformation
Beweis mithilfe von BLT

Answer 5

1. Wp,q
   Wp,q : Abb(Rd, C) → Abb(Rd, C) , (Wp,qf)(x) := e^ı(p,x) f(x − q).
   - klassischen Mechanik: q Ortsvektor, p Impulsvektor; Wp,q Verschiebung um den Vektor (p, q) im Phasenraum R^2d.
   - Isometrien auf L^p(R^d)
2. Weyl–Operatoren
   = Fall L^2(R^d): Wp,q wirkt als unitäre Abbildung, mit adjungierten (= inversen) Abbildung
   Wp,q^* = e^i(p,q) W−p,−q, d.h. (Wp,q^u, v) = (u, Wp,q v) (u,v ∈ H).
   Wp,q, Wp,q^: Weyl–Operatoren
3. Schwartzfunktionen
   Schwartzfunktionen f ∈ S(Rd) werden auf Schwartfunktionen Wp,qf abgebildet.
4. Weyl-Operatoren und Fourier-Transformation
   H = L^2(R^d). Dann gilt Vertauschungsgesetz
   FWp,q = e^i(p,q) W−q,p F (p, q ∈ Rd)
   zwischen Weyl-Operatoren und Fourier-Transformation.
5. Satz über beschränkte lineare Abbildungen
   V–, W Banachräume über K und V ⊆ V– dichter UVR. Dann: jede beschränkte lineare Abbildung T : V → W
   kann eindeutig zu beschränkter linearer Abbildung T– : V– → W fortgesetzt werden (mit gleicher Operatornorm).

Question 6

(L) + Riesz-Thorin => HY-UG

(A) Gegenbeispiel für p>2

Answer 6

1. Lemma
   Für jeden Maßraum (M,M,μ) und p0 ≤ p ≤ p1 ∈ [1,∞] ist L^p0(M, μ) ∩ L^p1(M, μ) ein (für p kleiner ∞ dichter) Untervektorraum von L^p(M, μ).
2. Riesz-Thorin (grob)
   (M, μ), (N, ν) σ–endliche Maßräume,
   T : L^p0(M,μ) ∩ L^p1(M,μ) → L^q0(N,ν) ∩ L^q1(N,ν)
   lineare Abbildung, für die es Mi > 0 gibt, so dass
   ∥ Tf ∥qi ≤ Mi ∥ f ∥pi, i ∈ {0,1}.
   Dann gilt Tf ∈ L^qt(N,ν), t ∈ (0,1).

=> 3. Hausdorff-Young-Ungleichung
G lokalkompakte abelsche Gruppe, μ Haar-Maß. Fourier- Transformation lässt sich eindeutig zu beschränkter linearer Abbildung Fp : L^p(G, μ) → L^q(G^, μ^)
fortsetzen, falls p ∈ [1, 2] und 1/p + 1/q = 1 ist.

4. Gegenbeispiel
   Schwartzfunktionen auf selbstdualen Gruppe (R, +)
   fa ∈ S(R) , fa(x) := exp(−(1+ıa)x2) mit a ∈ R,
   dass die HY-UG i.A. nicht p > 2 gilt.

Question 7

(D) Raum der temperierten Distributionen, enthaltene Räume

(D) Fourier-Transformierte einer temp. Distribution

(D) Def. der Ableitung => Sobolev-Räume
(A) Sobolev-Raum ist Hilbertraum

Answer 7

1. Raum der temp. Distributionen
   S’(R^d) topologischer Dualraum von S(R^d)
   stetige lineare Funktionale l : S(Rd) → C.
2. enthaltene Räume
   L^p(R^d) (p ∈ (1, ∞)) und damit auch Schwartzraum S(Rd)
3. FT einer tD
   T^(g) := T(g^) (g ∈ S(Rd))
   Fourier-Transformierte T^ einer temperierten Distribution T ∈ S′(Rd)
4. Fortsetzung
   Fourier-Transformation auf S′(R^d) setzt Fourier-Transformation auf S(R^d) im Sinne von
   S(R^d) → S′(R^d), f → l_f
   fort und ist linearer Homöomorphismus auf S′(R^d).
5. Def. der Ableitung => Sobolev-Räume
   Diese distributionelle Ableitung ermöglicht die Definition der etwa in der Theorie partieller Differentialgleichungen benutzten Sobolev-R ̈aume. Wir defi-
   nieren nur die fu ̈r uns wichtigen Sobolev-R ̈aume der Ordnung l ∈ N0
   Hl(Rd):={φ∈L2(Rd)|∀α∈Nd0 mit|α|≤l: Dαφ∈L2(Rd)}
6. (A) Sobolev-Raum ist Hilbertraum