Variable Compleja Flashcards
intc[dz/ (z-a)^p]
Dar su valor en función de p
2πi si p=1 0 else (p entero)
Calcular residuo de f(z)
Si z=a es un polo de orden k,
a(-1) = lim[z->a] (1/ (k-1)!) (d^k-1/ dz^k-1) {(z-a)^k f(z)}
Teorema del residuo
Sea f(z) anal. dentro y sobre una C excepto en las sings. a, b, c... Entonces intc(f(z)dz) = 2πi (a(-1) + b(-1) + ...) donde el paréntesis es la suma de cada residuo. Cauchy es un caso especial de este Ta.
Test para polos simples
Lim[z->zo] (z-zo) f(z) =/= 0
Un solo término negativo
Test singularidad evitable
Lim(z->zo) (z-zo) f(z) =0
No hay términos negativos
Existe lim(z->zo) de f(z)
Diff. entre singularidad evitable y polo simple
La evitable tiene bn=0
Taylor log (1+z)
log(1+z) = z - z^2/2 + z^3/3 - …
z
Criterio del cociente
si lim(n->inf) |u(n+1)/u(n)|=L
entonces sum(u) converge (abs.) si L<1 y diverge si L>1. Si L=1, falla.
Criterio de la raíz
si lim(n->inf) |u(n)|^1/n = L
entonces sum(u) converge (abs.) si L<1 y diverge si L>1. Si L=1, falla.
Criterio M de Weierstrass
Si |u(z)|<=Mn,
donde Mn es indie en R y sum(Mn) converge, entonces sum(un(z)) es unif. conv. en R.
Nótese que, aunque Mn es indie de z, el que sea =< que u(z) sí puede depender del valor de z en u.
Conv. series p
la serie sum(1/n^p) converge sii p>1
Error: cuando tenga series de Taylor con funciones negativas, tener cuidado con…
Términos en el desarrollo a potencias pares que anulan el signo menos
El primer término de una serie de Taylor para f(z) centrada en z=a es…
f(a).
Luego van + f’(a)(z-a) + …
Para qué puntos suele converger una serie de Laurent basada en, say, sen(z)
Para todo z menos el punto z=a en el cual está centrada (en la singularidad)
¿Para que z suele converger una singularidad evitable?
Para todo z
