CAP 1, SERIE DI FOURIER, TRASFORMATA DI FOURIER E DELTA DI DIRAC Flashcards
CONDIZIONI DI DIRICHLET
sono condizioni sufficienti ma non necessarie:
1. l’integrale tra meno infinito e piu infinito del modulo di x (t) esiste finito
2. numero DI MASSIMI E MINIMI finiti in un periodo
3. numero di punti di discontinuità finiti in un periodo
in alternativa basta che abbia energia finita
serie di fourier
se rispettate le condizioni di fourier, x(t) funzione periodica in un periodo T
x(t) ⁓ Cn e ^ j2 pi n t / T
con Cn = 1 / T int (T) x(t) e ^ -j2 pi n t/ T
la tilde significa che la sommatoria di fasori converge a x(t) sempre tranne nei punti di discontinuita, dove tende a x(t-) + x (t+) / 2
osservazioni sulla serie di fourier
-la serie di fourier è unica
-i coefficienti cn sono generalmente complessi
-anche se x(t) è aperiodica ma soddisfa le condizioni di dirichlet in un periodo allora posso calcolare comunque lo sviluppo in serie di fourier e mi esprimera x(t) come una sommatoria di fasori che vi converge solo in quel periodo T
- il coefficiente c0 fornisce il valor medio
-se x(t) ammette solo le prime n derivate allora cn va a 0 come 1 / n^ 2
sviluppo in serie di fourier di funzioni reali
- c0 ha valore reale
-cn ha simmetria hermitiana c-n = c * n
|cn|= |c-n|, arg (c-n) = arg (cn)
.posso scrivere sviluppo in soli coseni x(t) = c0 + sum(0,+inf) cn cos(2 pi n f0 t )
Trasformata di mio fratello fourier
se x(t) è una funzione aperiodica che rispetta le condizioni di dirichlet
X(f) = int (- inf + inf) x(t) e ^ - j2 pi f t dt
x(t) = int (- inf + inf) X(f) e ^ j2 pi f t df
X(F) è unica, generalmente complessa e vie anche detto spettro di x(t)
|X(F)| è lo spettro di ampiezza e dipende da segnali aperiodici o peridoci. in aperiodici si misura sul piano densita di frequenza/ ampiezza, per segnali periodici invece frequenza ampiezza
quali sono le propreita della trasformata di fourier
linearita
trasformata della derivata di x(t) = j2 pi f X(f)
trasformata dell integrale di x(t) = deltaf X(f)/2 + X(f)/j2 pi f
dualita
trasf di x pari reale è pari reale
trasf di x dispari reale e dispari immaginario
la trasformata di conj x(t) e conj X(-f)
trasf x(t- t0) = trasf x(t) e ^ -j 2 pi f t0
trasf x(t) e ^ + j2 pi f0 t = X(f - f0) IMPORTANTE QUEL PIU
parseval e rayleigh
trasf(ax) = 1/|a| X(f/a)
trasf(x(t) cos (2 pi f0 t + gamma))= 1 / 2 e ^ (j alfa) X(f - f0) + 1/2 e ^ (- j alfa) X(f + f0)
CONV DA UNA E PRODOTTO DALL ALTRA
trasformate notevoli
trasf di A rect(t / T ) = AT sinc (fT)
disegna anche spettri ( sincone sopra e a sinistra -1 0 -1 0 e a dx 1 0 1 0, con 0 in [-1, 1])
trasf di A cos (pi t /T) = 2 A T cos(pi f T ) / pi (1 - 4 f^2 T^2)
trasf di imoulso triuangolare , x(t) = A (1 - B |t|/T)
X(f) = A T / B sinc ^ 2 ( f T / B)
si risolve facendo la convoluzione tri = a rect (t/ T) * B rect (t / T ) = ABT (1 - |t|/T)
trasf di esponenziale monolatera x(t) =a e^-t/T, per t > 0 , 0 altrove
X(F) = AT / 1+ j2 pi f T
ripetizione periodica di una funzione aperiodica e formula di poisson
sia x (t) una funzione aperiodica, definiamo xp(t) come la sua ripetizione periodica nel seguente modo:
xp(t) = sum (-inf + inf) x(t- nt)
in questo caso si possono esprimere i coefficienti di fourier di questa funzione come Cn = fs X(n fs), ovvero come il campionamento periodico della trasformata di fourier di x (t) e in questo caso si arriva alla formula di Poisson
xp(t) = fs sum(- inf, + inf) X(n fs) e j2pint/T
robe da dire sui sistemi lti
se ho un sistema reale ( a input reale corrisponde output reale) allora la H(f) avra simmetria hermitiana
|H(f)| = Ay / Ax
arg (H(f)) = gamma y - gamma x
quindi in un sistema reale l ampiezza e pari e l argomento e dispari
per sistemi lti REALI IN REGIME SINUSOIDALE
y(t) = |H(f)| Vxm cos (2 pi f t + gamma x + arg (H(f))
