cap 4 probabilita

Question 1

funzione di distribuzione cumulativa

Answer 1

cdf = FX(x) = P (X <= x)

Question 2

percentile

Answer 2

P(X<= xi%) = i%

Question 3

funzione di densita’ di probabilita’

Answer 3

pdf, SOLO PER V.A. CONTINUE
fX(x) = d/dx Fx(x)

Question 4

funzione di massa di probabilita’

Answer 4

pmf, SOLO PER V.A. DISCRETE
Pi = P(X = xi)

Question 5

funzione di una V.A.

Answer 5

sia g(x) una funzione reale di variabile reale
allora g(X) e’ una variabile aleatoria
FY(y) = P(Y <= y) = P(g(X) <= y)
fY(y) = sum(i)( fX(xi)/ abs(g’(xi)), dove xi sono le soluzioni a g(x) = Y

Question 6

valor medio statistico

Answer 6

IE[X] = int(-inf, +inf) x fX(x) CONTINUO
IE[X] = sum(-inf, +inf) xi P(X = xi) discreto

Question 7

varianza

Answer 7

sigmaquadro= var(X) = IE[(X-IE[X])
^2] = IE [X ^2] - IE ^2 [X]

Question 8

devianzione standard

Answer 8

radice quadrata della varianza

Question 9

V.A. di bernoulli

Answer 9

X o successo o insuccesso
pmf : P(X= 1) = p, P(X =0) = q
IE[X] = p
var(X) = qp

Question 10

V.A. binomiale

Answer 10

X valuta il numero di successi su n esperimenti di Bernoulli
P(X = k) = (n) p ^k q ^ n- k, con o <= n <= k
………………(k)
IE[X] = sum(k = 0, n) kp(X = k) = np
var(X) = npq

Question 11

V.A. poisson

Answer 11

gaussiana discreto ediscion
P(X = k) = e^-a a^k / k!, a > 0, k >= 0
IE[X] = a
var(X) = a

Question 12

definizione di variabile aleatoria

Answer 12

è una mappa dallo spazio degli eventi a R che fa corrispondere ad ogni evento omega un numero reale R

Question 13

proprietà cdf (sono 6)

Answer 13

1. 0 <= FX(x) <= 1
2. e’ crescente
3. tende a 1 se x tende a infinito e tende a 0 se x tende a meno infinito
4. e’ continua a destra, cioe lim(epsilon -> 0+) FX(x + epsilon) = FX(x)
5. FX(b) - FX(a) = P(a <= x <= b)
6. FX(a) - FX(a-) = P(a = x)

Question 14

proprieta’ pdf (sono 5)

Answer 14

1. fX(x) >= 0 sempre, visto che cdf e sempre crescente
2. int(- inf, +inf) (fX(x)) = 1
3. int (a,b) (fX(x)dx) = P(a <= X <= b)
4. in generale int(D)(fX(x)dx) = P(X appartiene a D
   5 int (- inf, x)(fudu)= FX(x)

Question 15

proprieta’ valor medio (sono 3)

Answer 15

1. IE[c] = c
2. linearita’
3. IE[g(x)] = int(-inf+inf)(g(x)fX(x)dx)

Question 16

proprieta’ varianza(sono 4)

Answer 16

1.var (cX) = c^2 var(X)
2. var(c) = 0
3.var(c+ X) = var X
4. var X+Y = var X + var Y - 2cov XY

Question 17

funzione di correlazione

Answer 17

corr(X,Y) = IE[XY]

Question 18

funzione di covarianza

Answer 18

cov(X,Y) = IE[XY] - IE[X]IE[Y] = IE[(X- IE[X])(Y-IE[Y])]

Question 19

coefficiente di correlazione

Answer 19

rhoXY = cov(X,Y) / devstanX devstanY =( IE[XY] - IE[X]IE[Y] ) /sigmaX sigmaY

Question 20

proprieta coefficiente di correlazione

Answer 20

1. a causa della disuguaglianza di scwharz, abs(rho) <= 1
2. se uguale a 1 i due valori sanno nel piano xy su una retta, ovvero c e corrispondenza lineare tra i due e sapendone uno posso sapere l altro
   3 se rho > 0 allora sono concordi, cioe se X > IE[X] anche Y > IE[Y]
   4 se minore di zero sono discordi
3. se rho = 0 sono incorrelati, non c e nessun trend
4. due v.a. indipendenti sono per forza incorrelate, non per forza il contrario (apparte per gaussiane)

Question 21

Somma di v.a.
come calcolare FZ(z) e fZ(z)
dimostrare con calcoli

Answer 21

guarda quaderno / foto che non c ho boglia

Question 22

Distribuzioni congiunte
scrivere cdf e pdf/ pmf

Answer 22

cdf FXY(x,y) = P(X <= x, Y <= y)

se discrete pmf PXY(x, y) = P(X = xi, Y = yi)

se continue pdf fXY(x, y) = d^2/dxdy FX,Y(x,y)

Question 23

proprieta’ pdf congiunta
son 5

Answer 23

1. int (-inf, +inf) (int (-inf, +inf)( fX,Y(x,y) dx)dy = 1
2. int (-inf, x) ((int (-inf, y) (fX,Y(u,v) du)dv = FX,Y(x,y)
3. P(x< X < x + dx, y < Y < y+ dx) = fX,Y(x,y)
4. P(x,y appartengono a d ) = int (D) fX,Y(x,y)dxdy
5. MARGINALIZZAZIONE fX(x) = int (-inf, +inf) ( fX,Y(x,y) dy ) e viceversa daje

Question 24

VA congiuntamente gaussiane

Question 25

2 proprieta va congiuntamente gaussiane e conseguenza

Question 26

disuguaglianza di markov e dimostrazione

Question 27

disuguaglianza di chebyshev e dimostrazione

Question 28

legge dei grandi numeri

Question 29

V.A. uniforme

Answer 29

come si definisce X tilde (a,b)
fX(x) 1/ b-a
FX(x) x -a / b-a
IE[X] = a + b / 2
var(X) = (b - a ) ^ 2 / 12

Question 30

V.A. esponenziale

Answer 30

fX(x) = 1/mu e ^ - x / mu
FX(x) = 1 - e ^ - x / mu
IE[X] = mu
var (X) = mu ^ 2

Question 31

V.A. gaussiana

Answer 31

fX(X) = 1 / (sqr(2 pi) sigma )e ^ (x - mu) ^ 2) / 2 (sigma ^2)
IE[X] = mu
var(x) = sigma ^2
erf(X) = 2 / sqr(pi) int (0, x) ( e ^ - t^2) dt
erfc(x) 1 - erf(X)
Fx(x) = 1/2 - 1/2 erf(x- mu/sigma sqr(2))
= 1 - 1/2 erfc() = 1/2 erf()

Question 32

spazio di probabilità

Answer 32

(Omega, S , P())

Question 33

assiomi di kolmogorov

Answer 33

1. P(S) = 1 (assioma di normalizzazione)
2. P(S) >= 0 (assioma di non neegatività)
3. siano E1, …,En UNA QUALUNQUE SUCCESSIONE DI EVENTI DISGIUNTI ( cioe tali che Ei intersecato En = insieme nullo per ogni i != n) allora p(E1 U E2 U …) = sum (i = 1,n) p(Ei) (assioma di numerabile additività)

Question 34

definizioni possibili

Answer 34

definizione relativa
P(E) = lim n -> + inf (n E / n)
dove n è il numero di esperimeniti realizzati e n E è il numero di esperimenti che verificano l evento E

definizione classica ( vale solo per eventi equiprobabili)
P(E) = NE/N
dove ne e il numero di eventi che verificano l evento e N è il numero di eventi possibili

Question 35

proprietà delle probabilità (sono 4)

Answer 35

1 P(E) + p(Ec) = 1
2. P(A U B) = P(A) + P(B) - P ( A ⋂ B)
3. P(0) = 0
4 se E sottoinsieme di E2 allora p E <= p(E2)

Question 36

probabilità condizionata e formula di bayes

Answer 36

P(E1/ E2) = P(E1 ⋂ E2)/ P(E2)
P(E2/ E1) = P(E1/E2) P(E2) / P(E1)

Question 37

eventi statisticamente indipendenti e conseguenze

Answer 37

P(E1/ E2) = P (E1)
P(E1 ⋂ E2) = P(E1) P(E2)

Question 38

teorema della probabilità totale e teorema di bayes

Answer 38

se ho una partizione dello spazio degli eventi in insiemi disgiunti e ho A che ne interseca alcuni allora
P(A) = sum(i) (P(A/Di) P(Di)

teorema di bayes
P(Di/A) = P(A / Di) (P(Di)/ sum(i) P(A / Di) P(Di)

Question 39

funzione carataristica, proprietà e dimo

Answer 39

Φ(ω) = IE[e^jxω] = int(-inf, +inf) (e^jxω) fx(x)
1. (d/dω)^n (Φ(ω)), con ω= 0 è uguale a j^n IE[x^n]
2. X = X1 + X2 +______+ Xn variabili indipendenti => Φx(ω) = produttoria da 1 a n Φxi(ω)
dimo guarda sul quad

Question 40

definizione di campo

Answer 40

chiususra rispetto al complemento
chiusura rispetto all unione
chiusura rispetto all unione numerabile