Analisi 1 Capitolo 5

Question 1

RAPPORTO INCREMENTALE E DERIVATA

Answer 1

Siano f:]a,b[ → R e x0 ∈ ]a,b[. La funzione (formula rapporto incrementale) è definita per h tale che 0 < |h|<min(x0-a, b-x0) e si chiama rapporto incrementale di f in xo. Se esiste finito il limite del rapporto incrementale per h→0 diciamo che la funzione f è derivabile in xo. Il limite si chiama derivata della funzione f in xo e si indica con f’(x0).

Question 2

DERIVATA UNILATERALE

Answer 2

Siano f:]a,b[ → R e x0 ∈ ]a,b[. Se i limiti (rapporti incre. dx e sx) esistono finiti diciamo che la funzione f è derivabile in xo rispettivamente dalla dx e dalla sx. In tal caso tali limiti si chiamano derivata dx e sx di f in xo

Question 3

PUNTI DI NON DERIVABILITÀ

Answer 3

Una funzione derivabile è continua (non viceversa)
Siano f:]a,b[ → R e x0 ∈ ]a,b[. Supponiamo che f sia continua in x0.
1. Il punto (x0,f(x0)) si dice angoloso se per f derivata dx in x0 ≠ derivata sx in x0 oppure uno dei due limiti (dx sx) è infinito e l’altro è finito.
2. Il punto (x0,f(x0)) si dice cuspidale se i due limiti dx e sx risultano essere uno +∞ e l’altro -∞.

Question 4

DERIVATE SUCCESSIVE pag 157

Question 5

PUNTO STAZIONARIO O CRITICO

Answer 5

Sia f:]a,b[ → R. Un punto x0 ∈ ]a,b[ si dice stazionario o critico per f se f è derivabile in x0 e f’(x0)=0.

Question 6

PRIMITIVA IN (a,b)

Answer 6

Sia f:(a,b) → R. Una funzione F : (a,b) → R si chiama primitiva di f in (a,b) se F è derivabile in (a,b) e risulta F’(x) = f(x) in (a,b).

Question 7

Polinomio di Taylor

Question 8

Formula di Taylor

Question 9

FUNZIONE CONVESSA E CONCAVA IN (a,b)

Answer 9

Sia f: (a,b) → R. Diciamo che f è convessa in (a,b) se f(tx + (1-t)y) ≤ tf(x) + (1-t)f(y). ∀t ∈[0,1], ∀x,y∈(a,b)
f è concava in (a,b) se -f è convessa in (a,b).

Question 10

FLESSO

Answer 10

Siano f:]a,b[ → R e x0 ∈ ]a,b[. Supponiamo che f sia derivabile in x0 oppure che il grafico di f presenti tangente verticale nel punto di ascissa x0. Se esiste δ>0 tale che f è convessa in ]x0-δ, x0[ e concava in ]x0, x0+δ[ o viceversa, allora il punto di ascissa x0 si chiama flesso per f

Question 11

SUCCESSIONE DEFINITA PER RICORRENZE

Answer 11

Siano f:(a,b)→(a,b) una funzione e x0 ∈ (a,b). La successione definita ponendo x0 ∈ (a,b) e x(pedici)n+1 = f(xn) ∀n∈N si dice successione ricorsiva o definita per ricorrenze di funzione generatrice f e valore iniziale x0.

Question 12

PUNTO FISSO

Answer 12

Sia f: (a,b) → (a,b). Un punto x(segnato)∈ (a,b) tale che f(x segnato) = x segnato si dice punto fisso per f