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Fis 2 > MC > Flashcards

MC Flashcards

1
Q

dev. of tanx

cotx

A

sec^2x=1/cos^2x

-csc^2x=-1/sin^2x

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Q

Integrate sec^2x

A

tanx

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3
Q

Sec(x)

Csc(x)

A

1/cosx

1/senx

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4
Q

cos(a+-b)

A

=cosacosb-+sinasinb

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5
Q

If you have r, what’s a fast way to get θ(t)?

A

Use L, replace r and integrate

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6
Q

Masa reducida

A

μ = μ1μ2/ μ1+μ2

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7
Q

Coordenadas de r1 y r2 en el CM

A

r1 = R + r m2/M

r2 = R - r m1/M

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8
Q

Energía potencial péndulo

A

V=1/2 k(r-l)^2

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9
Q

Momento canónico

A

Pqi = dL/d(qidot)

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10
Q

¿Qué incluye las ecuaciones de Hamilton?

A

Las qidot y las Pdot = -dH/dqi

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11
Q

¿Qué conclusión se suele sacar de las ecuaciones de Hamilton?

A

Si una de las Pdot es cero, entonces el momento canónico correspondiente se conserva. Se puede observar lo mismo si H no depende de dichas coordenadas q.

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12
Q

Momento angular

A

L=Lz=mr^2θdot

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13
Q

Dos maneras de llegar a Pqdot

A

Una: derivar directamente Pq

Otra: de las ecuaciones de Hamilton (-dH/dq)

Es importante relacionarlas: podemos inferir ecuaciones del movimiento.

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14
Q

H se conserva si…

A

No depende de t

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15
Q

T de un péndulo con dos masas

A

Usamos el sistema CM.

T = 1/2 [MRdot^2 + m1(r1dot-Rdot)^2 + m2(“)^2]

=1/2 [MRdot^2 + μrdot^2]

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16
Q

Lagrangiano EM

A

L = 1/2mr^2dot - qV + q(rdot.A)

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17
Q

Reescribe

A.(BxC)

A

A.(BxC) = (AxB).C = B.(CxA)

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18
Q

Dale la vuelta al producto vectorial

AxB

A

AxB=-BxA

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19
Q

Error: qué se hace primero, ¿escribir H o las ecuaciones de Hamilton?

A

Escribir H en términos de (q,Pq).

Sin eso no podrás hacer la derivada parcial de H correctamente.

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20
Q

Traduce:

“Hallar tres integrales primeras de las ecuaciones de Hamilton funcionalmente independientes.”

A

Hallar qué se conserva en las ecuaciones de Hamilton

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21
Q

Resume el razonamiento para dar con una ecuación del movimiento de x con integrales (HAMILTON)

A

H=T+V=e
T+U=0
Integrate
t-to=+-int(dx/sqrt(-2U))

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22
Q

Componente z de L en cilíndricas y esféricas

A

Cil: m r^2 θdot

Esf: m r^2 sin^2(θ) φdot

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23
Q

dV en esféricas

A

r^2 sinθ dr3

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24
Q

Momento de inercia disco (eje de simetría)

A

MR^2

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25
Q

Momento de inercia disco (desde arriba)

A

1/2 MR^2

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26
Q

Momento de inercia esfera

A

2/5 MR^2

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27
Q

Momento de inercia cilindro sólido

A

1/2 MR^2

same as disk from above

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28
Q

Condición rodar sin deslizar

A

V(cm)=Rω

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29
Q

Torque Euler

A

(dL/dt)f = (dL/dt)m + ωxL = Ldot + ωxL = T

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30
Q

Energía cinética rotacional

A

T=1/2 I(z)ω^2=1/2 ω.L

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31
Q

Ixx

Ixy

A

Ixx = SUM(m (y^2+z^2))

Ixy = -SUM(mxy)

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32
Q

Vector L

A

L = ω(Ixz,Iyz,Izz)

or, in the body frame,

L = (λ1ω1, λ2ω2, λ3ω3)

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33
Q

Ecuaciones de Euler para pares (SR)

A

N = Lºdot + ωxL
I1ωdot1 - (I2-I3)ω2ω3 = N1
(sigue cíclicamente, y son como las ecs. de Newton para rotaciones)
Lastly, if Iω=λω, replace I(i) with λ(i) above

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34
Q

Si In=λn, ¿qué es λ?

A

Un momento principal de inercia, y n su eje principal de inercia.

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35
Q

When using Binet, you wanna set up your θs so that…

A

They can be rewritten as r

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36
Q

Ley de las áreas

A

Adot=r^2 θdot/ 2=L/2m

if you know the area swept (say a circle), you can replace that in the LHS and solve for t to see how long that took.

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37
Q

Dado v, ¿cuál es el período de un movimiento circular (R)?

A

Circular, así que toda la v es tangencial, y

T=2π/v=2R/v

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38
Q

sec(arctan(k))

A

Set up a triangle with a=1.
tanθ=k=b/1=b
secθ=c/1=c=sqrt(1+b^2)=sqrt(1+k^2)

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39
Q

if you have r but not V, what’s a way to get v?

A

v^2=rdot^2+(rθdot)^2

Then get θdot from L and, if r=kθ, then rdot=kθdot

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40
Q

coshx
sinhx
sinh(0)

A

1/2(e^x+e^-x)
1/2(e^x-e^-x)
0

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41
Q

Write sinh^2x ito coshx

A

1+cosh^2x

sinh^2x-cosh^2x=1

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42
Q

Error: límites de integración para fórmula del tiempo (T2)

A

entre 0 y θ

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43
Q

Si una part. tiene justo la E necesaria para llegar a un punto de equilibrio, cuanto tiempo tarda en llegar?

A

t infinito

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44
Q

Período pequeñas oscilaciones

A

T=2π sqrt(m/V’‘(x))

con ω=sqrt(V’‘(x)/ m)

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45
Q

Posibilidad olvidada al considerar casos energéticos (T1)

A

Que la energía E sea = a V en el punto inicial, o sea, que vo=0

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46
Q

Tiempo trayectoria (T1)

A

t-t0 = sqrt(m/2) int[dx/sqrt(E-V)]

  • Recuerda que t0 es el tiempo que tarda en volver al punto de partida si el sgn(v) es opuesto a la dirección de divergencia de V
  • Si la int es convergente, toma un tiempo finito en alcanzar el infinito
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47
Q

Say you have a pol x^4+Bx^2+C
You’ll say z=x^2 and solve.
Now imagine you get two sols., one positive one negative. What do you conclude?

A

The negative solution is discarded, because x^2 is always positive. From the positive solution stem two solutions, with +-x

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48
Q

In T1, always double check

A

Your arithmetic, lemao

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49
Q

Ecuación oscilador armónico

A 
x''+ω^2x=0
El razonamiento es:
Si osc. pequeñas, V(x)=V(0)+1/2 V''(0)x^2+...(V'(0)=0)
3ra ley Newton:
F=mx''=-dV/dx=-V''(0)x
x''+V''(0)x/m=x''+ω^2x=0
ω=sqrt(V''(0)/m)
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50
Q

T2: Qué pasa si L=0?

A

Si E>V=U, se mueve en una línea recta que pasa por el origen.
Si E=V=U, se queda en ese punto (si es de equilibrio)

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51
Q

T1: ¿Cómo hallar ley horaria?

A

Despejar de expresión genérica para E

52
Q

Tasa de cambio de un vector en sistema de referencia inercial

A

(dQ/dt)So = (dQ/dt)S + ΩxQ
donde So es el sistema inercial y S el no inercial
OM es la velocidad angular
Si Q=Ω, los cambios son iguales

53
Q

Tasa de cambio de un vector genérico, fijo sobre un cuerpo que rota

A

de/dt=ωxe

54
Q

2da ley de Newton en S no inercial

A

ma = F - mA - 2m(ωxv) - mωx(ωxr) - (ωdotxr) = F + F(ficticia)

This’d be the force on a particle (measured in S’, inertial frame) as seen in S (moving frame).
If ω=cte, the last term goes away!!
If F were measured directly in S, we’d have no (-mA).

55
Q

Fuerza de Coriolis

A

2m(ωxv)

56
Q

Fuerza centrífuga

A

mωx(ωxr)

57
Q

Velocidad en sistema de referencia fijo

A

vf = vm + V + ωxr

where V is the velocity of the origin of S as measured in S’ (inertial frame)

58
Q

Tenemos una bola en un coche que se mueve, ¿cuál es la velocidad de la bola respecto al suelo?

A

V(b/s)=V(c/s)+V(b/c)

kinda like vf=vm+V, innit?

59
Q

Ecuaciones del movimiento respecto a la superficie terrestre (aproximación)

A

r = r(0) + vº(0)t + g0(t^2/2) - t^2(ωxv(0)) - (t^3/3)(ωxg0)

donde g0=ge3=9,80665e3

60
Q

ω en sistema de ejes terrestre

A

pasa de
ω=ωe’3
a ser
ω=ω(-cosλe1+sinλe3)

61
Q

Sistema de ejes terrestre

A

Si R conecta el centro de la tierra con el punto O en su superficie,
e3 (z) va en la dirección de R
e1 (x) es tangente al meridiano que pasa por O (sur)
e2 (y) es tangente al paralelo que pasa por O (este)

62
Q

En movimiento terrestre, cómo hallar tiempo de vuelo?

A

Usar la aproximación del movimiento y aislar las componentes e3 (z en sistema de ejes terr.). Igualar z=0 y despejar t.

63
Q

En mov. terr., calcular desviaciones al (o)este

A

Δy=vot+at^2/2
Necesitamos la aceleración en y:
Puede venir de una fuerza, p.e. de Coriolis (F/m=a)
or
Hallar r, aislar componentes e2 (y).
Hallar tiempo que nos interesa (prob. con e3) y sustituir en y. Ver el signo del resultado.

Como y va hacia el este, una expresión distinta de 0 y negativa implica desviación al oeste.

64
Q

Vector g0 (T4)

A

g0 = -ge3

65
Q

Ecuación MUA

A

y=y(0)+vt+at^2/2

66
Q

Si el movimiento (T4) es hacia abajo (pozo), ¿qué hacer?

A

Poner la ec. aprox. de r con todos los sgn cambiados

67
Q

ERROR: tener cuidado al hacer productos vectoriales con v. unitarios, porque…

A

Hay que comprobar el signo del vector ortonormal resultante usando la right hand rule

68
Q

Get x from F=ma

A 
First,
v(t)=v(0)+int(F(x)) 0->t
Then,
dx/dt=v(0)+...
x(t)=x(0)+...
69
Q

(SR) Momento angular simple formula

A

Lz=Iω
pls note this is only Lz!! Lx and Ly aren’t necessarily =0
If I is a matrix, L and ω are 3x1 column vectors

70
Q

Ta Steiner

A

I(P)ij = Iij + M(δa^2-aiaj)

where a is a vector going from O (CM) to the new point P

71
Q

Vector R para el CM

A

R=(1/M)SUM(mi ri)
or
(1/M)int(rº dm)
the º means thats a perfect vector boi

72
Q

Momento ito CM

A

Pº=MRºdot

deriva para obtener Fext

73
Q

Fuerza externa ito CM

A

Fext=MRº(..)=Pº(.)

74
Q

(SR) Lº

A

Lº = RxP + SUM(r’ x mr’dot) = L1 + L(CM)

e.g. on Earth L=Lorb+Lspin

75
Q

Γ(ext) (SR)

A

Γ(ext)=Lºdot

76
Q

Lx, Ly (SR)

A 
Lx = -SUM(mxzω) = Ixzω
Ly = -SUM(myzω) = Iyzω
77
Q

What kinda matrix is the inertia tensor

A

Ofc it’s a perfect symmetry boi

78
Q

Symmetry conclusions (SR)

A

if x->(-x) then Ixy=Ixz=0

if x->y then Ixx=Iyy

79
Q

Si un sólido gira “libremente”…

A

Fext=0 & el par N no depende del O respecto del cual se calcula, so tomar CM

80
Q

Tensor de inercia cubo

A

Icm=Ma^2/6 (por matriz identidad)

81
Q

Delta de Kronecker

A

Vale 1 si son iguales, y 0 si son diferentes.

82
Q

Masa cilindro ito ρ

A

ρπhr^2

83
Q

Say you have symmetry such that I11=I22. What’s a trick to find that I11?

A

First, calculate I33. Then, set up this integral

2I1=I1+I2=ρ int(x^2+y^2+2z^2)=I3+ρ int(2z^2 d^3r)

84
Q

Imagine ω goes in the dir of e1`+e2. Write ω it in vector form

A

ωº=ω(e1º+e2º)/sqrt(2)

In other words, normalize the direction vector

85
Q

3ra ley Kepler

A

T^2=4π^2a^3/GM

donde a es el semieje mayor de la elipse

86
Q

Momento angular respecto de un punto fijo en el cuerpo

A

Si L es fijo en el sistema de ejes fijos y en el sólido, (asume ω=ωe1)
L=Iωe1=ω(I11,I21,I31)

87
Q

Al calcular el tensor de inercia, qué va fuera de las integrales I(ij)?

A

La densidad=M/V

88
Q

Se quiere calcular L. ¿Respecto a dónde se calcula I?

A

Se debe calcular I respecto a un punto sobre el eje de rotación

89
Q

Coordenadas de un par aplicado (SR)

A

N1=Iω1dot

and so on

90
Q

Fuerza de ligadura para partícula obligada a moverse dentro de una varilla

A

Si la varilla está en el eje OX, en el SR de la varilla

Fº=(0,F2,F3)

91
Q

Velocidad en esféricas

A

rdot + rθdot + rsinθφdot

92
Q

Elemento de longitud de arco en esféricas

A

Es como quitarle el dot a la expresión de la velocidad y ponerlo en diferenciales.
ds^2 = dr^2 + (rθ)^2 + (rsinθdφ)^2

93
Q

Velocidad en cilíndricas

A

ρdot + ρθdot + zdot

94
Q

Vector rº en polares

A

rº = r er

95
Q

Vector rºdot en polares

A

rºdot = rdot er + r θdot eθ

96
Q

Derivada total cosx

A

cos(x) xdot

97
Q

Encontrar ecuación del movimiento para q

T5

A

Usar ecuaciones de E-L
or
Hay que encontrar una fórmula que tenga qdot, p.e. un momento canónico, y derivarla para tener la derivada segunda. Luego dejarla sin coeficientes en una ecuación.

98
Q

Solución ecuación oscilador armónico

Su ecuación general

A

r=acos(ωt)+bsin(ωt)
ecuación xdotdot+ω^2x=0
that’s a PLUS

99
Q

El punto de anclaje de un péndulo de masa oscila armónicamente en una línea horizontal con amplitud A y frecuencia v. Escribe la ecuación de x para el punto de anclaje.

A

x=Acos(vt)

100
Q

Deriva xdot respecto a t

A

xdotdot

101
Q

Momento angular ito cross product

A

L=rxp

102
Q

Energía potencial placa de lados 2R

A

Asumiendo que es homogénea,

V=mgR, a la altura de su CM

103
Q

A partir del lagrangiano, ¿cómo ver si se conserva pq? ¿Y E?

A

Se conservan si L no depende de dicha coordenada q ni de t.

104
Q

(Lagrange) Hallar velocidad dadas cond. iniciales

A

Supongamos que tenemos dos coordenadas. Podemos usar los momentos, ecuaciones del movimiento o la energía (en función de las cond. in.) para despejar una qdot en función de la otra, y reemplazar esto en la expresión antes elegida.

105
Q

Let Mº=Me3

Do Mºxrº

A

rº=rer

So Mºxrº=Mre2

106
Q

(Lagrange) si te piden calcular la ecuación del movimiento…

A

Calcular ecs. de Euler Lagrange dios

107
Q

Quieren la ec. de mov. Tu despejas xdot, say. What now?

A

si tienes xdot=k, entonces
x=x(0)+ωt
con k=ω

108
Q

Si px=Lz+kx, y pxdot=0, se conserva Lz?

A

No, porque Ldot=-k=/=0

109
Q

Si una part. en cilíndricas tiene vº(0)=-ωr0eθ, determinar su movimiento

A 
vº(0) = r(0)dot + r(0)θ(0)dot = -ωr0eθ
then
r(0)dot=0 & θ(0)dot=-ω
110
Q

If v(0) is (0,k), does that imply px=0?

A

Apparently not

111
Q

(T2) cómo obtener la ley horaria?

A

Intenta despejar θdot de L e integrar para obtener θ(t). Luego reemplazar en r(θ) para obtener r(t)

112
Q

Solución general xdotdot-ω^2x=0

A

acosh(wt)+bsinh(wt)

113
Q

Vector cuadrimomento

A

pº=(E/c,pº) si es másica

pº=(|pº|,pº)

114
Q

Módulo cuadrimomento

A

p=mu=mγ(v)(c,v)

115
Q

Energía relativista

A

E=mc^2γ(v)

116
Q

Factor de Lorentz

A

1/sqrt(1-v^2/c^2)

117
Q

Momento inicial fotón

A

pi=(E/c,E/c,0,0)

118
Q

Cuadrimomento al cuadrado

A

p^2=(mc)^2

119
Q

Ecuación de Planck

A

E=hf=hc/λ

120
Q

Una part. colisiona con otra en reposo. Incluir en el momento inicial…

A

Tanto el momento de la part. en mov. como en reposo

121
Q

Relaciona velocidad con energía y momento

A

vº=c^2pº/E

con pº=(p1,p2,p3)=mγ(v)vº

122
Q

Que poner en XiXj en Steiner

A

Las coordenadas de R según los elementos de matriz

123
Q

Define H

A

H=sum(pi qidot) - L

124
Q

Int(cos^2(x)) entre 0 y 2π

A

0

125
Q

Truco integrales tensor de inercia

A

A veces se puede poner I33=I11+I22=2I11, por ejemplo

Fis 2 (7 decks)

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