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计算机图形学第一准则
近似原则如果它看上去是对的它就是对的
笛卡尔坐标系
左右手坐标系
常用坐标系
直角坐标系，正交坐标系
大拇指+X，食指+Y，中指+Z；大拇指旋转轴正向，其它指表示旋转正向；三角形从正面看，左手是顺时针
世界坐标系，物体坐标系，摄像机坐标系，惯性坐标系
向量，标量，维度，几何意义
向量计算（加法，减法，点乘，叉乘）的几何意义
数字列表，数组
加法 （a接b尾）；减法 （b尾指向a尾）；点乘 （相似；投影）；叉乘 （垂直；平行四边行面积）
方阵 对角线元素 单位矩阵 矩阵转置 矩阵乘法 向量与矩阵乘法的几何解释
方阵 （行列相等） 对角线元素 （行号与列号相同的元素） 单位矩阵 （对角线元素为1） 矩阵转置 （行向量变列向量） 矩阵乘法（5X2 * 2X4 = 5X4） 向量与矩阵乘法的几何解释（方阵的行表示转换后的基向量）
线性变化
仿射变化
可逆变化（哪些变化是可逆的）
等角变化
线性变化满足加法和数量乘
仿射变化是指线性变化后接着平移
可逆变化是指存在逆变化撤消原变化就是可逆的（仿射变化可逆，矩阵是奇异的不可逆）
等角变化是指变化后两向量夹角的大小和方向不变（等角变化都是仿射和可逆的）
方阵行列式
矩阵的余子式
矩阵的代数余子式
方阵行列式几何意义
方阵行列式的值等于方阵连写2遍，主对角线上元素积的合减去反对角线上元素积的合
矩阵余子式指的是去除i行与j列后的剩余矩阵
矩阵的指定行列元素的代数余子式等于相应余子式的有符号行列式
方阵行列式几何意义：2D代表以基向量为2边的平行四边行的有符号面积，3D代表以基向量为3边的平等六面体的有符号体积。为0表示包含投影，为负表示包含镜像。
方阵的逆矩阵 可逆矩阵（非奇异矩阵）与不可逆矩阵（奇异矩阵） 标准伴随矩阵（数学意义） 方阵的逆的重要性质 正交方阵的定义与几何解释
方阵的逆矩阵就是相乘后得到一个单位矩阵
奇异矩阵的行列式为0
标准伴随矩阵的定义为代数余子式矩阵的转置矩阵（标准伴随矩阵除以行列式可得逆矩阵）
方阵的逆的重要性质（方阵的逆的逆等于原方阵；单位矩阵的逆就是本身；矩阵的转置的逆等于矩阵的逆的转置；矩阵的乘积的逆等于矩阵的逆的相反方向的乘积）
矩阵与它的转置矩阵人乘积等于单位矩阵；几何意义是每一行都是单位向量，所有行互相垂直。
齐次空间 齐次空间下的点和向量 为什么引入4X4矩阵 一般仿射变化的构造 透视投影与小孔成像 4X4投影矩阵实现 4X4投影矩阵注意点
齐次坐标通过除于W来投影，齐次原点表示方向
齐次空间下的点和向量（w为1的表示点，0表示向量）
矩阵乘法可以将复杂变换进行组合，4X4矩阵能在第4行表达平移，之后就能更好的利用矩阵乘法相应的性质
一般仿射变化的构造的基本思想是将变换的中心点平移到原点，然后做线性变换，然后再将中心点移为原来的位置；仿射变化中增加的平移部分仅仅改变了4X4矩阵的最后一行。
透视投影投影线相交于投影中心
小孔成像投影中心在原点，投影面一般与xy平面平行，实际应用中负号会带来不必要的复杂性，所以投影面在投影中心的前面。
4X4投影矩阵在z=d的投影(单位矩阵修改为34值为1/d，44值为0的)。
并没有进行实际的透视变换，只是计算分母；存在多种变化（投影面在z=0，投影中心在0 0 -d）；方便和其它矩阵相连接，使得投影到不平行坐标轴的平面变得可行，不再需要其次坐标；实际实现过程中z值不能被舍弃，z缓冲用到了该值。
什么是方位，为什么向量不能描述方位
用矩阵描述方法的优点
用矩阵描述方法的缺点
病态矩阵的原因
描述物体朝向，通过于相对已知方位的旋转来描述，旋转的量称作角位移。向量自转不会改变向量属性，物体自转方位发生变化。
可以立即进行向量的旋转；图形API用矩阵描述；多个角位移连接；矩阵的逆
更多的内存占用；难于使用；矩阵可能是病态的
矩阵包含缩放，对方位的影响是无定义的；外部有可能获得坏数据；浮点数的舍入错误产生（对一个方位的加运算）
欧拉角
欧拉角常用顺序
欧拉角的优点
欧拉角的缺点
将角位移分解为绕三个互相垂直轴的三个旋转的序列
heading-pitch-bank roll-pitch-yaw
优点：对人类友好，最简洁的表达，任意三个数都是合法的
缺点：给定方位的表达方式不唯一；角度插值困难；万向锁
四元数 复数的加法，减法与乘法，共轭，模 复数的几何意义 四元数与复数 四元数与轴角对
通过4个数来表达方位（因此命名为四元数），包含一个标量分量和3D向量分量（[w,v] [w,(x,y,z)]）
共轭就是虚部变负，模就是实部与虚部的平方和
用2D平面表示复数集，复数p绕原点旋转θ得到的复数p’可以通过复数乘法计算 p’=p (cosθ, sinθ)
四元数扩展了复数，使用3个虚部i,j,k (ij=k,ji=-k,ki=j)，所以很多标准复数的性质也能应用于四元数
旋转序列等价于单个旋转，所以任意角位移都能表示为绕单一轴的单一旋转；四元数q=[cos(θ/2), sin(θ/2)n]
负四元数
四元数的模与单位四元数
四元数的共轭与逆
四元数求负就是将每个分量都变负；q和-q的实际角位移是相同的
四元数的模和复数一样，模为1的四元数就是单位四元数；存在1个“单位”四元数代表没有角位移，[1, 零向量]，意义在于当旋转角是360的整数倍，方位没有发生变化
四元数的共轭通过向量部分变负来获得；逆的定义为四元数的共轭除以它的模，所以单位四元数的共轭与逆是相等的，四元数与它的逆的乘法结果是[1, 0]；共轭代表相反的角位移
四元数乘法（叉乘）
四元数有用的性质
四元数的差
四元数的点乘
四元数乘法满足结合律但不满足交换律；四元数乘积的模等于模的乘积，结论很重要说明单位四元数相乘还是单位四元数；四元数乘积的逆等于各个四元数的逆以相反顺序相乘
把标准3D点扩展到四元素空间p [0,v]，四元数q表示旋转形式，旋转后的点p’=qpq-1
利用四元数的乘法和逆就能计算两个四元数的差
ad=b a-1ad=a-1b d=a-1b
点乘同向量的几何解释类似，描述相似度
四元数的对数，指数
四元数求幂
四元数插值
引入新变量，半角α=θ/2
q = [cosα nsinα]
log q = log([cosα nsinα]) == [0 αn]
p = [0 αn]
exp p = [cosα nsinα]
指数总是返回单位向量
exp(log q) = q
四元数求幂相当于从角位移抽取一部分
qt = exq(t log q)
slerp(q0,q1,t)=q0(q0逆q1)t指数
四元数的优点
四元数的缺点
优点：平滑插值；快速连接和角位移求逆；能和矩阵形式快速转换；仅用4个数
缺点：比欧拉角稍微大一些；四元素可能不合法(标准化去解决)；难于使用
