Arithmétique

Question 1

https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/arithmetique-m1011

Answer 1

https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/arithmetique-m1011

Question 2

Comment est composée la notation scientifique?

Answer 2

 Le 1er facteur, souvent appelé la mantisse, est un nombre décimal (a) supérieur ou égal à 1, mais inférieur à 10 et formé des chiffres significatifs du nombre initial.
 Le 2e facteur est une puissance de 10 exprimée en notation exponentielle qui indique l’ordre de grandeur du nombre.
  · L’exposant n est un nombre entier différent de zéro.
  · Si n ≥ 1, le nombre initial est plus grand que 1.
  · n ≤ −1, le nombre initial est compris entre 0 et 1.

a × 10ⁿ
1er facteur : 1 ≤ a < 10
2e facteur : n ∈ Z∗

Question 3

Qu’est-ce que 384 000 km en notation scientifique?

Answer 3

3,844 × 10⁵ km

Question 4

Qu’est-ce que 0,000 001 07 kg en notation scientifique?

Answer 4

1,07 × 10⁻⁶ kg

Question 5

Quelles sont les étapes pour exprimer un nombre en notation scientifique?

Answer 5

 1- Si le nombre initial n’a pas de virgule, ajouter une virgule à droite de la position des unités.
 2- Déplacer la virgule par bonds vers la gauche ou vers la droite, jusqu’à l’obtention d’un nombre plus grand ou égal à 1, mais plus petit que 10. Compter le nombre de bonds.
  ∘ Si les bonds ont été effectués vers la gauche, l’exposant sera positif.
  ∘ Si les bonds ont été effectués vers la droite, l’exposant sera négatif.
 3- Écrire le nombre en notation scientifique.

Question 6

Comment additionner et soustraire les nombres en notation scientifique?

Answer 6

5,6 × 10⁵ + 4,42 × 10⁷
 1- Identifier le nombre en notation scientifique ayant la plus grande puissance de 10.
  4,42 × 10⁷.
 2- Exprimer l’autre nombre à l’aide de cette puissance de 10.
  On doit exprimer le nombre 5,6 × 10⁵ à l’aide de la puissance 10⁷. On multiplie donc le 2e facteur de ce nombre par 10². Pour conserver la valeur du nombre, on devra diviser le 1er facteur par 10².
 3- Additionner ou soustraire les nombres en additionnant ou en soustrayant les 1ers facteurs seulement.
  0,056 × 10⁷ + 4,42 × 10⁷ = 4,476 × 10⁷
 4- Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin.
  4,476 × 10⁷ = 4,476 × 10⁷

Question 7

Comment multiplier et diviser les nombres en notation scientifique?

Answer 7

 1- Multiplier ou diviser les 1ers facteurs ensemble et les 2es facteurs ensemble.
 2- Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin.
2,9 × 10¹⁵ × 8,1 × 10⁻³
1– 2,9 × 10¹⁵ × 8,1 × 10⁻³
= (2,9 × 8,1) × (10¹⁵ × 10⁻³)
= 23,49 × 10¹⁵⁻³ = 23,49 × 10¹²
2– 23,49 × 10¹² = (23,49 ÷ 10) × (10¹² × 10) = 2,349 × 10¹³

Question 8

Quels sont tous les préfixes d’unité selon le système international?

Answer 8

Quetta (Q); quintillion
Ronna (R); quadrilliard
Yotta (Y); quadrillion
Zetta (Z); trilliard
Exa (E); trillion
Péta (P); billiard
Téra (T); billion
Giga (G); milliard
Méga (M); million
Kilo (k); mille
Hecto (h); cent
Déca (da); dix
Déci (d) -dix-
Centi (c) -cent-
Milli (m) -mille-
Micro (µ) -million-
Nano (n) -milliard-
Pico (p) -billion-
Femto (f) -billiard-
Atto (a) -trillion-
Zepto (z) -trilliard-
Yocto (y) -quadrillion-
Ronto (r) -quadrilliard-
Quecto (q) -quintillion-
Quand, Ronald, y’ zieute en patentant, Thériault gage mes kimonos hectiques des urnes. Unissant des centenaires malveillants, Mathieu m’obligea nerveusement, par fermentation, à zieuter York, ruant Quak.

Question 9

Qu’est-ce que la notation factorielle?

Answer 9

La notation factorielle, notée n!, est la façon d’écrire le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à un nombre n, où n est un nombre naturel. Elle permet de simplifier l’écriture de l’opération mathématique à effectuer. Plutôt que d’écrire le produit de tous les nombres entiers impliqués, il suffit d’écrire l’entier dont on veut calculer la factorielle suivi d’un point d’exclamation.
n! = n × (n − 1) × (n−2) × ⋯ × 3 × 2 × 1

Question 10

0! = ?

Answer 10

0! = 1
En ce qui concerne son utilisation concrète, la notation factorielle est surtout utilisée en probabilité pour déterminer le nombre de permutations possibles des éléments d’un ensemble.

Question 11

Dans quelle situation utilise-t-on la factorielle?

Answer 11

Cette situation comporte 5 événements. Il y a donc 5 choix possibles pour le premier numéro. Par la suite, cela signifie qu’il ne reste que 4 choix possibles pour le deuxième numéro et ainsi de suite. Afin de déterminer le nombre de possibilités totales d’ordre de présentation des numéros, il suffit de tout multiplier.
Nombre total de possibilités
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 5!
= 120

Question 12

Qu’est-ce que la valeur absolue d’un nombre?

Answer 12

La valeur absolue d’un nombre permet de considérer ce nombre sans tenir compte de son signe.
Autrement dit, si un nombre x
est positif, alors la valeur absolue de x est x, mais si x est négatif, alors la valeur absolue de x est son opposé, soit −x.
|125| = 125
−|−6|=−6
|−2 × 45| = |−90| = 90
Note : La valeur absolue d’un nombre est toujours positive.

Question 13

Quand utilise-t-on les valeurs absolues en algèbre?

Answer 13

|x|= y, donc x = y ou x = -y

Question 14

Quelles sont les propriétés de la valeur absolue?

Answer 14

La restriction sur la valeur absolue
|x| ≥
La valeur absolue de nombres opposés
|x| = |−x|
La valeur absolue d’un produit
|x × y| = |x| × |y|
La valeur absolue d’un quotient
|^x ⁄ _y| = ^|x| ⁄ _|y| si y ≠ 0

Question 15

Donne des exemples concernant les propriétés de la valeur absolue.

Answer 15

Restriction
|−1,3| = 1,3 et 1,3 ≥ 0
Nombres opposés
|4,5| = |−4,5|
4,5 = 4,5
Produit
|−2 × 6,4| = |−2| × |6,4|
|−12,8| = 2 × 6,4
12,8 = 12,8
Quotient
|^−12,3 ⁄ ₂| = ^|−12,3| ⁄ _|2||
|−6,15| = |^12,3 ⁄ ₂|
6,15 = 6,15

Les 2 dernières propriétés permettent de voir que la valeur absolue d’un produit (ou d’un quotient) de nombres est égale au produit (ou au quotient) des valeurs absolues de ces nombres. Toutefois, cela ne s’applique pas à l’addition ni à la soustraction.

Question 16

« [l]a valeur absolue d’une somme de nombres est toujours […]. »

Answer 16

« […] plus petite ou égale à la somme des valeurs absolues de ces nombres. Cette propriété, qu’on appelle l’inégalité triangulaire, se traduit par l’inéquation suivante. |x + y| ≤ |x| + |y|
Pour ce qui est de la soustraction, on a plutôt la propriété suivante. |x − y| ≥ ||x| − |y|| »

Question 17

« La première propriété, soit la restriction sur la valeur absolue, est utilisée pour vérifier si[…]. »

Answer 17

« […] une équation contenant une valeur absolue a une solution valide ou non. Par exemple, |x| = −6 est une équation qui n’a aucune solution, car elle ne respecte pas la restriction |x| ≥ 0. En effet, la valeur absolue de n’importe quel nombre réel x ne peut jamais être égale à un nombre négatif.»

Question 18

« Il est important de respecter les priorités des opérations. À ce propos, l’application de la valeur absolue se fait au même niveau […]. »

Answer 18

« […] de priorité que les parenthèses. Aussi, il est permis d’additionner, de soustraire ou de simplifier des valeurs absolues seulement si elles sont identiques. »

Question 19

Résous grossièrement 3|−5(x − 4)| = 3 × |−5| × |x − 4| en suivant la priorité des opérations

Answer 19

3|−5 (x − 4)| = 3 × |−5| × |x − 4|
= 3 × 5 × |x − 4|
= 15|x − 4|

Question 20

Que sont les logarithmes?

Answer 20

Elle est la réciproque de la notation exponentielle. Ainsi, lorsque la variable que l’on cherche à isoler se situe à la position des exposants, on peut utiliser les logarithmes.
c^log_cm=m.

Question 21

De quoi sont composés les logarithmes?

Answer 21

(Image)
À certaines occasions, on appelle l’argument du logarithme : la puissance.

Question 22

Quelles particularités a le logarithme concernant les bases?

Answer 22

Par convention, lorsque la base du logarithme est 10, on ne l’écrit pas : log₁₀ m = log m.
Très fréquemment, on utilise le logarithme naturel, dont la base est le nombre e. Lorsque la base du logarithme est e, on écrit ln plutôt que log_e. c > 0; c ≠ 1
Finalement, peu importe la base utilisée, m ≠ 0 étant donné qu’il n’existe aucune valeur réelle telle que cⁿ = 0.

Question 23

Quelles particularités a le logarithme concernant les arguments?

Answer 23

L’argument m du logarithme doit être supérieur à 0.

Question 24

Quels sont les cas particuliers des lois des logarithmes?

Answer 24

Le logarithme de 1 : log_c 1 = 0
Le logarithme dont l’argument est identique à la base : log_c c = 1
Le logarithme dont l’argument est égal à la base affectée d’un exposant : log_c c^t = t

Question 25

Quelles sont les lois des logarithmes?

Answer 25

Le logarithme d’un produit : log_c (M × N) = log_c M + log_c N Le logarithme d'un quotient log_c M/N = log_c M − log_c N Le logarithme d’une puissance log_c M_*n* = *n* log_c M Le logarithme fractionnaire log_1/c M = −log_c M Le changement de base log_c M = log_a M / log_a c ## Footnote Pour toutes ces propriétés, on a {c, a, M, N} ∈ ]0, +∞[ et n ∈ R. Ces lois peuvent être lues de la gauche vers la droite, mais également de la droite vers la gauche. Il est possible d’utiliser les lois dans un sens ou dans l’autre en fonction du problème qu’on cherche à résoudre.

Question 26

Quelles sont les définitions des lois des exposants?

Answer 26

Un exposant entier et positif indique le nombre de fois où la base apparait dans une multiplication, avec m > 0; 2³ = 2 × 2 × 2. Toute base affectée de l'exposant 0 donne 1 (sauf 0), a⁰ = 1; 0⁰ est indéfini. Toute base affectée de l'exposant 1 donne la base elle-même, a¹ = a. Une base affectée d'un exposant négatif est équivalent à l'inverse de la base affectée de l'exposant positif, a⁻^m = 1/a^m; (a/b)⁻^m = (b/a)^m; 2⁻⁴ = 1/2⁴ Une base affectée d'un exposant fractionnaire se traduit en une racine, a^m/n = ⁿ√a^m ## Footnote Il est important de considérer que {a, b} ⊂ ℝ et {m, n} ⊂ ℕ

Question 27

Quelles sont les propriétés des lois des exposants?

Answer 27

Si deux puissances d'une même base sont égales, alors les exposants sont égaux; si a^m = aⁿ alors m = n. Produit de puissances de même base : lorsque des notations exponentielles de mêmes bases sont multipliées ensemble, on additionne les exposants; a^m × aⁿ = a^{m + n} Quotient de puissances de même base : lorsque des notations exponentielles de même base sont divisées ensemble, on soustrait les exposants; a^m/aⁿ = a^{m − n} où a ≠ 0 Puissance d'un produit : on peut distribuer un exposant lorsqu'il affecte une parenthèse qui contient une multiplication; (ab)^m = a^mb^m Puissance d'un quotient : on peut distribuer un exposant lorsqu'il affecte une parenthèse qui contient une division; (a/b)^m = a^m/b^m où b ≠ 0 Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants quand une puissance est affectée d'un exposant; (a^m)ⁿ = a^mn ## Footnote Il est important de considérer que {a, b} ⊂ ℝ et {m, n} ⊂ ℕ

Question 28

Quelle est la règle concernant les lois des exposants?

Answer 28

1. Isoler *x* comme exposant 2. Trouver des bases équivalentes 3. Isoler les notations exponentielles avec les bases équivalentes de chaque côté 4. Comparer les exposants

Question 29

Quelles sont les propriétés des racines (exposant fractionnaire)?

Answer 29

Produit de racines de même indice : le produit de la racine de même indice de deux nombres est équivalent à la racine du même indice du produit de ces nombres; ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√a × b Quotient de racines de même indice : le quotient de la racine de même indice de deux nombres est équivalent à la racine du même indice du quotient de ces nombres; ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√a/b Factorisation d'une racine : on peut factoriser le radicande afin de simplifier l'écriture d'une racine; ⁿ√aⁿb = aⁿ√b ## Footnote a ∈ ℝ, m ∈ ℤ et n ∈ ℕ∗