6 - Teorie polí (minimální pole, rozšíření pole, konečná pole a jejich konstrukce)

Question 1

Pole

Answer 1

Pole je komutativní okruh (R, + ,0, − , * ,1) s inverzním a jednotkovým prvkem kde 0≠1 a (R\{0},∗) je abelovská grupa. - nejsou tu triviální dělitelé 0, to je součit dvou nenulových čísel je vždy nenulové číslo
Příklady:
• Množina racionálních čísel Q
• Množina reálných čísel R a její největší algebraické komutativní nadtěleso, množina komplexních čísel Q

Question 2

Podpole

Minimální pole

Rozšíření pole

Answer 2

Podpole
Pokud omezíme nosnou množinu pole a pořád to zůstane pole, je to podpole.

Minimální pole
Pole (K, + ,0, − , * ,1) se nazývá minimální, pokud nemá žádná jiná podpole než sebe sama.
• Pole, ze kterého když cokoliv odebereme tak už to nebude pole.
Každé pole má vždy jediné podpole, které je minimální.

Rozšíření pole
Pokud do pole něco přidáme, a stále to bude pole. Vlastně by se to dalo nazvat nadpole.
• Buďte K,L pole a K podpole pole L. Potom se L nazývá nadpole nebo rozšíření pole K.
• Je-li L nadpole pole K a S⊆L, pak definujeme rozšíření K(S) pole K takto:
○ K(S)≔⋂{E⊆L|E je podpole pole L, které obsahuje K∪S}
Je-li S = u1,…,ur konečné, pak píšeme K(S) = :K(u1,…,ur). Je-li speciálně S = α jednoprvkové, pak píšeme K(S) = :K(α) (jednoduché rozšíření pole K).

Question 3

Konečné pole (Galoisovo pole; GF(p^k))

řád (charakteristika)

Answer 3

Pole, které obsahuje konečný počet prvků je konečné pole.

Charakteristika okruhu char K je velikost množiny obsahující výsledky násobení všech celých čísel jedničkou (pokud je množina konečná, jinak 0).
• char ℤ, ℕ, ℝ = 0 (není konečné)
• char ℤn1) = n, když n-krát přičtu „1“ dostanu „0“.

Konečná tělesa jsou komutativní (konečné těleso je komutativní a naopak, je-li nějaké těleso nekomutativní, nemůže být konečné.)

Question 4

Příklad

Answer 4

Polynom lze vyjadrit jako vektor tak ze kazdy prvek vektoru ti dava koeficient toho polynomu vzhledem k dane polozce baze (Baze (1, alfa)) - Polynom 2alfa + 3 tak je vektor (2,3)

Z5 - to jsou polynomy kde koeficienty tech polynomu jsou 0, 1, 2, 3, 4 - takze treba xˆ10 + 4x + 3, ale 6xˆ4+1 ne

Z5[x], GF(9) = GF(3ˆ2) -> ireducibilní polynom radu 2 protoze 3ˆ2 takze vezmem treba x^2 - x - 1

polynom je druhého stupně, takže {1, x}, nebo {1, alfa}

a teď vyfaktorujes tu mnozinu -> udelas relaci konfruence na te mnozine polynomu podle polynomu co jsme si zvolili (toho ireducibilniho ) -> tridy rozkladu

(proste kazdy polynom modulo ten ireducibilni jednoduse to lz udelat tak ze vis ze pole ma mit 9 prvku kdyz to je GF 9)

takže: 0, 1 a zbytek dopočítáme jako polynom x mod (zbytek po dělení) ireducibilnim polynomem (např. x^5 mod x^2 - x - 1 = 5x + 3 -> 2x + 0 -> (0, 2) (souřadnice)

a v Z2 ty vyjadreni davaji binarni kod - tedy cyklicky kod