Analysis Flashcards
(31 cards)
Funktionenschar
definition
Funktion mit einer oder mehreren variablen,
z.B.: ft(x) = t * x^3
Stammfunktion
definiton + eindeutig oder nicht eindeutig?
F(x) = Stammfunktion der Normalfunktion f(x)
-> eindeutig bis auf Addition einer Konstanten c
Ableitung von f(x) = sin(x)
f’(x) = cos(x)
Ableitung von f(x) = cos(x)
f’(x) = -sin(x)
Wie oft sin(x) bzw. cos(x) ableiten, um wieder auf ursprüngliche Fkt zu kommen?
4 mal
tan(x) =
tan(x) = sin(x) / cos(x)
Differenzenquotient
definition + formel
- mittlere Änderungsrate
- steigung einer sekanten
- formel: ms = f(b) - f(a) / b - a
Differenzialquotient
definition + formel
- lokale änderungsrate
- steigung einer tangente
- formel: mt = lim f(x) - f(x0) / x - x0
Produktregel
formel
f(x) = u(x) * v(x)
f’(x) = u(x) * v’(x) + u’(x) * v(x)
Beispiel Produktregel:
f(x) = x^2 * sin(x)
f’(x) = x^2 * cos(x) + 2x * sin(x)
Faktorregel
definition + beispiel
- jeder faktor ohne x ändert sich beim differenzieren/ableiten nicht
- bsp: f(x) = a * g(x) -> f’(x) = a * g’(x)
- f(x) = 2x^3 -> f’(x) = 3 * 2x^2
Nullstelle
wie bestimmt man?
f(x) = 0
–> Mitternachtsformel!
Mitternachtsformel
x1/2 = -b +/- wurzel von b^2 - 4ac / 2a
Extrempunkte
definition + bestimmung
- HP, TP, TEP
- f’(x) bilden & gleich 0 setzen
-> wenn kein VZW dann TEP! - berechneter x-Wert in f(x) einsetzen, um y-Wert zu bekommen
- x-Wert in f’‘(x) einsetzen
- ergebnis > 0: Minimum, TP
- ergebnis < 0: Maximum, HP
Krümmungsverhalten
- f’‘(x) > 0: linksgekrümmt, TP
- f’‘(x) < 0: rechtsgekrümmt, HP
Wendepunkte
definition + bestimmung
Punkt auf einem Graphen, an dem dieser sein Krümmungsverhalten ändert
- f’(x), f’‘(x), f’’‘(x) bestimmen
- f’‘(x) = 0 berechen -> Stellen herausfinden, an denen die Krümmung des Graphen gleich 0 ist, also von links- in rechtskrümmung bzw umgekehrt ändert
- NS von f’‘(x) in f’’‘(x) einsetzen -> ist f’’‘(x) an diesen Stellen ungleich 0?
- f’’‘(x) > 0: krümmung von rechts nach links
- f’’‘(x) < 0: kr
- krümmung von links nach rechts
- NS von f’‘(x) in f(x) einsetzen -> y-Wert bestimmen
- f’(x0) = 0: TEP bei x0
–> Jeder TEP ist auch ein WP!
Monotonieverhalten
- f’(x) > 0: smf
- f’(x) < 0: sms
Tangente
gleichung bestimmen
y = mx + t
- Punkt (x0/f(x0))
- f’(x) bilden
- x0 in f’(x) einsetzen -> Steigung m
- f(x0) in y einsetzen & m einsetzen -> t berechnen
Normale
definition + gleichung bestimmen
- steht senkrecht auf tangente
-> geht durch densleben punkt & schneidet tangente in rechtem winkel - y = mx + t
- mn = - 1 / mt
- mt * mn = -1
Steigungswinkel alpha
= Winkel zwischen der positiven x-Achse & der Geraden
- TR Gradmaß D!
- tan (alpha) = m
- z.B: tan (alpha) = 0,5 -> tan^-1
alpha = 26,6°
Symmetrie
- ASY: f(-x) = f(x)
- PSU: f(-x) = -f(x)
MERKE
Ein Produkt wird 0, wenn ein Faktor 0 wird!
Kettenregel
- f(x) = u(v(x))
- f’(x) = u’(v(x)) * v’(x)
- Teil: äußere Fkt ableiten, innere bleibt
- Teil: innere Fkt ableiten & nachdifferenzieren
Beispiel Kettenregel:
f(x) = e^-4x
- e^-4x äußere Fkt
- -4x innere Fkt
- f’(x) = e^-4x * -4
