Colle de maths Flashcards
(17 cards)
Définition d’une base de E
Une base de E est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice de E.
Caractéristiques d’une base
Soit F =(e1, …, en) une famille de vecteurs de E. F est une base de E ssi :
Pour tout u € E, il existe un unique n-uplet (lambda1, …, lambdan) € K^n, u = somme des lambdai*ei allant de i = 1 à n
Mq F + G est un sev de E
Soient F et G deux sev de E
- Par construction, F + G C E
- 0e € F et 0e € G car F et G sont des sev de E. 0e = 0e + 0e € F + G
- Mq u + v € F + G
u € F + G <==> il existe (u1,u2) € FxG, u = u1 + u2
v € F + G <==> il existe (v1,v2) € FxG, v = v1 + v2
u + v = (u1 + u2) + (v1 + v2) car F et G sev de E. D’où u + v € F + G
- Soit lambda € K et u € F + G
u € F + G <==> il existe (u1,u2) € FxG, u = u1 + u2
lambdau = lambdau1 (€ F) + lambdau2 (€ G) car F et G sev de E
D’où lambdau € F + G
Ainsi, F + G est un sev de E
Vect(A), sev de E engendré par A
Soit A = (e1, …, en) une famille de vecteurs de E. L’ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs est un sev de E noté Vect(A) et appelé sev de E engendré par A.
Vect(A) = {lambda1e1 + … + lambdanen} avec (lambda1, …, lambdan) € K^n
Mq Vect(A) est le plus petit sev de E contenant A
Soit G un sev de E contenant A.
Mq Vect(A) C G.
Pour tout i € [|1 ; p |], ei € G.
Comme G est un sev de E, alors G contient toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de A. Ainsi, Vect(A) C G
Famille libre
Soit F = (e1, …, en) une famille de vecteurs de E. F est dite libre ssi :
pour tout (a1, …, an) € K^n, a1e1 + … + anen = 0 ==> a1 = … = an = 0
On dit aussi que ces vecteurs sont linéairement indépendants.
Famille liée
F est dite liée si F n’est pas libre, c’est-à-dire :
il existe (a1, …, an) non tous nuls, a1e1 + … + anen = 0
On dit aussi que ces vecteurs sont linéairement dépendants.
Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
Famille génératrice
La famille (e1, …, en) est dite génératrice de E ssi :
E = Vect(e1, …, en), c’est-à-dire :
pour tout u € E, il existe (lambda1, …, lambdan) € K^n, u = lambda1e1 + … + lambdanen
Que signifie w s’écrit comme une combinaison linéaire de vecteurs ?
On appelle combinaison linéaire de vecteurs les vecteurs de la forme lambda1e1 + … + lambdanen.
w s’écrit comme une combinaison linéaire de vecteurs signifie qu’il existe des réels (lambda1, …, lambdan) € K^n, w = lambda1e1 + … + lambdanen
Définition d’un sev
F est un sev de E ssi :
- 0e € F
- Pour tout (x,y) € F², x + y € F
- Pour tout lambda € K, pour tout x € F, lambda*x € F
Somme des sev F et G
F + G = {u € E / il existe (u1,u2) € FxG, u = u1 + u2}, c’est-à-dire :
u € F + G <==> il existe (u1,u2) € FxG, u = u1 + u2
Somme directe des sev F et G
F et G sont en somme directe ssi :
F ∩ G = {0e}
On note F ⊕ G
Sev supplémentaires dans E
F et G sont supplémentaires dans E ssi :
F ⊕ G = { F ∩ G = {0e}
F + G = E <==> pour tout u € E, il existe (u1,u2) € FxG, u = u1 + u2
<==> pour tout u € E, il existe ! (u1,u2) € FxG, u =u1 + u2
Nécessairement w € Vect(u,v)
Soient u,v,w trois vecteurs de E tels que (uv) est libre et (u,v,w) est liée.
Il existe (a1,a2,a3) € R^3 \ {0,0,0}, a1u + a2v + a3w = 0.
Si a3 = 0, alors a1u + a2v = 0 et comme (uv) est libre :
a1 = a2 = 0, ce qui contredit le triplé (0,0,0) donc a3 !=0.
Ainsi, a3w = -a1u - a2v
w = (-a1/a3)u - (a2/a3)v
Ainsi, w € Vect(u,v)
Bases canoniques de R^n
((1,0) ; (0,1)) est la bc de R²
((1,0,0) ; (0,1,0) ; (0,0,1)) est la bc de R^3
(e1, …, en) est la bc de R^n où ei = (0, …, 0,1,0, …,0) et le 1 est à la i-ème position.
En effet, pour tout (x1, …, xn) € R^n, u = x1e1 + … + xnen
Rn[X] = {P € R[X], deg(P) =< n}
Pour tout P € Rn[X], il existe ! (a0, …, an) € R^(n+1), P = a0 + a1X + … + anXn
La famille (1, X1 X², …, X^n) est la bc de Rn[X]
Contraposée de P ==> Q
¬Q ==> ¬P
Si F ∩ G != {0e} alors F et G ne sont pas supplémentaires
