Derivate Flashcards
(40 cards)
Quando una funzione si dice derivabile in un punto
Quando esiste finito il limite del suo rapporto incrementale
Qual è l’equazione di una retta secante la funzione in due punti (grafico derivata)
Y-fx0. =x-x0
Fx0+h-fx0. X0+h-x0
Quando una funzione si dice derivabile in (a,b)
Quando tutti i punti dell intervallo sono derivabili
Cosa significa punto interno
Un punto interno è un punto che appartiene all’intervallo (x0-h,x0+h) e se la funzione è derivabile allora tutti i punti interni a questo intervallo saranno derivabili
Quando una funzione è derivabile nell’intervallo chiuso [a,b]
Quando essa è derivabile in tutto l’intervallo e ammette derivata destra in a e sinistra in b
Che rapporto hanno la derivabilità e la continuità
Se una funzione è derivabile allora essa è anche continua
Una funzione continua in un punto può non essere derivabile in quel punto?
Si, come la funzione valore assoluto in 0
Derivata della funzione inversa
Se una funzione è continua invertibile e derivabile allora la sua inversa sarà anch’essa derivabile e la sua derivata sarà uguale a 1/derivata di fx
Regola della catena
Se ho due funzioni f e g derivabili in x0 e fx0 allora la derivata della loro composta sarà g’fx0*f’x0
Qual è l’equazione della retta tangente nei punti di massimo e minimo assoluti
È y=fx0 perché la derivata prima deve essere nulla
Differenza massimo/minimo assoluto e locale
Assoluti sono in tutto l’intervallo
Locali solo in un intorno di x0
Quando si ha un punto di minimo locale
Quando, preso un δ>0, fx>_fx0 con x appartenente all intorno di x0-δ e x0+δ
Cosa dice il teorema di fermat
Presa una funzione definita in [a,b] e con valori in R, se x0 è un massimo o minimo locale, allora esso sarà un punto stazionario e avrà derivata prima uguale a 0
Come si dimostra fermat
Si prende un punto di minimo e si impone la definizione di minimo locale in un intorno, poi si prende h come differenza tra X e x0 e si sostituisce. Si nota come il modulo di h dovrà essere minore di delta e quindi il limite del rapporto incrementale cambierà valore a seconda se h sarà positivo o negativo. Essendo x0 derivabile per ipotesi allora fx0 sarà sicuramente uguale a zero
Cos’è un punto stazionario
Un punto dove la derivata prima della funzione si annulla
Tutti i punti stazionari sono di Massimo o minimo
No possono essere anche di flesso a tangente orizzontale
Come si applica il teorema di fermat?
I punti di massimo e minimo locale si possono trovare
Agli esterni del dominio
Nei punti di non derivabilita
Nei punti in cui la derivata prima si annulla
Teorema di rolle
Presa una funzione se fa=fb allora esisterà un punto c tale che f’c=0
Teorema di lagrage
Presa una funzione continua e derivabile, allora esisterà un punto x0 tale che f’x0= fb-fa/b-a
Criterio di monotonia
Se una funzione è crescente allora la derivata prima sarà maggiore o uguale di zero
Se è decrescente il contrario
Caratterizzazione delle funzioni costanti
Se una funzione è continua in [a,b] ed è derivabile in [a,b] e la sua derivata prima è nulla in tutto l’intervallo allora la funzione è costante
L’unione di due intervalli è un intervallo?
No, l’intervallo deve essere un blocco unico
La caratterizzazione delle funzioni costanti vale anche se f non si trova in un intervallo
No f deve trovarsi per forza in un intervallo
Come calcolare la derivata destra/ sinistra usando il limite della derivata
Si calcola il limite della derivata per X che tende ad valore a da destra o sinistra che sarà a uguale ad un valore L. Allora la derivata destra o sinistra in quel punto esisterà e sarà uguale a L
