4. summor och talföljder

Question 1

Summatecken, termer, summationsindex, startvärde, slutvärde

Aritmetisk summa (aritmetiskt medelvärde)

Geometrisk summa (geometriskt medelvärde)

Answer 1

∑ , k=1 , 100 , k²

differensen mellan två på varandra följande termer är konstant = (n∙(n+1)) / 2

kvoten av tvp på varandra följande tal är konstant
= (x↑(n+1) - 1) / (x-1)

Question 2

k-fakultet (antalet sätt att välja k element från en mängd, där ordningen spelar roll)

Answer 2

k! =  k ∙ (k-1) ∙ ... ∙ 2 ∙ 1  då k>1
0! = 1

Question 3

Definition 4.1 : Binomialkoefficient

(antalet sätt att välja ut k objekt bland n möjliga, utan hänsyn till ordning). Heltal

Answer 3

För heltal n, k>=0 med n≥k definieras
(n över k) = n! / ((k! (n-k!)
(n över k) = ( n över (n-k) )

Question 4

Sats 4.3: Binomialsatsen

Bevis…

Answer 4

för varje heltal n>=0 gäller
(a+b)↑n = 
a↑n 
\+ (n över 1) ∙ a↑(n-1) ∙ b↑1 
\+ (n över 2) ∙ a↑(n-2) ∙ b↑2 
\+ ... 
\+ (n över (n-1))*a↑(n-1)*b↑(n-1) 
\+ b↑n

= k=0, n, ∑ (n över k) ∙ a↑(n-k) ∙ b↑k

Question 5

sats 4.4 (n över k) =
(välj k element ur en mängd med n)
Bevis

Answer 5

(n över k) = (n-1 över k) + (n-1 över k-1)

Pascals triangel

Question 6

Talföljd
aritmetisk talföljd
geometrisk talföljd
Fibonacciföljden

Answer 6

(sekvens av reella tal)
(k )↑∞↓k=0
(5 ∙ (-2↑k) )↑∞↓k=0
F↓0 = 0, F↓1 = 1, ( F↓k+2 = F↓k+1 + F↓k ), k>=0

Question 7

summaföljd

Answer 7

summan av elementen i en talföljd upp till index

Question 8

Induktionsprincipen (om vi antar att det är sant för ett godtyckligt naturligt tal, visa att det då är sant för nästa också)
(induktionsantagandet)
(används för att verifiera påståenden, som beror av heltal)

Answer 8

Låt P(n) vara ett påstående som beror av heltalet n, och antag att vi kan visa att:
_ P(n↓0) är sant för något startvärde n↓0
_ om P(p) är sant så är även P(p+1) sant, för alla p>=n↓0
Då är påståendet P(n) sant för alla heltal n>=n↓0