chap. 5 : dérivation

Question 1

Quand est-ce qu’une fonction est dérivable ?

Answer 1

quand
lim (h->0) de f(a+h) - f(a))/ (h) = d
d ∈ ℝ, d étant le nombre dérivé

Question 2

Quel changement de variable peut-on effectuer quand on regarde si une fonction est dérivable ?

Answer 2

x = a+h

Question 3

quelle modification à la définition d’une fonction dérivable quand on fait le changement de variable ?

Answer 3

lim (x->a) =f(x) - f(a))/ (x-a) = d

Question 4

f(x) est dite dérivable sur tout Ω si …

Answer 4

si f est dérivable en tout point de Ω

Question 5

interprétation graphique du nombre dérivé ?

Answer 5

il s’agit de la pente de la droite, du coeff directeur ou du taux d’accroissement de la fonction ou le taux de variation de f(x)

Question 6

fonction =dérivable en a : conséquence graphique ?

Answer 6

la courbe admet une tangente Ta au point d’abscisse a de pente f’(a)

Question 7

Equation de la tangente :

Answer 7

y = f’(a)(x-a) + f(a)

Question 8

que peut-on dire de la tangente ?

Answer 8

c’est la meilleure approximation affine en a de la courbe

Question 9

Si la dérivée vaut zéro …

Answer 9

la tangente est horizontale

Question 10

si la fonction n’est pas dérivable …

Answer 10

la tangente est verticale

Question 11

f dérivable implique …

Answer 11

f continue

Question 12

f est dérivable en a à droite si :

Answer 12

a n’est pas le plus grand élément de l’intervalle et la lim en a à droite = f’d (a)

Question 13

f est dérivable en a à gauche si :

Answer 13

a n’est pas le plus petit élément de l’intervalle et la lim en a à gauche = f’g (a)

Question 14

Si f est dérivable en a, qu’est ce que cela signifie ?

Answer 14

f’d(a) = f’g(a)

Question 15

opérations dérivables :

Answer 15

• somme
• produit par un scalaire
• produit
• quotient par 1
• quotient

Question 16

dérivée d’ordre supérieur :

Answer 16

notée f^(n)

Question 17

formule de la dérivée n-ième :

Answer 17

f^(n) = dérivée de (f^(n-1))

Question 18

convention : f^(0) =

Answer 18

fx

Question 19

sin^n(x) =

Answer 19

sin (x + nπ/2)

Question 20

cos^(n) (x) =

Answer 20

cos ( x + nπ/2)

Question 21

Classe d’une fonction :

Answer 21

f est de classe C^n sur l’intervalle si :
- f est dérivable n fois sur l’intervalle
- f^n est continue sur l’intervalle

Question 22

classe infinie :

Answer 22

f est indéfiniment dérivable sur l’intervalle.

Question 23

Qu’est-ce que le minimum global en a ?

Answer 23

f admet un minimum global en a si ∀x ∈Ω,
f(x) ≥ f(a)

Question 24

Qu’est ce que le maximum global en a ?

Answer 24

x est le maximum global en a de f si ∀x ∈Ω,
f(x) ⩽ f(a)

Question 25

Qu’est-ce que le minimum local en a ?

Answer 25

f admet un min local en a si ∃ η >0, ∀x ∈ V(a) ∩ Ω, f(x) ≥ f(a)

Question 26

Qu’est ce que le maximum local en a ?

Answer 26

x est le max local en a si ∃ η >0, ∀x ∈ V(a) ∩ Ω, f(x) ⩽ f(a)

Question 27

Quand est-ce qu’une fonction admet un extremum ?

Answer 27

Quand elle admet un maximum ou un minimum

Question 28

Quand est-ce qu’une fonction admet un extremum strict ?

Answer 28

Si les inégalités qui interviennent dans les déf sont strictes.

Question 29

Implication d’un extremum global en a ?

Answer 29

il y a un extremum local en a (attention la réciproque est fausse)

Question 30

Caractérisation des extremums ?

Answer 30

Ω est un int ouvert
si f est dérivable en a et a = extremum local
alors f’(a) =0

Question 31

remarques sur la caractérisation des extremums:

Answer 31

• f’ (a) = 0 ne signifie pas que a est un extremum de f(x)
• la condition de l’intervalle ouvert est nécessaire.

Question 32

théorème de Rolle :

Answer 32

Soit f : [a,b] -> ℝ :
- f est continue sur [a,b]
- f est dérivable sur ]a,b[
- f(a) = f(b)
ALORS : ∃ c ∈ ]a,b[ tq : f’(c) = 0

Question 33

interprétation du théorème de Rolle :

Answer 33

• si f(a) = f(b) alors AB // Ox
• il existe au moins un point d’abscisse c où la tangente Tc//AB//Ox
• f’(c) = 0

Question 34

énoncé du T.A.F. :

Answer 34

soit f définie sur [a,b] -> R
- f est continue sur [a,b]
- f est dérivable sur ]a,b[
Alors :
∃C ∈ ]a,b[, f(b) - f(a) = f’(c)(b-a)

Question 35

inégalité des accroissements finis :

Answer 35

f : [a,b] -> R
continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, si f’ est bornée, ∃M ⩾ 0,
tel que ∀x ∈ ]a,b[, | f(x)’ | ⩽ M
Alors : | f(b) - f(a) | ⩽ M (b-a)

Question 36

Caractérisation des fonctions k-lipschitziennes :

Answer 36

Ω, un intervalle, Ωo privé de ses bornes. f est dérivable.
( f est k-lipschitzienne sur Ω)
=
(∀x ∈ Ωo, |f’ (x) | ⩽ k

Question 37

Monotonie et signe de la dérivée :

Answer 37

f dérivable sur Ωo, continue sur Ω
∀x ∈ Ωo, f’(x) = 0
=
f est constante sur Ω

Question 38

signe de la dérivée : +

Answer 38

∀x ∈ Ωo, f’(x) ⩾ 0

f est croissante sur Ω

Question 39

signe de la dérivée : -

Answer 39

∀x ∈ Ωo, f’(x) ⩽ 0

f est décroissante sur Ω

Question 40

signe de la dérivée : + strict :

Answer 40

∀x ∈ Ωo, f’(x) > 0

f est strictement croissante sur Ω

Question 41

signe de la dérivée : - strict

Answer 41

∀x ∈ Ωo, f’(x) < 0

f est strictement décroissante sur Ω

Question 42

1° =

Answer 42

π/180

Question 43

théorème de la dérivée d’une fonction réciproque :

Answer 43

Ω, intervalle ouvert de R
soit f strictement monotone (injective) + dérivable (surjective)
si f’(x) ≠ 0 ∀x ∈ Ω
Alors :
- f-1(x) est dérivable sur f(Ω)
- ∀ y ∈ f(Ω),,
(f-1)’ = 1 / (f’ ° f-1)

Question 44

interprétation graphique des courbes de f-1 et f ?

Answer 44

leurs deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x