7 - Metrické prostory (příklady, konvergence posloupností, spojitá a izometrická zobrazení, úplnost, Banachova věta o pevném bodu).

Question 1

Metrický prostor

Answer 1

Metrický prostor je matematická struktura, pomocí které lze formálním způsobem definovat pojem vzdálenosti.

Na metrických prostorech se poté definují další topologické vlastnosti jako např. otevřenost a uzavřenost množin, jejichž zobecnění pak vede na ještě abstraktnější matematický pojem topologického prostoru.

Metrický prostor je dvojice (X, ϱ), kde X je libovolná neprázdná množina a ρ (“rho”) je tzv. metrika, což je zobrazení
• ϱ:X×X→R0^+
Je to prostě funkce vzdálenosti, která definovaná pro všechny dvojice bodů x,y∈X

Question 2

Axiomy metrického prostoru

Answer 2

1. Axiom nezápornosti: ϱ(x, y)≥0
   
   2. Axiom totožnosti: ϱ(x, y)=0⟺x = y
   3. Axiom symetrie: ϱ(x, y)=ϱ(y, x)

Trojúhelníková nerovnost: ϱ(x, z)≤ϱ(x, y) +ϱ(y, z)

Question 3

Příklady metrických prostorů

Answer 3

Prostor izolovaných bodů (diskrétní)
• X - libovolná neprázdná množina
• ϱ(x,y)={0 pokud x=y, 1 pokud x≠y)

	○ Když jsou body identické vzdálenost je 0, když nejsou, vzdálenost je 1).

Metrický prostor R1 (1-rozměrný)
• X=R
• ϱ(x,y)=|x−y|

Question 4

Úplné metrické prostory

Answer 4

Úplný metrický prostor je metrický prostor, v němž každá cauchyovská posloupnost je konvergentní. Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.

Dále uvažujeme označení χ = (X, ϱ)
χ (“chi”)

Question 5

Cauchyovská (košiovská) posloupnost

Answer 5

Příklad: - Harmonická posloupnost 1/n je cauchyovská.
- (1+1/n)^n v racionalnich (v reálných konverguje) cislech je cauchyovská ale není konvergentní (eulerovo číslo) - stále se zmenšuje ale nemá limitu

    * členy posloupnosti se k sobě čím dál více blíží na libovolně malou vzálenost
* ∀ϵ>0, ∃N(ϵ)∈Z :ϱ(x_m, x_n ) 0 lze najít místo v posloupnosti od kterého dále jsou každé dva body posloupnosti k sobě blíže než ε)

• pozn. pro představu: máme metrický prostor izolovaných bodů (tj. když jsou body identické vzdálenost je 0, když nejsou, vzdálenost je 1). V tomto prostoru je postupnost bodů Cauchyovská jedině když se od určitého indexu opakuje jeden bod.
	○ Príklad postupnosti: ABBADCDDDDDDD --> ε zvolíme např. 1 (co nejmenší), potom existuje N(ε) (v tomto případě 7 (index členu)), od kterého bude pro všechny vyšší indexy m a n platit, že body s těmito indexy budou mít menší vzdálenost než ε (v tomto případě 0).

Cauchyovská [“košiovská”] posloupnost
Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru, jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská. Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají.
To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.

Definice Cauchyovské poslopnosti
V metrickém prostoru M s metrikou d je posloupnost (x_1, x_2, …) cauchyovská, pokud pro ni platí tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínka:
(∀ε>0) ( ∃n_0∈N) (∀n∈N) ( ∀m∈N) (n>n_0∧m> n_0⇒ |x_n−x_m |0, ∃N(ϵ)∈Z :ϱ(x_m, x_n )

Question 6

Konvergence posloupností a limita

Answer 6

Konvergence posloupnosti
• posloupnost konverguje k bodu x∈M jestliže každé okolí bodu x obsahuje všechny body posloupnosti od nějakého indexu výše
○ tj. pokud se body posloupnosti se zvyšujícími indexy čím dál víc blíží k bodu x (nebo se alespoň nevzdalují)
pokud posloupnost konverguje k X pak libovolná pod-posloupnost vybraná z této posloupnosti také konverguje k x

Limita posloupnosti
Limita posloupnosti je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita.
• Posloupnost {x_n} konverguje k bodu x, jestliže (lim)_(n→∞)⁡〖ϱ(x,x_n )=0〗

Pojem limity posloupnosti lze definovat na libovolném metrickém prostoru.
Platí, že každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Question 7

Banachův princip pevného bodu (věta o kontrakci)

+ kontraktivní zobrazení

Answer 7

Banachova věta o pevném bodě (nebo také Banachova věta o kontrakci) říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

nebo: V neprázdném úplném metrickém prostoru má kontrakce právě jeden pevný bod

Proč se tímto vůbec zabýváme? Protože řadu problémů souvisejících s jednoznačností řešení rovnic lze převést na otázku existence a jednoznačnosti pevného bodu nějakého zobrazení metrických prostorů.

Kontraktivní zobrazení (kontrakce) - Kontraktivní zobrazení je takové zobrazení, kde vzdálenost obrazů je menší než vzdálenost vzorů.

Pokud (P,d) a (Q,g) jsou metrické prostory a pro zobrazení f:P→Q existuje číslo α∈(0,1) takové, že pro všechny x,y∈P platí g(f(x),f(y))≤αd(x,y), pak zobrazení f nazveme kontrakcí.
každé kontraktivní zobrazení je spojité

Question 8

Pevný bod

Answer 8

Pevný bod
Jako pevný bod označujeme bod, který se v daném zobrazení zobrazí sám na sebe. Označuje se také jako samodružný bod.

Například pevnými body funkce f(x)=x^2−4x+6, jsou čísla 2 a 3.

Definice pevného bodu
Nechť f:M→M je zobrazení. Prvek x∈M nazveme pevným bodem zobrazení f, pokud f(x)=x.

Příklad
Někdy je výhodné rovnici f(x)=0 přepsat do tvaru g(x)=x a hledat tedy bod, který se při zobrazení funkcí g(x) zobrazí sám na sebe. Například rovnici:
• cos(x)−x=0
můžeme přepsat do tvaru:
• cos(x)=x
Problém najít bod, ve kterém funkce f(x)=cos(x)−x protíná osu x se tím modifikuje na problém najít bod, který se po aplikaci funkce g(x)=cos(x) zobrazí sám na sebe.

Question 9

Spojitá izometrická zobrazení

Answer 9

Spojité -> pokud dva body mají vzdálenost, tak jí stále budou mít
Izometrické prostory - vzdálenost vzorů rovná vzdálenosti obrazů (lze je považovat za totožné, liší se jen “kvalita” (jablka jsou teď hrušky :D ))

Zobrazení spojité v bodě x_0∈X
• Když mají dva body nenulovou vzdálenost, tak i po zobrazení do jiného prostoru budou mít stále nenulovou vzdálenost

Spojité zobrazení
- zobrazení spojité ve všech bodech

Homeomorfismus (homeomorfní zobrazení)
Homeomorfismus je vzájemně jednoznačné zobrazení mezi topologickými prostory, které zachovává topologické vlastnosti. Homeomorfismus je tedy jiný název pro izomorfismus topologických prostorů.
• Homeomorfní prostory - metrické prostory mezi nimiž existuje homeomorfní zobrazení.

Izometrické zobrazení
Speciální případ homeomorfismu ve kterém se vzdálenost vzorů rovná vzdálenosti obrazů.
• Izometrické prostory - prostory jsou navzájem izometrické pokud mezi nimi existuje izometrické zobrazení.

Izometrické prostory lze považovat za totožné - liší se jen kvalita elementů.