Analisi 1 Capitolo 1

Question 1

FUNZIONE O APPLICAZIONE

Answer 1

Siano X,Y due insiemi non vuoti ed f una legge che associa ad ogni elemento di X uno ed un solo elemento di Y. La terna ordinata (X,Y,f) si dice funzione o applicazione. L’insieme X si chiama dominio e Y codominio. Per indicare la funzione si scrive f : X → Y. Detto x il generico elemento di X, il suo corrispodente in Y si denota con f(x)

Question 2

IMMAGINE DI f E GRAFICO DI f

Answer 2

L’insieme f(X) = {y∈Y : ∃ x∈X tale che y=f(x)} si chiama immagine di f.L’insieme Gf = {(x,y) ∈ X x Y : x∈X, y=f(x)} si chiama grafico di f

Question 3

Funzione f restrizione di g a X e funzione g prolungamento di f a Z

Answer 3

Siano X,Y,Z insiemi non vuoti tali che X⊆Z. Siano f : X → Y e g : Z → Y due funzioni tali che f(x)=g(x) per ogni x in X. La funzione f si chiama restrizione di g a X. La funzione g si chiama prolungamento di f a Z.

Question 4

FUNZIONE COMPOSTA

Answer 4

Siano X,Y,Z,T insiemi non vuoti e siano f : X → Y e g : Z → T due funzioni. Supponiamo che f(X)⊆Z. La funzione h: X → T definita mediante la legge h(x)=g(f(x)) ∀x∈ X si dice funzione composta da f e g e si indica con il simbolo g o f.

Question 5

FUNZIONE INVERSA

Answer 5

Siano X,Y due insiemi non vuoti e f : X → Y una funzione iniettiva. ∀y∈f(X) esiste un unico elemento x∈X tale che y= f(x). Consideriamo la legge che associa ad ogni y∈f(X) l’unica soluzione x∈X dell’equazione f(x)=y. La funzione f^-1 : f(X)→X definita mediante la legge f^-1(y) = x si dice funzione inversa di f. Si ha (f^-1 o f)(x)=x ∀x ∈ X

Question 6

RELAZIONE BINARIA

Answer 6

Sia A un insieme non vuoto. Un sottoinsieme R del prodotto cartesiano AxA si dice relazione binaria in A.

Question 7

RELAZIONI DI EQUIVALENZA

Answer 7

Sia A un insieme non vuoto. Indichiamo con ~ una relazione binaria in A che verifichi le seguenti proprietà:
1. proprietà riflessiva a~a ∀a∈ A
2. proprietà simmetrica a~b ⇒ b~a ∀a,b ∈ A
3. proprietà transitiva a~b, b~c ⇒ a~c ∀a,b,c ∈ A
In questo caso la relazione si dice di equivalenza

Question 8

CLASSE DI EQUIVALENZA

Answer 8

Siano A un insieme non vuoto ed R una relazione di equivalenza in A. Se a è un elemento di A, il sottoinsieme di A che contiene tutti gli elementi di A equivalenti all’elemento a si chiama classe di equivalenza di a e si indica con [a]

Question 9

INSIEME QUOZIENTE

Answer 9

Siano A un insieme non vuoto e R una relazione di equivalenza in A. L’insieme i cui elementi sono le classi di equivalenza rispetto alla relazione R si chiama insieme quoziente di A rispetto a R e si indica con A/R

Question 10

RELAZIONE BINARIA IN A
(di ordinamento parziale o totale)

Answer 10

Sia A un insieme non vuoto. Indichiamo con il simbolo ≤ una relazione binaria in A che verifichi le seguenti proprietà:
1. proprietà riflessiva a≤a ∀a∈A
2. proprietà antisimmetrica a≤b e b≤a ⇒ a = b
3. proprietà transitiva a≤b e b≤c ⇒ a≤c.
Questa relazione è di ordinamento parziale in A e l’insieme A si dice parzialmente ordinato e si scrive (A, ≤).
Se A è parzialmente ordinato e per ogni coppia di elementi a e b vale una delle due relazioni a≤b e b≤a allora l’ordinamento è totale e l’insieme A è totalmente ordinato.

Question 11

INSIEME LIMITATO SUPERIORMENTE E MAGGIORANTE

Answer 11

Siano (A, ≤) un insieme parzialmete ordinato ed E un suo sottoinsieme non vuoto. Se esiste k∈A tale che x ≤ k ∀ x∈E allora E si dice limitato superiormente e k è un maggiorante di E. Un maggiorante appartenente all’insieme E si dice massimo di E. L’insieme dei maggioranti di E lo indichiamo con E*

Question 12

INSIEME LIMITATO INFERIORMENTE E MINORANTE

Answer 12

Siano (A, ≤) un insieme parzialmete ordinato ed E un suo sottoinsieme non vuoto. Se esiste h∈A tale che h ≤ x ∀x∈E allora E si dice limitato inferiormente e h è un minorante di E. Un minorante appartenente all’insieme E si dice minimo di E. L’insieme dei minoranti di E lo indichiamo con E*(basso)

Question 13

ESTREMO SUPERIORE

Answer 13

Siano (A, ≤) un insieme parzialmente ordinato ed E un suo sottoinsieme limitato superiormente. Supponiamo che esista L∈A tale che:
1. L∈E*
2. Se y< L allora y∉ E.
Diciamo L estremo superiore di E e lo denotiamo supE. Si ha L=minE

Question 14

ESTREMO INFERIORE

Answer 14

Siano (A, ≤) un insieme parzialmente ordinato ed F un suo sottoinsieme limitato inferiormente. Supponiamo che esista l∈A tale che:
1. L∈Fbasso
2. Se l < y allora y∉ F basso. Diciamo l estremo inferiore di F e lo denotiamo inf F. Si ha L=max F*basso

Question 15

PROPRIETà ESTREMO SUPERIORE O INFERIORE

Answer 15

Un insieme parzialmente ordinato (A, ≤) ha la proprietà dell’estremo superiore (inferiore) se ogni suo sottoinsieme E limitato superiormente (inferiormente) ammette estremo superiore (inferiore) in A.

Question 16

OPERAZIONE BINARIA IN A

Answer 16

Sia A un insieme non vuoto. Una legge che associa ad ogni coppia di elementi di A uno ed un solo elemento di A si dice operazione binaria in A. L’elemento corrispondente alla coppia (a,b) si dica con a o b e si chiama risultato dell’operazione.

Question 17

GRUPPO RISPETTO ALL’OPERAZIONE, gruppo abeliano

Answer 17

Sia G un insieme non vuoto in cui sia definita un’operazione o verificanti le seguenti proprietà:
1. a o (b o c) = (a o b) o c ∀a,b,c ∈ G proprietà associativa
2. Esiste e∈G tale che a o e = e o a ∀a∈G esistenza dell’elemento neutro
3. ∀a∈G esiste a’ in G tale che a o a’ = a’ o a = e esistenza dell’inverso.
L’insieme G si dice gruppo rispetto all’operazione o e si indica con (G,o). Se inoltre vale anche a o b = b o a ∀a,b∈G il gruppo si dice abeliano o commutativo.

Question 18

ISOMORFISMO DI GRUPPI

Answer 18

Siano (G1,o) e (G2,o) due gruppi. Diciamo che i gruppi sono isomorfi se esiste una funzione f: G1→G2 biettiva tale che f(x o y) = f(x) o f(y) ∀x,y∈G1. In tal caso la funzione si dice isomorfismo di tra gruppi.

Question 19

CAMPO

Answer 19

Un insieme non vuoto K in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto +; * si dice un campo se:
1. K è un gruppo abeliano rispetto alla somma. Elemento neutro somma si indica con 0. L’inverso di un elemento a si indica con -a e si chiama opposto di a.
2. L’insieme K* degli elementi di K diversi da 0 è un gruppo abeliano rispetto al prodotto. Elemento neutro prodotto si indica con 1. L’inverso di un elemento a≠0 si indica con a^-1 o 1/a e si chiama reciproco di a.
3. a(b+c) = ab + a*c ∀a,b,c ∈ K. Si chiama proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto.
Il campo di indica con (K, +, * ).

Question 20

ISOMORFISMO DI CAMPI

Answer 20

Siano (K1, +, * ) e (K2, o, . ) due campi. Diciamo che i campi sono isomorfi se esiste una funzione biettiva f: K1→K2 tale che f(x + y) = f(x) o f(y) e f(x * y) = f(x) . f(y) ∀x,y∈K1.
In tal caso la funzione f si dice un isomorfismo tra campi.

Question 21

CAMPO ORDINATO

Answer 21

Un campo (K, +, * ) si dice ordinato se in K è definito un ordinamento parziale ≤ che verifichi le seguenti proprietà:
1. x≤y ⇒ x + z ≤ y + z ∀∈K
2. x≤y, gamma > 0 ⇒ x* gamma ≤ y * gamma
Il campo ordinato si indica con (K,+,*,≤).

Question 22

ISOMORFISMO DI CAMPI ORDINATI

Answer 22

Siano (K1, +, * , ≤) e (K2, o, . , ≤) due campi ordinati. Diciamo che i campi sono isomorfi se esiste una funzione biettiva f: K1→K2 tale che f(x + y) = f(x) o f(y) e f(x * y) = f(x) . f(y) ∀x,y∈K1.
Inoltre x≤y ⇒ f(x) ≤ f(y) ∀x,y∈K1.
In tal caso la funzione f si dice un isomorfismo tra campi ordinati.