chap.3 : les suites

Question 1

Qu’est ce qu’une suite réelle ?

Answer 1

c’est une application de N dans R

Question 2

Qu’est ce que le terme général de la suite ?

Answer 2

Un

Question 3

Formule d’une suite arithméticogéométrique ?

Answer 3

Un+1 = aUn + b
avec a et b dans R

Question 4

Formule d’une suite arithmétique ?

Answer 4

Un+1 = Un + b
(a =1)

Question 5

Formule d’une suite géométrique ?

Answer 5

Un+1 = aUn

Question 6

Suite monotone :

Answer 6

Un est croissante et pour tout n de N, on a Un ≤ Un+1
OU
Un est décroissante et pour tout n de N, on a Un ≥ Un+1

Question 7

Suite strictement monotones :

Answer 7

Un est strictement croissante : Pour tout n, Un < Un+1
OU
Un est strictement décroissante : Pour tout n, Un > Un+1

Question 8

Suite constante

Answer 8

Il existe c appartenant à Z tel que pour tout n : Un = c

Question 9

Suite stationnaire :

Answer 9

(Un) est constante à partir d’un certain rang : il existe N, pour tout n, (n > N), Un = c

Question 10

Suite majorée :

Answer 10

Il existe M dans R, pour tout n dans N, Un ⩽ M

Question 11

Si la suite est majorée, qu’en est-il de son application ?

Answer 11

A = { Un, n de N} est alors non vide majorée

Question 12

Suite minorée :

Answer 12

Il existe m dans R, pour tout n de N, Un ≥ m

Question 13

Si la suite est minorée, qu’en est-il de son application ?

Answer 13

A = { Un, n de N} est alors non vide minorée

Question 14

Suite bornée :

Answer 14

suite bornée si majorée et minorée à la fois.
∃ M ≥ 0, ∀ n de N, | Un | ⩽ M

Question 15

Si Un a pour limite un réel l, alors …

Answer 15

∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ, (n>N) implique : |Un - l| ⩽ ε

Question 16

Que signifie graphiquement la notion de limite vers un réel ?

Answer 16

Quelque soit l’epsilon, au bout d’un certain rang le nuage de point de la suite sera compris entre l + ε et l - ε.
Et plus on resserrera l’écart (= + ε sera pris petit), plus on se rapprochera de la limite.

Question 17

Si Un est convergente vers l, alors qu’en est-il de sa limite ?

Answer 17

Elle est unique.
démo par l’absurde, on suppose qu’il en existe deux.
On calcule |l1 - l2|, on ajoute-enlève Un, puis inégalité triangulaire. On n’oublie pas de prendre N = max(N1, N2) !
absurdité : |l1 - l2| > |l1 - l2|

Question 18

Si un n’est pas convergente, elle est …

Answer 18

divergente (ce qui ne veut pas forcément dire qu’elle tend vers +/-∞)
ex : Un = (-1)^n : oscille entre -1 et 1. divergente

Question 19

Caractérisation de la limite vers +∞ :

Answer 19

Si Un tend vers +∞, alors :
∀A ∈ ℝ, ∃N ∈ ℕ, (n > N), implique : (Un > A)
= pour tout nb réel, à partir d’un certain rang la suite sera supérieure à ce nb.

Question 20

Caractérisation de la limite vers -∞ :

Answer 20

Si Un tend vers -∞, alors :
∀A ∈ ℝ, ∃N ∈ ℕ, (n > N), implique : (Un < -A)
= pour tout nb réel, à partir d’un certain rang la suite sera inférieure à ce nb.

Question 21

Toute qui suite qui tend vers +∞ est …

Answer 21

minorée :
On trouve un rang N à partir duquel tous les termes sont supérieurs à par ex A=1. Puis, pour les n < N, on dit qu’il s’agit d’un ensemble fini, qui est donc minoré par son minimum.
m = min(U0, U1, …, UN-1)
On a bien Un minorée soit par 1 soit par m, selon le rang qu’on étudie

Question 22

Toute suite qui tend vers -∞ est …

Answer 22

majorée:
On trouve un rang N à partir duquel tous les termes sont inférieurs à par ex A=1.
= (n > N) Un < -1
Puis, pour les n < N, on dit qu’il s’agit d’un ensemble fini, qui est donc majoré par son maximum.
m = max(U0, U1, …, UN-1)
On a bien Un majorée soit par -1 soit par m, selon le rang qu’on étudie

Question 23

Toute suite convergente est …

Answer 23

bornée (voir démo)

Question 24

Propriétés d’ordre : 1° : passage à la limite :

Answer 24

On suppose : à partir d’un certain rang, (Un > a) ou (Un ≥ a)
Si Un tend vers l, alors l ≥ a

Question 25

Propriétés d’ordre : 2° comparaison et lim :

Answer 25

Un tend vers l :
- Si (a<l) : existe un rang à partir duquel : Un > a
- Si (l<b) : existe un rang à partir duquel : Un < b
- Si (a<l<b) : existe un rang à partir duquel : a < Un < b

Question 26

Théorème d’encadrement des gendarmes :

Answer 26

Si à partir d’un certain terme, on a : Un ≤ Vn ≤ Wn,
alors :
si Un et Wn tendent vers l, Vn aussi

Question 27

corollaire du théorème des gendarmes :

Answer 27

Supposons :
∃ n ∈ ℕ, (n > N), | Un - l | ≤ Vn.
Si : Vn tend vers zéro, alors Un tend vers l
démo : on enlève la valeur absolue = -Vn < Un - l < Vn
On fait passer les l de l’autre côté et comme on a Vn tend vers zéro on retrouve Un encadré par l

Question 28

Théorème n°1 des suites monotones :

Answer 28

1) Toute suite croissante et majorée est convergente.
2) Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Question 29

Théorème n°2 des suites monotones :

Answer 29

1) Toute suite croissante non-majorée diverge vers +∞
2) Toute suite décroissante non-minorée diverge vers -∞

Question 30

suites adjacentes :

Answer 30

• monotonies différentes
• lim (Un-Vn) = 0

Question 31

Théorème des suites adjacentes :

Answer 31

Si deux suites sont adjacentes alors elles sont convergentes et convergent vers la même limite.

Question 32

Lemme du théorème des suites adjacentes :

Answer 32

si Un est décroissante + sa limite est égale à zéro alors tous les termes de Un sont positifs

Question 33

suite récurrente :

Answer 33

définie par récurrence en partant de U0, les autres éléments sont définies par une relation de récurrence dépendants d’un ou plusieurs éléments précédents

Question 34

Théorème du point fixe :

Answer 34

si Un converge vers l + f(x) est continue
alors : f(l) = l
attention la réciproque est fausse

Question 35

Fonction k-lipschitzienne :

Answer 35

vérifie, k>0 :
∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, | f(x) - f(y) | ⩽ k|x-y|

Question 36

Cas particulier de la fonction k-lipschitzienne :

Answer 36

si k ∈ ] 0,1[ : f est dite contractante

Question 37

Théorème des suites k-lipschitziennes :

Answer 37

soit Un une suite récurrente avec Uo donnée et Un+1 = f(Un), avec f contractante.
si ∃ l ∈ ℝ, tel que f(l) = l
ALORS la suite converge vers l

Question 38

Série de terme général Un :

Answer 38

= la suite (Sn)n de sommes partielles (Un).
C’est une somme finie de (n+1) termes

Question 39

Série de Riemann :

Answer 39

Un = 1/k^s :
- convergente si s>1
- divergente si s ⩽ 1
- s=1 : on retrouve la série harmonique de Un = 1/k

Question 40

Condition nécessaire d’une série :

Answer 40

(Sn) est convergente alors Un tend vers 0

Question 41

Condition suffisante : convergence absolue

Answer 41

Sn est convergente absolue si Un est convergente