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Analisi Dei Segnali Flashcards

1
Q

Cos’è un segnale ?

A

Grandezza che varia nel tempo e/o nello spazio e che porta un’informazione.
È generato da una sorgente a cui è accoppiato un trasduttore che converte la grandezza in esame in un segnale elettrico

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Q

Come si trasmette un segnale?

A

Il segnale è prodotto da una sorgente, viene convertito in segnale elettrico da un trasduttore e successivamente trasmesso.
Un altro trasduttore riceverà il segnale elettrico riconvertendolo nella sua forma originale.

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3
Q

Classificazione segnali

A

•In base al TEMPO (variabile indipendente)
-a tempo continuo —> variabile indipendente assume valori appartenenti a un intervallo dell’asse reale

-a tempo discreto—> variabile indipendente assume solo valori discreti. Negli intervalli tra in diversi valori discreti il segnale NON è definito

•in base all’AMPIEZZA (variabile dipendente)
-ad ampiezze continue —> la variabile dipendente assume valori nell’intervallo reale

-ad ampiezze discrete —> la variabile dipendente assume valori discreti

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4
Q

Come sono nativamente i segnali?

A

Sono continui in tempo e ampiezza, vengono convertiti in discreti dal CONVERTITORE ANALOGICO/DIGITALE

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5
Q

Grandezze che appartengono ai segnali a tempo continuo

A

Energia e potenza media

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6
Q

Spazio campione

A

Insieme dei risultati possibili di un esperimento casuale.

Può essere finito,infinito numerabile o continuo

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7
Q

A C omega

A

Sottoinsieme proprio di omega
Contiene elementi che non appartengono ad A

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8
Q

A C_ omega (c sottolineato)

A

Sottoinsieme improprio di omega

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9
Q

A=omega-A

A

Sottoinsieme complementare di A che contiene tutti gli elementi di omega che non appartengono ad A

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10
Q

A U B

A

Unione di insiemi che contiene elementi che appartengono ad A, a B o a entrambi

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11
Q

A u( al contrario) B

A

Intersezione di A e B
Contiene elementi che appartengono sia ad A che a B

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12
Q

Omega1 x omega2

A

Prodotto cartesiano di omega1 e omega2
È costituito dalle coppie ordinate (a,b) tale che a€omega1 e b€omega2

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13
Q

Teoria probabilità:
Sottoinsieme A dello spazio campione omega si dice?

A

Evento
Detto anche EVENTO COMPLESSO

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14
Q

Teoria probabilità:
I singoli elementi dello spazio campione sono anch’essi eventi?

A

Si, vengono spesso detti EVENTI SEMPLICI

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15
Q

Teoria probabilità
Evento A=o| (fi)
come si chiama?

A

Evento impossibile

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16
Q

Teoria probabilità
Evento A=omega
come si chiama?

A

Evento certo

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17
Q

Teoria probabilità
Evento A U B
Cosa significa?

A

Si verifica A oppure B oppure entrambi

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18
Q

Teoria probabilità
Evento A u(al contrario) B
Cosa significa?

A

Si verificano contemporaneamente A e B

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19
Q

Teoria probabilità
Evento A u(al contrario) B = o| (fi)
Come si chiama?
Cosa significa?

A

A e B Vengono detti MUTUAMENTE ESCLUSIVI
Non possono capitare contemporaneamente

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20
Q

Cosa chiamiamo probabilità?

A

Un numero compreso tra 0 e 1 che associamo ad ogni evento semplice di omega

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21
Q

Definizione classica di probabilità

A

Numero di esisti favorevoli diviso esiti totali dell’esperimento

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22
Q

Cosa sono le frequenze statistiche?

A

P^{i}=ni/N

con a<=i<=b
ove [a,b]€numeri naturali
N=numero misure
ni=numero di volte in cui esce i

Abbiamo che:
0<= P^{i}<=1 Per ogni i

Inoltre la somma di tutti P^{i}=1

23
Q

Teorema della probabilità totale

A

P{B}=sommatoria da i=1 ad N P{B|Ai}P{Ai}

P{Ai}=probabilità a priori
P{B|Ai}=probabilità a posteriori

Ai=eventi che possono essere:
ESAUSTIVI
MUTUAMENTE ESAUSTIVI

24
Q

Corollario per girare il condizionamento

A

P{Ai|B}= (P{B|Ai}P{Ai})/(sommatoria da i=1 a N P{B|Ai}P{Ai})

25
Q

Formula di Bayes (probabilità)

A

P{A,B}=P{A|B}P{B}=P{B|A}P{A}

26
Q

Definizione di indipendenza statistica

A

P{A|B}=P{A}
P{B|A}=P{B}

Con A e B eventi statisticamente indipendenti

27
Q

Come capire se due eventi A e B sono statisticamente indipendenti ?

A

Stimare P{A}
Stimare P{A|B}

Se P{A|B}=P{A} —> indipendenti
Se P{A|B}>P{A} —> B facilita insorgere di A
Se P{A|B}<P{A} —> B ostacola insorgere di A

28
Q

Cosa è la variabile casuale(o aleatoria)?

A

Esperimento casuale i cui possibili risultati sono numeri

Spezio campione è su una RETTA

~la indico con il MAIUSCOLO

29
Q

Cosa è una variabile casuale discreta?

A

I valori possibili sono in numero finito o infinito numerabile

~i valori sono indicati in minuscolo

30
Q

Cosa è una variabile casuale continua?

A

I valori possibili sono numeri reali

~i valori sono indicati in minuscolo

31
Q

cosa è la distribuzione di massa?

A

pX(xi)=P{X=xi}

•Omega={xi} —> spazio campione che rappresenta tutti i possibili valori assunti da X
•pX(xi) —> probabilità che X assuma il valore xi

Rappresentabile con un grafico: ascisse xi e ordinate pX(xi)

Si ha che 0<=pX(xi)<=1 e
sommatoria da k=1 a N pX(xk)=1

32
Q

Frequenza statistica come probabilità:

A

P{i}=ni/N Per ogni i e N sufficientemente grande

Se riporti le funzioni statistiche in un grafico in funzione di N al crescere di questo N le funzioni tendono a convergere

33
Q

Cosa è il valore atteso (o media statistica)?
Indicato come muX

A

uX= E{X}=sommatoria da i=1 a N xipX(xi)

In generale la media statistica non coincide con nessuno dei valori assunti da X

La media statistica è quella aritmetica coincidono solo se gli eventi sono EQUIPOLLENTI. Evitare “valor medio” quando parli di ux

34
Q

Definizione assiomatica della probabilità:
Enuncia gli assiomi della probabilità

A

Assioma 1:
La probabilità P{A} di un evento A è sempre maggiore o uguale a 0
P{A}>=0

Assioma 2:
La probabilità di un evento certo è 1
P{omega=spazio campione}=1

Assioma 3:
Se A e B sono due eventi mutamente esclusivi (A u al contrario B= fi) allora P{A U B}= P{A} + P{B}

fi=insieme vuoto

•La probabilità assume valori compresi tra 0 e 1
•La probabilità dell’Unione di due eventi ero sei alla somma delle probabilità se è solo se i due eventi sono mutuamente esclusivi

35
Q

Qual è la probabilità di un evento impossibile?

A

Corollario: la probabilità dell’evento impossibile è ZERO

Infatti dato un generico evento A:
A= A U fi e A u al contrario fi=fi
per cui:
P{A}=P{A U fi}=P{A}+P{fi}
e conseguentemente:
P{fi}=0

36
Q

Momento di ordine k

A

(uX)^(k)=E{X^k}=sommatoria da i=1 a N (xi)^k pX(xi)

37
Q

Momento di ordine 2 = valore quadratico medio

A

(uX)^(2)=E{X^2}=sommatoria da i=1 a N (xi)^2 pX(xi)

Per definizione è un numero reale positivo

È tanto più elevato quanto più i valori di X sono lontani dallo 0

38
Q

Varianza (sigma^(2)X)

A

Sigma^(2)X= E{(X-muX)^2}=E{X^2}-mu^(2)X

Corrisponde al valore quadratico medio della variabile causale Y=Z-muX
(La variabile Y ha valore atteso nullo)

La varianza sigma^(2)X è un numero positivo

La distribuzione di massa di Y è uguale a quella di X ma traslata verso sinistra di una quantità pari a muX

39
Q

Probabilità dell’intersezione P{A u al contrario B}

A

È la probabilità che due eventi si verifichino contemporaneamente e si dice PROBABILITÀ CONGIUNTA

scrittura breve P{A,B} (= P{A u al contrario B} )

Vale proprietà commutativa:
P{A,B}=P{B,A}

Se A intersecato B=fi(insieme vuoto) —> P{A,B}=0

40
Q

Eventi mutuamente esclusivi

A

Eventi che non possono mai capitare contemporaneamente

La loro probabilità congiunta è nulla
P(A,B) = P(A u al contrario B)=0

41
Q

Eventi statisticamente indipendenti

A

P{A,B}=P{A}P{B}

Il verificarsi di un evento non condiziona il verificarsi dell’altro

Tutti gli eventi semplici appartenenti allo spazio campione sono EQUIPROBABILI con P=(numero eventi favorevoli)/(numero eventi totali)

L’intersezione di A con B deve essere diversa da fi(insieme vuoto)!!!
Se fosse uguale a fi si avrebbe:
P{A,B}=P{fi}=0 diverso da P{A}P{B} e gli eventi non sarebbero statisticamente indipendenti

•due eventi statisticamente indipendenti NON POSSONO ESSERE MUTUAMENTE ESCLUSIVI

42
Q

Probabilità condizionata

A

P={A|B} (probabilità di A condizionata da B)

P{A} e P{B} = probabilità marginali

43
Q

Deviazione standard sigmaX

A

È la radice quadrata positiva della varianza sigma^(2)X

Misura quanto la distribuzione di massa è sparpagliata attorno al valore medio

Se la deviazione standard ha valori bassi —> X assume valori prossimi al valore medio che quindi dà informazioni molto utili per determinare i valori che la variabile può assumere

Se la deviazione standard ha valori alti —> X assume anche valori molto lontani dal valore medio che quindi non dà informazioni utili sui valori che la variabile può assumere

44
Q

Distribuzione cumulativa

A

FX(x)=P{ X <= x}

Assume valori tra 0 e 1

È una funzione a gradini continua da destra
L’altezza del gradino è pari alla probabilità che la variabile casuale assuma il valore corrispondente all’ascissa X=xk

45
Q

Distribuzione cumulativa:
Calcolare la probabilità che X sia compresa tra xi(escluso) e xs(incluso)

A

P{xi < X <= xs}=P{X<=xs}-P{X<=xi}=FX(xs)-FX(xi)

46
Q

Variabili casuali continue X

A

Variabili casuali il cui spazio campione è l’asse reale.

Hanno una probabilità infinitesima ( P{X=x}=0) di accadere perché hanno un infinito non numerabile di possibili risultati x.

Perciò definisco la DISTRIBUZIONE CUMULATIVA: FX(x)=P{X<=x} Che ha valori compresi tra 0 e 1 ed è una funzione non decrescente (non è una funziona a gradini)

Non posso definire una distribuzione di massa, ma posso calcolare la probabilità che il risultato cada in un certo intervallo

47
Q

Densità di probabilità (ddp)

A

fX(x)=lim per Delta—>0 di (P{x<X<=x+Delta})/delta =
= lim per Delta—>0 di (FX(x+delta)-Fx(x))/delta =
= dFX(x) in dx

È una funzione positiva o nulla
Tende a zero per x—>+-inf
Il suo integrale tra -+inf =1

48
Q

Distribuzione cumulativa nella variabili continue

A

FX(x)=P{X<=x} Che ha valori compresi tra 0 e 1 ed è una funzione non decrescente (non è una funziona a gradini)

è la PRIMITIVA DELLA DENSITÀ DI PROBABILITÀ:
FX(x)=int(tra -inf e x) di fX(u)du
•Questo integrale fornisce la probabilità che la variabile casuale X sia compresa tra a e b

Quindi: FX(b)-FX(a)=P{a<X<=b}
•obv se a=b —> P{X=a}=0

Corollario: int(tra -+inf) di fX(u)du=FX(inf)-FX(-inf)=1-0=1

49
Q

Densità di probabilità GAUSSIANE (o normali) X=N(mu,sigma)

A

fX(x)=[1/sqrt(2pisigma^2)]e*[-(x-mu)^2]/[(2sigma)^2]

Ove mu=valore atteso
Sigma=deviazione standard

La ddp gaussiana è completamente definita noti mu e sigma

Se mu=0 —> ddp gaussiana è centrata nell’origine (simmetrica rispetto a x=0)

La ddp gaussiana e basata sull’INTEGRALE DI GAUSS:
Int(-+inf) di e^(-x^2) dx= sqrt(pi)
O
Int tra 0 e inf di e^(-x^2) dx= [sqrt(pi)]/2

L’area sottesa all’integrale di Gauss tra -+ inf vale 1

50
Q

Funzione errore di gauss

A

Sono integrali definiti:
er f(x)=[1/sqrt(pi)]int(-+x) di e^(-t^2) dt= [2/sqrt(pi)] int(tra 0 e x) di e^(-t^2) dt

•er f(0)=0
•Lim per x—>0 di er f(x)=1

51
Q

Funzione errore complementare dell’errore di Gauss

A

er fc(x)= 1- er f(x)= [2/sqrt(pi)]* int(tra 0 e x) di e^(-t^2) dt

52
Q

Densità di probabilità esponenziale unilatera

A

fX(x)= betae^(-betax) con beta>0

53
Q

Densità di probabilità esponenziale bilatera (o laplasciana)

A

fX(x)= (beta/2)*e^(-beta|x|) con beta>0

54
Q

Densità di probabilità uniforme U(a,b)

A

fX(x)= {0 per x<= a e per x>=b
{1/(b-a) per x€[a,b]

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