CM2

Question 1

Qu’est-ce que l’inférence ?

Answer 1

On peut déduire ψ à partir de φ et φ → ψ, ce qui se note φ, φ → ψ ⊢ ψ

Question 2

Qu’est-ce qu’une sous-base cohérente ?

Answer 2

Un sous-ensemble A d’un ensemble de formules Σ tel que ⋀A ⊬ ⊥

l’intersection des éléments de A ne prouve pas bottom

Question 3

Qu’est-ce qu’une sous-base maximalement cohérente ?

Answer 3

Une sous-base cohérente A ⊆ Σ telle que A = Σ ou ∀ φ ∈ Σ ∖ A, A ∪ φ ⊢ ⊥ (toute formule qu’on ajoute supprime la cohérence)

Question 4

Qu’est-ce qu’une sous-base minimalement incohérente ?

Answer 4

Une sous-base cohérente A ⊆ Σ telle que A = ⊥ ou ∀ v, A \ {φ} !⊢ ⊥ (toute formule qu’on supprime supprime l’incohérence)

Question 5

Définition d’Inc(Σ)

Answer 5

Inc(Σ) = {φ | ∃ A ⊆ Σ, φ ∈ A} et A est minimalement incohérente}, l’ensemble des formules appartenant au moins à une sous-base minimalement incohérente

Question 6

Définition de MC(Σ)

Answer 6

MC(Σ) est l’ensemble des sous-bases maximalement cohérentes de Σ

Question 7

Définition de L(Σ)

Answer 7

L(Σ) = {A ∈ MC(Σ) | ∀ B ∈ MC(Σ), |A| ≥ |B|}

Question 8

Qu’est-ce qu’un argument pour une formule ?

Answer 8

A ⊆ Σ est un argument pour la formule φ si et seulement si
- A est cohérent (A !⊢ ⊥), sinon on peut tout en déduire
- A prouve φ (A ⊢ φ), sinon on ne peut pas déduire φ
- ∀ ψ ∈ A, A ∖ {ψ} !⊢ φ (A est minimal), sinon il y a des informations dont on a pas besoin pour déduire φ

Question 9

Comment représente-t-on “A est un argument pour φ” ?

Answer 9

⟨A, φ⟩

Question 10

Qu’est-ce qu’une conséquence argumentative pour une formule et une base non-stratifiée ?

Answer 10

φ est une conséquence argumentative de Σ non-stratifiée si et seulement si
- il y a un argument pour φ dans Σ
- il n’y a pas d’argument pour ¬φ dans Σ

Question 11

Comment représente-t-on “φ est une conséquence argumentative de Σ non-stratifiée” ?

Answer 11

Σ ⊢_A φ

Question 12

Sous quelles conditions l’inférence classique (⊢) et l’inférence argumentative (⊢_A) sont-elles équivalentes ?

Answer 12

Lorsque Σ est cohérente

Question 13

Qu’est-ce qu’une formule libre ?

Answer 13

φ ∈ Σ est libre si et seulement si φ !∈ Inc(Σ), c’est-à-dire si Free(Σ) = Σ\Inc(Σ) donc si φ n’est jamais impliqué dans un conflit

Question 14

Qu’est-ce qu’une conséquence libre dans une base non-stratifiée ?

Answer 14

φ est une conséquence libre de Σ non-stratifiée si et seulement si Free(Σ) ⊢ φ

Question 15

Comment représente-t-on “φ est une conséquence libre de Σ non-stratifiée” ?

Answer 15

Σ ⊢_Free φ

Question 16

Quels sont les liens entre la conséquence argumentative et la conséquence libre ?

Answer 16

• Σ ⊢_Free φ ⇒ Σ ⊢_Arg φ
• L’inverse n’est pas vrai

Question 17

Qu’est-ce que la conséquence universelle (ou MC-séquence) ?

Answer 17

φ est une MC-conséquence de Σ si et seulement si ∀ A ∈ MC(Σ), A ⊢ φ, c’est-à-dire si φ est dans toutes les sous-bases maximalement cohérentes de Σ

Question 18

Comment représente-t-on “φ est une MC-conséquence de Σ” ?

Answer 18

Σ ⊢_MC φ

Question 19

Quels sont les liens entre la conséquence argumentative et la MC-conséquence ?

Answer 19

• Σ ⊢_MC φ ⇒ Σ ⊢_Arg φ
• L’inverse n’est pas vrai

Question 20

Quels sont les liens entre la conséquence libre et la MC-conséquence ?

Answer 20

• Σ ⊢_Free φ ⇒ Σ ⊢_MC φ
• L’inverse n’est pas vrai

Question 21

Quel problème se pose pour implémenter la conséquence universelle (ou MC-conséquence) ?

Answer 21

La taille de MC est exponentielle en le nombre de conflits

Question 22

Qu’est-ce que la conséquence lexicographique (ou L-conséquence) ?

Answer 22

φ est une L-conséquence de Σ si et seulement si ∀ A ∈ L(Σ), A ⊢ φ, c’est-à-dire si φ est dans toutes plus grandes sous-bases maximalement cohérentes de Σ

Question 23

Comment représente-t-on “φ est une L-conséquence de Σ” ?

Answer 23

Σ ⊢_L φ

Question 24

Quels sont les liens entre la MC-conséquence et la L-conséquence ?

Answer 24

• Σ ⊢_MC φ ⇒ Σ ⊢_L φ
• L’inverse n’est pas vrai

Question 25

Quels sont les liens entre la conséquence argumentative et la L-conséquence ?

Answer 25

Elles ne sont pas comparables

Question 26

Qu’est-ce que la conséquence existentielle ?

Answer 26

φ est une conséquence existentielle de Σ si et seulement si ∃ A ∈ MC(Σ), A ⊢ φ

Question 27

Comment représente-t-on “φ est une conséquence existentielle de Σ” ?

Answer 27

Σ ⊢_∃ φ

Question 28

Quels sont les liens entre la L-conséquence et la conséquence existentielle ?

Answer 28

• Σ ⊢_L φ ⇒ Σ ⊢_∃ φ
• L’inverse n’est pas vrai

Question 29

Quels sont les liens entre la conséquence argumentative et la conséquence existentielle ?

Answer 29

• Σ ⊢_A φ ⇒ Σ ⊢_∃ φ
• L’inverse n’est pas vrai

Question 30

Comment la priorité au sein d’une base de connaissance Σ est-elle représentée ?

Answer 30

Σ est partitionnée en Σ = S₁ ∪ … ∪ S_n où toutes les formules d’une même strate ont la même priorité et les formule de S_i sont plus prioritaires que les formules de S_j>i

Question 31

Qu’est-ce que la i-conséquence ?

Answer 31

Soit Σ = S₁ ∪ … ∪ S_n une base de connaissances stratifiée, φ est une i-conséquence de Σ si et seulement si
- S₁ ∪ … ∪ S_n est cohérent
- S₁ ∪ … ∪ S_n ⊢ φ
- ∀ j < i, S₁ ∪ … ∪ S_j !⊢ φ

Question 32

Comment représente-t-on “φ est une i-conséquence de Σ” ?

Answer 32

Σ ⊢_i φ

Question 33

Qu’est-ce que la π-conséquence (ou conséquence possibiliste) ?

Answer 33

φ est une π-conséquence de Σ si et seulement si il existe i tel que c’est une i-conséquence de Σ

Question 34

Comment représente-t-on “φ est une π-conséquence de Σ” ?

Answer 34

Σ ⊢_π φ

Question 35

Qu’est-ce que π(Σ) ?

Answer 35

π(Σ) = {S₁ ∪ … ∪ S_i | S₁ ∪ … ∪ S_i est cohérent, S₁ ∪ … ∪ S_i+1 est incohérent}

Question 36

Quand est-ce que π(Σ) = Σ ?

Answer 36

Lorsque Σ est cohérent

Question 37

Quel est le lien entre la π-conséquence et le calcul de π(Σ) ?

Answer 37

Σ ⊢_π φ si et seulement si π(Σ) ⊢ φ

Question 38

Quel est le défaut de la conséquence possibiliste ?

Answer 38

Le “drowning problem” : on perd toutes les informations moins prioritaires que le conflit, même si elle n’ont rien à voir avec le conflit

Question 39

Qu’est-ce que la sous-base dominante de Σ ?

Answer 39

Soit Σ = S₁ ∪ … ∪ S_n, c’est Σ* = Free(S₁) ∪ Free (S₁ ∪ S₂) ∪ … ∪ Free(S₁ ∪ … ∪ S_n)

Question 40

Quelles sont les propriétés de la sous-bases dominante ?

Answer 40

• Pour tout i ≥ 1, si φ !∈ Free(S₁ ∪ … ∪ S_i), alors φ !∈ Free(S₁ ∪ … ∪ S_k) avec k≥i
• En général, il n’y a pas de relation d’inclusion entre Free(S₁ ∪ … ∪ S_i) et Free(S₁ ∪ … ∪ S_k) avec k≥i

Question 41

Qu’est-ce que la conséquence libre sur une base stratifiée ?

Answer 41

φ est une conséquence libre de Σ sratifiée si et seulement si Σ* ⊢ φ

Question 42

Comment représente-t-on “φ est une conséquence libre de Σ stratifiée” ?

Answer 42

Σ ⊢_ND φ

Question 43

Qu’est-ce que l(Σ) ?

Answer 43

• l(S₁) vaut S₁ si la strate est cohérente, ∅ sinon
• pour i > 1, l(S₁ ∪ … ∪ S_i) = I(S₁ ∪ … ∪ S_i-1) ∪ S_i est cohérente, I(S₁ ∪ … ∪ S_i-1) sinon

Question 44

Qu’est-ce que la conséquence linéaire ?

Answer 44

φ est une conséquence libre de Σ si et seulement si l(Σ) ⊢ φ

Question 45

Comment représente-t-on “φ est une conséquence linéaire de Σ” ?

Answer 45

Σ ⊢_l φ

Question 46

Comparer les conséquences possibiliste et linéaire pour les bases stratifiées

Answer 46

La conséquence linéaire est plus prouctive que la conséquence possibiliste, mais elle ne règle pas le “drowning problem”

Question 47

Comparer les conséquences libre et linéaire pour les bases stratifiées

Answer 47

Elles sont incomparables

Question 48

Qu’est-ce qu’un argument de rang i ?

Answer 48

A ⊆ Σ est un argument de rang i pour la formule φ si
- A est cohérente (A !⊢ ⊥)
- A ⊢ φ
- ∀ ψ ∈ A, A ∖ {ψ} !⊢ φ (A est minimale)
- R(A) = max{j | A ∩ S_j != ∅} = i

Question 49

Qu’est-ce que la conséquence argumentative pour une base stratifiée ?

Answer 49

φ est une conséquence argumentative de Σ stratifiée si et seulement si
- il existe un argument de rang i pour φ dans Σ
- les arguments pour ¬φ sont de rang j>i