Derivati Flashcards

Question

In un future su bond cosa viene pagato a scadenza? Se il prezzo è determinato sulla base della quotazione finale del future e non quella iniziale dove risiede la copertura?

Answer 1

Viene pagato L’invoice price IP che è pari a EDSP*CF +AI Dove: EDSP: è il prezzo del future 2 giorni prima della consegna quando smette di quotare CF= fattore di conversione che rettifica per il valore relativi del bond consegnato rispetto al nozionale AI= rateo. il prezzo che viene pagato infatti è il dirty price (o prezzo tel quel) che è pari al clean price (corso secco) + il rateo che è la quota del prossimo dividendo che pagherà il bond maturata nel periodo in cui il bond era ancora in possesso del venditore (sarà tanto maggiore quanto più tempo è passato dall’utima cedola distribuita e tanto meno tempo manca alla prossima cedola). Si potrebbe infatti pensare che uno che si aspetta un rialzo dei tassi e comprasse un future non trarrebbe effettivamente vantaggio dall’effettivo rialzo in quanto il prezzo finale del future che dovrà pagare non sarà bloccato a quello iniziale ma in funzione del finale. In realtà questo succede perché il future è contratto con la clearing house e quindi alla scadenza egli ha già ricevuto i soldi dovuti alla sua corretta visione sui tassi. La copertura risiede dunque nei pagamenti che riceve dalla clearing house durante la vita del future: alla fine sia compratore che venditore a scadenza pagheranno/verranno pagati in funzione del prezzo finale ma uno o l’altro avranno dovuto consegnare soldi alla clearing house (per ristabilire il margine iniziale) o riceverli effettuando quindi una perdita o un profitto durante la vita del future.

Answer 2

innanzitutto, il fattore di conversione sarà maggiore di 1 se il valore del bond consegnato è maggiore del bond nazionale, ovvero se la cedola è maggiore di quella del nazionale (È praticamente solo la cedola a decidere se il CF è maggiore o minore di 1, e minore di 1 nel caso opposto). RICORDIAMOCI CHE OGNI BORSA HA IL SUO BOND NAZIONALE DEFINITO, AD ESEMPIO NEL MERCATO DEI FUTURE SVIZZERI IL NOZIONALE HA CEDOLA DEL 2%. Se ho un titolo consegnabile con fattore di conversione di 1,2 capisco subito che c'è una cedola maggiore del 2%. I fattori che influenzano il fattore di conversione sono due: - Il primo è la cedola, che lo influenza QUASI INTERAMENTE. La cedola è la componente determinante, assolutamente. - La seconda è la vita residua del titolo, che però è molto marginale. È un effetto di secondo ordine piccolo. A parità di cedola, infatti, c'è un piccolo effetto della vita residua. Il fattore di conversione è calcolato come rapporto tra i prezzi dei due titoli, quello consegnabile e lo nazionale, ALLA CONSEGNA, perché è il momento in cui viene pagato l'invoice price. Quindi sarà un rapporto TRA DUE PREZZI FORWARD. Questo vuol dire che ogni titolo avrà un fattore di conversione diverso al variare delle scadenze. Viene però calcolato facendo un'ipotesi fissa sui tassi di mercato. Viene, infatti, ipotizzato che i tassi di mercato coincidano con il tasso cedolare del titolo nazionale. Nella realtà, infatti, il fattore di conversione andrebbe ricalcolato giornalmente sulla base dei tassi di mercato ma così il fattore di conversione continuerebbe a cambiare e quindi nessuno avrebbe la sicurezza di investire in questi futures. Invece, ipotizzando i tassi di mercato fissi pari al tasso cedolare del titolo nozionale, il rapporto rimane FISSO. Chiaramente questo adeguamento è imperfetto e fa sì che per il venditore sia più conveniente consegnare un titolo rispetto a un altro.

Answer 3

Il fatto di considerare il tasso di mercato fisso e pari a quello del nozionale ha come effetto tra l’altro di fare quotare il prezzo forward del nozionale, che è al denominatore della formula del CV, sempre alla pari (siccome le sue cedole sono pari a quelli che ipotizziamo i tassi di mercato) Allo stesso modo, intuitivamente il prezzo forward del titolo consegnabile, al numeratore del cf, quoterà sopra la pari quando ha un tasso cedolare maggiore di quello di mercato e quindi del tasso cedolare del nozionale e sotto quando lo ha minore. Perciò il CF sarà maggiore di 1 quando il titolo consegnabile ha tasso cedolare maggiore del nozionale e minore di 1 se l’ha minore. Nell’esempio, al denominatore avremmo 1 per quello che abbiamo detto prima (nozionale quota alla pari) mentre al denominatore dobbiamo fare la sommatoria delle 18 cedole semestrali del 3,5% (prendo i periodi semestrali come al denominatore e uso il tasso semplice) scontate al (1+3%) elevat0 a 1,2,….18 e del 100 finale scontato al (1+3%)^18. Viene quindi un CF pari a 1,0687: come avevamo intuito prima siccome il tasso cedolare era maggiore di quello del nozionale il CF è maggiore di 1. Se la vita residua fosse di 10 anni otterrei un cf di 1,07439 MAGGIORE del precedente perché otterrei a numeratore un valore maggiore del titolo, infatti esso mi garantirebbe un tasso cedolare maggiore di quello del mercato per un periodo ancora più lungo e quindi quoterebbe ANCORA DI PIU’ sopra la pari. Al contrario se avessi avuto un titolo che quotava sotto la pari (CF minore di 1) aumentare la vita residua avrebbe fatto si che esso quotasse ancor di più sotto la pari e avrebbe prodotto un CF ancora più MINORE di 1. Perciò in generale possiamo dire che MAGGIORE E’ LA VITA RESIDUA (non scadenza) DEL TITOLO E PIU’ IL CF E’ LONTANO DA 1.

Answer 4

Il primo visto che ha il tasso cedolare minore Per ciascun bond, siccome essi quotano sotto la pari, quello che avrà CF minore sarà quello con vita residua maggiore e perciò quello emesso prima ovvero quello emesso a marzo 2010

Answer 5

Ciò comporta un aggiustamento imperfetto e quindi ci sarà un bond che per il venditore sarà più conveniente consegnare rispetto agli altri, esso è detto cheapest to deliver (CTD). Identificarlo in anticipo è molto importante perché in contratti di questo tipo il prezzo del future NON riflette la media dei prezzi dei titoli consegnabili ma il prezzo del PIU’ economico dei titoli consegnabili ovvero quello che il venditore consegnerà (se il compratore capisce in anticipo qual è non corre il rischio di strapagare il future). Per capire alla scadenza qual è il CTD bisogna confrontare: - Quanto mi danno se consegno il titolo: invoice price (IP) - Valore di mercato del titolo ovvero ciò che potrei ottenere vendendo il titolo sul mercato (prezzo tel quel), lo possiamo vedere anche come il prezzo che il venditore del future deve pagare per comprare il titolo per poi consegnarlo al compratore del future (se ipotizziamo che non ce l’abbia già). Dev dunque MASSIMIZZARE la differenza tra IP e prezzo di mercato tel quel (dirty price)ovvero la differenza tra ciò che mi da il compratore del future per il titolo e il valore di mercato del titolo. Posso anche semplificare questa differenza togliendo il rateo da entrambe le parti e ottenendo quindi la differenza tra EDSP*CF e prezzo corso secco (clean price). Quindi confrontare e massimizzare la differenza tra IP (cioè EDSP*CF + rateo) e dirty price o EDSP*CF e clean price è equivalente. Per capire in ANTICIPO qual è il CTD posso identificare il titolo che massimizza F*CF-prezzo forward a corso secco (ricorda che per ogni titolo ci sono 2 prezzi future: uno che considera il prezzo a corso secco e uno il tel quel). Questa quantità è pari al profitto che ottengo se applico questa strategia: - Vendo il future con l’intenzione di consegnare uno dei 3 bond consegnabili. Mi genera come profitto a scadenza F*CF + rateo - Compro il bond forward che vorrò consegnare a scadenza, ho un costo a scadenza di prezzo future a corso secco più rateo Il profitto generale è F*CF + rateo – prezzo corso secco +rateo quindi posso eliminare il rateo e ottengo un profitto di F*CF-prezzo forward a corso secco Nell’esempio per trovare il CTD massimizzo il profitto della strategia appena enunciata e quindi massimizzo F*CF- St. Per A ciò è uguale a: 110*0.8 – 87.9 =0.10 Per B è uguale a: 110*0,9 – 99.02= -0.02 La differenza è maggiore per il primo e quindi A è il CTD. Nota che c’è opportunità di ARBITRAGGIO facendo la strategia prima detta e quindi con l’arbitraggio il prezzo di F scenderà e quello di St,a salirà: ci aspettiamo dunque che in equilibrio F*CFa – St,a sia uguale a 0 anche se vedremo dopo che NON è proprio cosi (sarà un po' maggiore di 0 in equilibrio). Dall’ugualianza F*CF – St,a=0 si ricava che il prezzo di equilbrio del future è F*= St,ctd/CFctd (prezzo secco a termine de CTD e CF del std): nella realtà quota un pelo sotto per quanto diremo dopo. Esso dipende dal prezzo a termine e dal fattore di conversione SOLO del CTD e non dalla media dei bond consegnabili. Dunque, quando cambia il CTD cambiano anche le caratteristiche del future.

Answer 6

1) Al posto che massimizzare F*CF-prezzo forward a corso secco minimizzare il suo opposto ovvero prezzo forward corso secco-F*CF, differenza detta NET BASIS o VALUE BASIS: se è 0 (in realtà vedremo che è un po' meno di 0 al p. di equilibrio) il future sta quotando al p. di equilibrio mentre se è positiva il future è sopravalutato. 2) Guardare l’implied repo rate: il CTD sarà quello che avrà l’implied repo rate MAGGIORE, perché il titolo con implied repo rate maggiore è quello che oggi è più conveniente (ovvero che costa di meno). Il CTD è quindi il titolo che massimizza l’implied repo rate 3) Minimizzare St (è il prezzo forwrd corso secco)/cf. è un metodo APPROSSIMATO che NON sempre da il CTD giusto, in particolare se ho CF tra bond molto DIVERSI. Perché in equilibrio si ha che F*CFctd- St,ctd (corso secco forward) è un po' minore di 0 e non (e la net basis è un po' maggiore di 0 e non 0)? Se fosse 0 la strategia di arbitrggio (che non è in realtà un arbitraggio) potrebbe essere fatta comunque? 1) F*CFctd- St,ctd= 0 NON è un vero equilibrio. Se quest’equazione fosse verificata per il venditore sarebbe conveniente fare una strategia in cui vende un future e contemporaneamente compra a termine il CTD sperando che il CTD cambia cosi a scadenza: - O chiudo con profitto nullo (se CTD non cambia) - O faccio profitto (se CTD cambia) Questo è un arbitraggio (di primo tipo?) e perciò tutti lo faranno: di conseguenza F*CF ctd diminuisce e St,ctd aumenta e perciò la loro differenza diventa negativa 2) Quando la differenza è negativa NON posso fare un arbitraggio facilmente che la riporti a 0 a causa del RISCHIO che cambi il CTD (tutto deriva dall’asimmetria tra compratore e debitore ovvero dalla DELIVERY OPTION cioè il fatto che il venditore sceglie cosa consegnare). Infatti quando la diff. era positiva possiamo fare arbitraggio vendendo future e comprando il forward del CTD perché come venditori potevamo scegliere quale bond consegnare mentre qui l’arbitraggio implicherebbe vendere il forward sull’attuale CTD e comprare il future ma in questo caso visto che compriamo il future NON possiamo scegliere quale bond ricevere e NON siamo quindi sicuri che il bond che ci verrà consegnato sarà l’attuale CTD (se a scadenza il CTD sarà cambiato il venditore ci darà quello nuovo). NON è quindi un arbitraggio ma un trade rischioso perché siamo esposti al rischio che il CTD cambi. GUARDA ESEMPIO semplificato sulle slide con i grafici e duration in cui si capisce che non è un arbitraggio. (guarda anche appendice che non è in esame) La strategia potrebbe comunque essere fatta dopo che gli investitori avranno attentamente considerato: - Quanto alti sono i potenziali guadagni ovvero quanto profitto ottengo se il CTD non cambia (ad es. se F*CFctd -St,ctd è -0,03 difficilmente investirò mentre se è ad es. 0,4 sarà molto più probabile che lo farò). Questa quantità (il profitto che ottengo se il CTD non cambia) è anche il cuscinetto disponibile che ho prima di iniziare a predere ( nell’esempio di prima ad es. se cambia il CTD e perdo 20 centesimi nel primo caso incorro in una perdita di 17 centesimi e nel secondo in un guadagno di 20 centesimi) - Quanto è alto il rischio che il CTD cambi prima della scadenza: esso dipende da 3 fattori: 1) Net basis degli altri titoli consegnabili (più sono vicine a quella del CTD e più sarà probabile un cambiamento del CTD). Es. punti di distacco della prima in classifica 2) Tempo che manca, più ne manca più sarà probabile un cambiamento del ctd. Es. partite che mancano alla fine del campionato 3) Duration modificata: se le duration mod. dei titoli consegnabili sono tutte molto simili vuol dire che tutti si muovono in modo simile al variare dei tassi ed è più difficile quindi che cambi il CTD mentre se sono molto diverse sarà probabile che cambi il CTD (inoltre aumenta anche la perdita che faccio nel caso in cui il CTD cambi)

Answer 7

Sono: 1) Opzioni su azioni singole 2) Opzioni su indici azionari 3) Opzioni su bund futures (qui il sottostante è un altro derivato ovvero il future) Hanno implicazioni su: - Modello di pricing da usare - Sensibilità i fattori di rischio (siccome sono derivate dei modelli di pricing) Opzioni su azioni singole: - Tipo: americane - Settlement: physical delivery - Pagamento premio: a pronti - Sistema di margini: stock style - Note: nessuna Opzioni su indici azionari: - Tipo: principalmente europee - Settlement: cash settlement - Pagamento premio: a pronti - Sistema di margini: stock style - Note: scadono al terzo venerdi del mese di consegna (stesso del future,perché se uno deve fare copertura sull’opzione può comprare o vendere direttamente l’indice) Opzioni su bund futures: - Tipo: americane ma prezzate come europee (perché salvo casi di illiquidità enorme conviene sempre NON esercitare prima della scadenza) - Settlement: physical delivery (cosa vuol dire: la posizione di chi esercita la call pass da long call con la CLEARING HOUSE a long futures con la clearing house e quella della controparte da short call a short future sempre con la clearing house: trasformazione del rapporto che abbiamo con la clearing house) - Pagamento premio: a scadenza, perciò il premio pagato alla fine comprende anche gli interessi su quello che sarebbe stato il premio pagato a pronti. (questo impatta anche la formula di pricing) - Sistema di margini: future style - Note: scadono 6 giorni prima dell’inizio del mese di scadenza; quindi, ad esempio l’opzione di marzo scade a febbraio, quell di settembre ad agosto e cosi via. Ciò è fatto per dare 2 settimane di tempo tra quando scade il contratto e quando il future viene consegnato cosi chi aveva comprato l’opzione solo per speculare ma non vuole ricevere la consegna ha 2 settimane di tempo per chiudere la posizione sul mercato future PRECISAZIONI: - Cash settlement: payoff monetario; funziona come il cash settlement dei future ovvero con un multiplo. (es. call che quota 1000 con multiplo 5, se a scadenza quota 1040 il pagamento sarà 40*5) - Sistema di margini: 1) stock style: quando l’acquirente paga a pronti il premio, in questo caso la clearing house applica il sistema dei margini SOLO al venditore. Futures style: quando il premio è pagato a scadenza: qui il sistema di margini è richiesto sia a compratore che venditore.

Answer 8

Esso è pari al massimo tra F-K e 0. Il valore dell’opzione non può scendere sotto questo valore sennò si potrebbe fare questo arbitraggio (la call sarebbe sottovalutata e infatti la compro nell’arbitraggio): - Compro la call cashflow: -1,9 - Esercito la call cashflow: -130, +1 future - Vendo il future: +132 Profitto: 0,1 Se siamo prima della scadenza: 1) Se siamo a sinistra dello strike il valore totale non sarà pari al valore intrinseco (=0) ma sarà positivo perché c’è un VALORE TEMPORALE legato alla SPERANZA residua di esercizio. Questa probabilità è più alta se siamo più vicino allo strike: la funzione del valore deve quindi essere una funziona MONOTOMA CRESCENTE CONVESSA (incremento gradualmente crescente). 2) A destra dello strike il tempo che rimane può giocare sia a mio favore che a sfavore ma per capire se il valore temporale è positivo pensiamo al payoff di un future. La call deve per forza VALERE DI PIU’ del forward perché in quest’ultimo sei obbligato a comprare anche se il prezzo scende sotto lo strike. Perciò anche qui il valore TEMPORALE è positivo ed è spiegato dalla FACOLTA’ DI ABBANDONARE. Esso vale molto di più quando il p. del future è più vicino allo strike: man mano che il p. del future si allontana dallo strike il valore temporale vale sempre di meno e la retta del valore intrinseco (che da sto lato coincide con il payoff del future diventa un asintoto e quindi il prezzo della call tende asintoticamente a quello del future. GUARDA GRAFICO E APPUNTI SU APPUNTI

Answer 9

È ITM, per capirlo chiediti e 130 sarebbe un buon prezzo per comprare la call: in questo caso si. NON FARTI ingannare dal grafico

Answer 10

è pari al valore massimo tra K-F e 0. il prezzo non può scendere sotto a questo valore in quando sennò si potrebbe realizzare un arbitraggio simile a quello visto con la call.

Answer 11

sul valore intrinseco: - prezzo del sottostante -strike price - tempo mancante a scadenza)?) -tasso risk-free sul valore temporale: - prezzo del sottostante -strike price - tempo mancante a scadenza -volatilità i fattori di rischio più importanti sono: prezzo del sottostante, volatilità e tempo mancante a scadenza. per molti contratti ci possono poi essere altri fattori di rischio come il livello dei dividendi. Il tempo mancante a scadenza e il risk free lo sono solo per opzioni europee in cui c e lattualizzazione

Answer 12

si intende la volatilità implicita nei prezzi delle opzioni ovvero la volatilità media incorporata nei prezzi di mercato che viene trovata utilizzando il modello di Black and Scholes al contrario tramite un processo di reverse engeneering.

Answer 13

posso semplicemente combinare la posizione sulla call con la vendita di un future a 110.15 (prezzo corrente del future). la posizione risultante sarà equivalente all'acquisto di una put (e quindi divento ribassista sul future) con strike 109 e premio pari a 1.48 ((-2.63 + (110.15-109)): questa è la PARITA' PUT-CALL. la put con tali caratteristiche deve dunque quotare 1.48 sennò ci sarebbe una opportunità di arbitraggio: infatti se ad es. quotasse 1.50 si potrebbe comprare una call e vendere un future (posizione equivalente alla put) pagando 1.48 e vendere la put a 1.50 realizzando un profitto di 2 centesimi. la differenza tra il premio della put e quello della call sarà pari alla differenza tra i 2 valori intrisechi siccome il loro valore temporale lo stesso (legato alla probabilità che il prezzo scenda sotto allo strike di 109). la differenza tra i valori intrisechi è pari al valore intrinseco dell'opzione ITM (in questo caso la call siccome il prezzo del future sottostante di 110.15 è maggiore dello strike di 109) siccome il valore intrinseco dell'opzione OTM sarà 0.

Answer 14

all'acquisto di una put alla vendita di una put

Answer 15

all'acquisto di una call alla vendita di una call

Answer 16

all'acquisto di un future alla vendita di un future

Answer 17

per le FINTE opzioni americane (in cui l'esercizio anticipato non è mai conveniente la differenza tra il prezzo della call e quello della put è pari a F-K.

Answer 18

no esiste una diseguaglianza. la parità put-call vale solo per le finte americane ovvero quelle prezzate come europee.

Answer 19

devo confrontare la differenza tra i 2 mid-price e il valore intrinseco dell'opzione ITM; se il primo valore è maggiore del secondo allora l'opzione delle 2 che è ITM è sopravalutata rispetto all'altra. se ad es. il future quota 110.15 e consideriamo la call e la put con strike 111 quella sopravalutata sarà la put siccome è quella tra le due che è ITM. si può quindi costituire un arbtraggio vendendo la put e comprando la call (posizione equivalente all'acquisto di un future al prezzo dello strike delle opzioni ossia 111) realizzando un cashflow di 0.84 e vendendo il future realizzando un cashflow di 110.15-111. possiamo vedere come in realtà l'arbitraggio in questo caso non si realizzi (cashflow totale negativo di 1 centesimo) perchè i costi di transazione più che bilanciano il mispricing: in particolare l'arbitraggio si potrà fare quando il mispricing (differenza tra la differenza tra i 2 mid-price e il valore intrinseco dell'opzione ITM) è maggiore dei costi di transazione (in questo caso 4 centesimi) in quanto in questi casi il profitto registrato da questa strategia (sempre pari al mispricing- costi di transazione) è positivo. in ogni caso anche quando non posso fare l'arbitraggio posso sfruttare il mispricing nel caso in cui abbia una view ribassista sul future: infatti al posto di comprare la put posso combinare l'acquisto di una call e la vendita di un future ottenendo una posizione equivalente ma spendendo meno.

Answer 20

MAI per una call su un azione con dividendi. A VOLTE per una call su un azione senza dividendi (i dividendi DEVONO essere pagati tra oggi e la scadenza; se un azienda paga dividendi ma lo fa dopo la scadenza rientriamo nel caso 1) A VOLTE per una put su un azione anche senza dividendi. nel primo caso posso prezzare le americane come europee mentre negli altri due no. quando siamo in uno scenario di tassi negativi la prima e la terza si invertono: la put non viene mai esercitata prima mentre la call a volte si.

Answer 21

viene tendenzialmente fatto immediatamente prima allo stacco del dividendo: in questo modo riceverò i dividendi in prima persona e non risentirò del calo di prezzo che avrà l'azione successivamente allo stacco del dividendo.

Answer 22

ciò accade quando MINORE è la probabilità che a scadenza della put accada lo scenario B (in cui il detentore può guadagnare anche molto di più) in cui il prezzo spot dell'azione è maggiore dello strike price della put. tale probabilità è tanto minore quando: - l'opzione è molto ITM (?); se infatti il prezzo attuale dell'azione è molto sotto allo strike è chiaramente più difficile che a scadenza si possa trovare sopra di esso. - a parità di moneyness (considerando sempre put ITM) al diminuire del tempo residuo a scadenza: più mancherà poco alla scadenza e più sarà difficile che il prezzo aumenti tanto da superare lo strike price; dunque la probabilità dello scenario B sarà minore e la probabilità di esercizio anticipato maggiore. - a parità di moneyness e tempo a scadenza al diminuire della volatilità dei prezzi: più la loro volatilità sarà bassa e più sarà difficile che il prezzo aumenti tanto da superare lo strike price; dunque minore sarà la probabilità dello scenario B e maggiore sarà la probabilità di esercizio anticipato.

Answer 23

la prezziamo con il modello binomiale

Answer 24

è pensato per prezzare delle opzioni europee su azioni che NON distribuiscono dividendi. Esso può essere ampliato per prezzare anche altri tipi di opzioni: in particolare noi analizzeremo quelle su futures e quelle su azioni i indici azionari che distribuiscono dividendi

Answer 25

si può semplicemente scrivere la relazione che lega il prezzo spot del sottostante e quello future derivante dal classico cash and carry (F=S*e^rt) e andare poi a sostituire nella formula di B-S S con F*e^-rt; nota che va sostituito sia nella formula di c (o p, ovvero il premio della call o della put che vogliamo prezzare) che in quella di d1. questo modello così ottenuto è detto modello di black in quanto elaborato in un paper solo da lui (1976). questo modello si può applicare anche su opzioni su bund futures, ma in questo caso siccome tendenzialmente, al contrario di quelle su futures di azioni o indici azionari, il premio viene pagato a scadenza cambierà la formula di pricing in quanto non ci sarà più il prezzo di discounting.

Answer 26

non dobbiamo fare semplicemente una sostituzione come nel caso di opzioni su futures ma dobbiamo applicare una vera e propria correzione del modello: se usassi B-S cosi com'è infatti soppravaluterei sistematicamente le call e sottovaluterei sistematicamente le put. l'idea che possiamo utilizzare è questa: il rendimento totale offerto da un azione si divide in capital gain e dividend yield ed è pari alla somma di queste 2 componenti; l'ipotesi che facciamo in BS è che il prezzo cresca al tasso mu, ma ciò è vero solo se il dividend yield è nulla, se quest'ultimo è pari a q il prezzo crescerà al tasso mu-q e dunque sopravalutiamo il prezzo finale: per arrivare allo stesso prezzo finale dunque possiamo decidere di partire da un prezzo più basso del reale (S*e^-qt al posto di S) e ipotizzare di crescere a un tasso più alto di quello reale (mu al posto di mu-q). dunque la correzione che si fa è quella di sostituire S con S*e(-qt) sia nella formula di c/p che nella formula di d1. se avessi un dividendo discreto dovrei sostituire S con S-I dove I è il valore attuale dei dividendi.

Answer 27

sono le derivate parziali della formula di pricing dell'opzione rispetto ai fattori di rischio e vengono usate per stimare la sensibilità del valore dell'opzione ai singoli fattori ovvero il modo in cui esso reagisce alle variazioni dei fattori di rischio. essendo derivate parziali però si tengono bloccati gli altri fattori e questo può essere un problema quando voglio simulare effetti congiunti.

Answer 28

Il delta (o rapporto di copertura) esprime la sensibilità del valore dell'opzione al valore dell'asset sottostante. Essa è la derivata prima parziale del valore dell'opzione rispetto al prezzo del sottostante. geometricamente esso rappresenta la pendenza della curva del valore dell'opzione. tra una serie di opzioni quella che è più sensibile al prezzo del sottostante è quella con delta maggiore (più sensibile nel senso che guadagno di più se la mia view è giusta e perdo di più se è sbagliata)

Answer 29

In entrambe il delta è pari a 0.5 quando l'opzione è ATM, scende sotto lo 0.5 e tende a 0 man mano che l'opzione diventa OTM e sale sopra lo 0.5 e tende a 1 man mano che l'opzione diventa ITM. Per la put però, al contrario della call, i valori sono NEGATIVI. ciò si può capire bene guardando alle pendenze dei grafici del valore della call e della put.

Answer 30

Quando il delta è positivo vuol dire che il detentore della posizione è rialzista sul prezzo del sottostante, quando invece è negativo vuol dire che il detentore dell'opzione è ribassista sul prezzo del sottostante.

Answer 31

con una banale espansione di taylor di primo ordine possiamo APPROSIMARE (accurata per shock piccoli) la variazione di valore di mercato dell'opzione come il prodotto tra il delta e la variazione di prezzo subita dal sottostante. vedremo poi che questa espansione può essere resa più precisa inserendo il termine di secondo ordine ossia il gamma.

Answer 32

Siccome il prezzo del sottostante (future) è maggiore dello strike la call è ITM e perciò avrà un delta maggiore di 0.5, (magari attorno allo 0.7)

Answer 33

Il delta di un portafoglio è la SOMMA PONDERATA (non la media) dei delta delle singole posizioni dove la ponderazione viene fatta con il numero di contratti comprati o venduti della singola posizione: Quando si comprano i contratto questo numero va positivo, quando si vendono va negativo. (Anche con le altre greche, il valore della greca di portafoglio è la somma ponderata della greca per ciascuna posizione; ciò deriva da come è fatta la derivata di una combinazione lineare di 2 variabili)

Answer 34

Delta unitario prima posizione: siccome si tratta di una call e il prezzo attuale del sottostamte (F=130) è maggiore di K (129) essa è leggermente ITM, il delta sarà poco sopra a 0.5 (ad es.0.6) ed è positivo siccome parliamo di una call (chi la compra è rialzosta sul prezzo) Delta unitario seconda posizione: questa call sarà invece leggermente OTM siccome il prezzo attuale del sottostante (F=130) è di poco sotto allo strike price K (132); perciò il delta della call sarà un po sotto a 0.5 (ad es. 0.3) Delta unitario terza posizione: questa put è ATM siccome lo strike price K è pari al prezzo del sottostante: Dunque il delta sarà pari a -0.5 (negativo perchè si parla di una put: ribassista sul prezzo) Delta unitario quarta posizione: questa put è ampiamente OTM perchè il prezzo attuale del sottostante (130) è decisamente sopra allo strike price K (126), dunque il delta sarà vicino a 0, ad esempio circa -0.1 (negativo perchè è una put e quindi siamo ribassisti sul prezzo). I numeri di contratto con cui ponderare i delta sono: 2;-5;5;-8. (Positivi quando si conpra e negativi quando si vende). Il delta conplessivo del portafoglio sarà quindi: (2*0.6)+(-5*0.3)+(5*-0.5)+(-8*-0.1)=-2

Answer 35

delta equivalent prima posizione: 0.4* 2 milioni= 800mila usd delta equivalent seconda: 0.6*(-1.5milioni) (nota che c'è il meno perchè sto vendendo);= -900 mila usd delta equivalent complessivo= -100mila USD: sono ribassist sul dollaro; per coprirmi dovrei comprare 100 mila dollari spot oppure a termine.

Answer 36

esso esprime la derivata seconda del valore dell'opzione rispetto al prezzo del sottostante, graficamente è il grado di curvatura del valore dell'opzione in un punto. il gamma è positivo per gli acquirenti di opzioni e negativo per i venditori. gamma positivo significa che la curvature gioca a mio favore ovvero che il delta varia nella posizione su cui ho la mia view: ad es. se sono rialzista (e ho quindi delta positivo) il delta aumenta all'aumentare del prezzo del sottostante. al contrario se ho gamma negativo la curvatura gioca a mio sfavore e quindi ad es. se sono rialzista sul prezzo del sottostante (ho delta positivo), il delta diminuisce all'aumentare del prezzo del sottostante.

Answer 37

- ottica del trader: gamma come derivata prima rispetto al prezzo del sottostante; la variazione del delta infatti può essere approssimata dalla moltiplicazione tra gamma e la variazione di prezzo del sottostante: dunque il gamma mi dice quanto velocemente varia il delta. ciò è molto importante perchè se ho un portafoglio con delta fortemente negativo è possibile che basti un leggero cambiamento di prezzo a far cambiare il segno del delta (e farmi passare da rialzista o ribassista e viceversa): da questo punto di vista è esemplificativo l'esempio dello straddle quando il prezzo del sottostante è molto vicino allo strike delle 2 opzioni (call e put) -ottica del risk manager: gamma come derivata seconda del valore di mercato dell'opzione rispetto al prezzo del sottostante; possiamo infatti ampliare l'espansione di tayor vista prima con il delta e approssimare la variazione di valore di mercato subito dall'opzione con la somma tra (delta*deltaP) detto effetto delta e (gamma/2*deltaP^2) detto effetto gamma. possiamo notare 2 cose sull'effetto gamma: -inanzitutto il suo segno dipende solo da gamma in quanto deltaP^2 essendo al quadrato è sempre positivo. - l'elevazione al quadrato fa si che uno schock piccolo die prezzi sia praticamente trascurabile mentre all'aumentare del deltaP l'effetto gamma diventa sempre più forte e può arrivare a controbilanciare l'effetto delta. ad es. se ho un opzione su un future che quota 130, delta 0.4 e gamma -20, se il future passa da 130 a 131 la variazione di valore di mercato è negativa (4*1-20/2*1^2=-6); dunque l'effetto gamma supera l'effetto delta e io perdo sulla mia posizione anche se avevo originariamente delta positivo (ovvero ero rialzista sul prezzo del sottostante)

Answer 38

esso è massimo quando siamo ATM dove infatti la curvatura è più pronunciata e diminuire sempre di più all'aumentare dell'essere ITM o OTM. al passare del tempo il gamma aumenta quando siamo nei pressi dell'ATM e diminuisce se siamo abbondantemente ITM o OTM. sull'opzione europea il pattern è lo stesso ma è un pò asimetrico: in particolare quando siamo molto lontani dalla scadenza il gamma max non è esattamente in corrispondenza dell'ATM.

Answer 39

è la derivata prima del valore dell'opzione rispetto al passaggio del tempo e rappresenta l'effetto del passare del tempo sul valore dell'opzione. l'effetto è chiaramente a favore del venditore che avrà quindi theta positivo e gioca contro l'acquirente che ha theta negativo (questo perchè il passare del tempo riduce il valore temporale dell'opzione e dunque riduce il valore dell'opzione); tuttavia ciò accade sempre quando il tempo impatta SOLO sul valore temporale (es. opzione americana su bund future); MENTRE potrebbe non accadere quando impatta anche sul valore instriseco (es.opzione europea su titolo azionario); qui infatti l'effetto sul valore intrinseco potrebbe controbilanciare quello sul valore temporale e potrebbe accadere che il venditore sia theta negativo e il compratore theta positivo.

Answer 40

si considera di solito t in giorni e non in anni e il passaggio da oggi a domani è considerato come +1 e non come -1

Answer 41

il comportamento può differire al variare dei contratti. per opzioni su bund future esso è abbastanza simmetrico con un picco in corrispondenza dell'ATM (qui è dove c'è più valore temporale su cui il theta va a incidere). per opzioni su azioni o indici azionari il comportamento è un pò asimetrico (in funzione dei parametri che si hanno come il fatto che il pagamento sia a pronti o meno). generalmente dunque il theta è massimo in valore assoluto all'ATM e al passare del tempo aumenta in valore assoluto se si è vicini all'ATM mentre si riduce se si è abbastanza ITM o OTM; ha dunque un pattern molto simile al gamma ma RIBALTATO: infatti il gamma e il theta non si possono praticamente ma avere insieme a proprio favore.

Answer 42

i vega identifica la sensibilità del valore dell'opzione alla volatilità implicita del sottostante: ci dice come varia il valore dell'opzione al variare della volatilità. sono vega positivo se guadagno quando la volatilità sale e sono vega negativo se guadagno quando la volatilità scende. Siccome il vega incide sul valore temporale aumentandolo se sale e diminuendolo se scende, il compratore di opzioni avrà vega positivo e il venditore di opzioni avrà vega negativo così come era per il gamma. di solito è espresso come vega/100 ovvero come la sensibilità in basis point al seguito di una variazione dell'1% della volatilità implicita.

Answer 43

il vega è massimo quando si è ATM e scende sempre di più all'aumentare del diventare ITM o OTM. al contrario di theta e gamma però il vega al passare scende in maniera uniforme (in maniera sistematica) anche quando siamo ATM (siccome la volatilità implicita impatta sul valore temporale che diminuisce sempre di più all'avvicinarsi alla scadenza)

Answer 44

è la sensibilità del valore dell'opzione al tasso risk-free, noi non la analizzeremo in dettaglio siccome essa cambia molto al variare del contratto che si analizza. i casi speciali sono: - opzioni su bund future: qui rho è irrilevante -opzioni su cambi: sono i contratti in cui il rho conta di più in assoluto

Answer 45

Il prima è una rivalutazione parziale (si chiama cosi perchè uso le derivate parziali) che si basa sul combinare gli effetti misurati tramite le greche; tuttavia l'effetto totale può variare da quello calcolato con le derivate parziali (perchè sto calcolando le derivate come se le altre variabili rimanessero fisse: approccio impreciso; sopratutto se abbiamo variazioni congiunte rilevanti). La seconda è una full revaluation (anche detta repricing) che si basa sul re-runnare il modello di pricing prima e dopo lo schock misurando cosi la variazione di valore tra dopo e prima; quest'approccio è più preciso e va preferito per scopi di risk mangament. tuttavia talvolta può richiedere un grande ammontare di tempo per il calcolo e per questo alcune volte gli viene preferita la partial revaluation. (analogia con calcolo del valore di mercato di un obbligazione al variare dei tassi)

Answer 46

1) possono essere sempre derivate come la SOMMA ponderata ( con pesi uguali al numero di contratti) delle greche delle opzioni in portafoglio 2) diverse formule di pricing portano a diverse greche in quanto esse sono derivate parziali della formula di pricing 3)possono essere imprecise nel calcolare l'effetto sul prezzo dell'opzione in caso di uno schock CONGIUNTO di più di un fattore

Answer 47

NO, questo perchè quando compro la call sono si delta positivo ma ho anche esposizione agli altri fattori come il vega. ad esempio se ciò che ha fatto aumentare il prezzo del future è stato un annuncio della BCE è anche probabile che la volatilità implicita dopo l'annuncio si riduca e ciò porti a una riduzione del valore temporale della call. questo effetto provocato dalla volatilità potrebbe superare l'effetto prodotto dal delta e provocare cosi una perdita sull'operazione riguardante la call. quindi se ho solo view rialzista sul prezzo senza però avere view sulla volatilità devo combinare la call con una posizione che mi mantenga il delta positivo ma mi annulli il vega ( ad es. vendendo una call con strike più alto) facendo cosi una strategia di trading direzionale in cui prendo posizione solo sul prezzo del sottostate.

Answer 48

Mentre nel trading direzionale prendo posizione solo sul prezzo del sottostante nel volatility trading prendo posizione solo sulla volatilità implicità. Nella realtà è molto difficile che riesca a eliminare completamente la posizione su un fattore mentre è più probabile che riesca e espormi molto su un fattore e quasi per niente su un altro ( cosicchè ad es. Il valore del mio portafoglio dipenda per il 95% da un fattore e per il 5% dall'altro)

Answer 49

Sono entrambe strategie in cui si vende un opzione e se ne conpra un altra, tuttavia ciò che le differenzia è che nello spread si vende e si compra qualcosa di molto simile ( ad es due call sullo stesso sottostante e con stessa scadenza differenziate solo per lo strike price). SBAGLIATA RISPOSTA DA RIFARE

Answer 50

il tipico caso è quello in cui si compra una call ITM e si vende call OTM, tuttavia questo è solo il caso tipico, non è necessario che un opzione sia per forza ITM e l'altra per forza OTM.

Answer 51

nel primo sono rialzista sul prezzo del sottostante (delta positivo) mentre nel secondo sono ribassista (delta negativo). entrambi si possono fare sia con 2 call che con 2 put. la caratteristica di queste strategie è che hanno entrambe dei profitti e delle perdite limitate: in particolare la differenza tra profitto max. e perdita max. è pari alla differenza tra i 2 strike delle call o delle put.

Answer 52

guarda il grafico e la tabella e scrivi.

Answer 53

la prima. questo perchè la call che compro essendo ITM avrà delta maggiore in valore assoluto rispetto all'altra che è ATM; questo fa si che il delta della prima domina e perciò il delta complessivo sarà positivo (bull). inoltre cosi la call che vendo (che ha vega negativo perchè sto vendendo) è ATM e avrà quindi vega massimo; dominerà perciò il vega positivo di quella comprata e quindi avrò un vega complessivo leggermente negativo come richiesto dalla consegna.

Answer 54

la prima è OTM perciò avrà delta di circa -0.4 mentre la seconda è ITM e avrà delta di circa -0.6. affinchè il delta complessivo sia positivo (bull spread) devo perciò vendere quella ITM che ha delta in valore assoluto più alto e comprare quella OTM: dovrò perciò comprare quella con strike 109 e vendere quella con strike 111.

Answer 55

ciò è diretta conseguenza della parità put-call. quindi quando la parità put-call non tiene ( es. opzioni americane (?)) oppure se ci sono spread bid-ask sulle opzioni allora potrebbe essere che sia più conveniente fare il bull spread con le call rispetto che alle put o viceversa.

Answer 56

è la strategia opposta a un bull spread e può essere creata sia con 2 call che con 2 put. questa strategia avrà delta NEGATIVO al contrario del bull spread e vega e gamma piccoli (molto vicino a se i 2 strike sono ugualmente vicini al prezzo attuale del sottostante).

Answer 57

la put che compro è un pò OTM e perciò avrà delta di circa -0.4 mentre quella che vendo è abbastanza ITM e perciò avrà delta di circa -0.7. il delta complessivo della strategia sarà quindi di circa+0.3 e perciò essa è un BULL spread. inoltre il gamma della prima poszione è positivo perchè in essa sono acquirente mentre quello della seconda è negativo perchè in essa sono venditore: siccome lo strike della prima put è più vicino al prezzo corrente essa è più vicina all'essere ATM e perciò avrà gamma maggiore (siccome il gamma è massimo quando siamo ATM); perciò il suo gamma (positivo) dominerà sull'altro (negativo) e dunque il gamma complessivo della posizione sarà POSITIVO.

Answer 58

nel primo spread la prima call è ITM perciò avrà delta di circa 0.6 mentre la seconda è OTM perciò avrà delta di circa 0.4, siccome la prima la vendo e la seconda la compro il delta complessivo del primo spread sarà circa -0.2 (negativo: BEAR spread). nel secondo spread la prima call è ITM (più di prima) è avrà quindi delta di circa 0.7 mentre la seconda è OTM (più di prima) e avrà quindi delta di circa 0.3; siccome vendo la prima e compro la seconda il delta complessivo sarà di circa -0.4 (negativo: BEAR spread) sono dunque entrambi bear spread ma il secondo è PIU' rischioso in quanto il suo delta è maggiore in valore assoluto (o.4 contro 0.2)

Answer 59

comprare una call non va bene perchè cosi prendo posizione anche sul prezzo del sottostante, devo combinare una posizione che abbia delta opposto cosi da annullare il delta complessivo: devo comprare una put (se con stesso strike: straddle, con diverso: stragle)

Answer 60

in entrambi si comprano una call e una put (long straddle/strangle: long perchè comprandole entrambe i 2 vega sono positivi e quindi il vega complessivo è per forza positivo) oppure si vendono una call e una put (short straddle: perchè i due vega sono negativi visto che sono venditore e quindi il vega complessivo della posizione è negativo) ma mentre nello straddle la call e la put hanno lo stesso strike nello strangle esse hanno due strike price differenti. dunque se sono ribassista sulla vlatilità implicita posso fare o uno short straddle o uno short strangle mentre se sono rialzista posso fare o un long straddle o un long strangle.

Answer 61

si può capire come il trader gadagni quando il prezzo varia molto, tuttavia nella realtà i trader che fanno queste strategie non le portano praticamente mai a scadenza

Answer 62

delta: negativo quando future quota sotto 110 perchè la call è OTM e put ITM, nullo quando quota 110 e positivo quando quota sopra 110. gamma: è sempre positivo perchè sono acquirente ed è maggiore quando sono ATM (F=110); al passare del tempo se siamo ATM il gamma aumenta mentre diminuisce se siamo ITM o OTM. vega:è sempre positivo perchè sono acquirente ed è maggiore quando sono ATM (F=110); al passare del tempo se siamo il vega diminuisce sempre theta:è sempre negativo perchè siamo acquirenti ed è max. in valore assoluto se siamo ATM; al passare del tempo si riduce in valore assoluto se siamo ITM o OTM e aumenta in valore assoluto (si riduce quindi) se siamo ATM. le greche saranno invertite se consideriamo invece uno short straddle.

Answer 63

siccome devo fare uno short straddle devo avere vega negativo e perciò devo vendere la call e la put (essendo venditore in entrambe avrò vega negativo); affinchè lo short straddle sia leggermente delta positivo devo fare in modo che al put venduta abbia delta (che sarà positivo perchè il delta della put e negativo e siccome vendo il meno davanti fa diventare il tutto positivo) in valore assoluto più alto della call venduta (che sarà negativo perchè delta call è positivo e siccome la vendo ci metto il meno). per fare ciò la put deve essere ITM e la call OTM (nota che non possono essere una ITM e una ATM siccome sto facendo uno straddle perciò i 2 strike devono essere uguali) perciò la strategia consisterà nel vendere la put e la call con strike 141

Answer 64

si rischia di meno: la perdita massima è più bassa ma è spalmata su un range di prezzi e non su un unico prezzo (è quindi più probabile). le greche si comportano in maniera molto simile allo straddle

Answer 65

sia la put che la call sono OTM e quindi entrambe avranno un delta minore di 0.5 in valore assoluto; tuttavia lo strike della call è molto più vicino al prezzo attuale del sottostante e perciò la call è meno OTM rispetto alla put e avrà quindi un delta più alto in valore assoluto (ad es. 0.45 contro 0.3). calcolando cosi il delta del portafoglio otteniamo un delta complessivo leggermente positivo (ad es. 0.15)

Answer 66

ciò accade perchè la volatilità incide sul valore temporale che però a scadenza è nullo. infatti mentre un aumento della volatilità sposta la curva del valore dell'opzione verso l'alto (aumentando il valore temporale; sicome aumenta la probabilità di riscattare l'opzione se sono OTM o di abbandonare il contratto se sono ITM), lo scorrere del tempo la sposta verso il basso (riducendo il valore temporale). dunque se la volatilità implicita aumenta facendo acquisire valore alle nostre opzioni comprate nella strategia di long straddle/strangle ma decidiamo di mantenere aperta la posizione il trascorrere del tempo farà perdere nuovamente valore alle opzioni (può addirittura succedere che se anche la volatilità aumenta io ci perdo comunque perchè l'effetto del theta è maggiore; per questo motivo tendenzialmente le posizioni si chiudono prima di arrivare a scadenza (ammenochè magari non voglia prendere posizione sul gamma): la greca che gioca contro di noi è dunque il theta. Tra l'altro con il passare del tempo anche vega diminuisce (siccome esso diminuisce sistematicamente al passare del tempo) e quindi anche se aumenterà al volatilità l'impatto sul valore dell'opzione sarà minore. le due conseguenze di questo effetto del theta negativo sono: - ogni giorno che si aspetta ha conseguenze negative in termini di theta (bisogna essere dunque bravi a capire, se dopo aver fatto un guadagno per l'aumento della volatilità sia meglio chiudere la posizione oppure tenerla aperta sperando in altri successivi forti aumenti della volatilità che controbilanciano l'impatto della perdita di valore provocata dal tempo) - la scadenza delle call e delle put con qui si fanno straddle e strangle conta molto: tipicamente vengono sempre evitate le scadenze brevi: questo perchè visto che tendenzialmente queste strategie si fanno con opzioni ATM o comunque vicine all'ATM (che sono più liquide) il theta; in corrispondenza dell'essere ATM, tende ad essere molto maggiore in valore assoluto quando manca poco tempo rispetto che a quando manca molto tempo. vengono però anche evitate di solito le scadenze troppo lung7he sia perchè è difficile trovare opzioni sul mercato con scadenze cosi lunghe sia perchè su scadenze lunghe la volatilità implicita diventa molto stabile.

Answer 67

NO, potrei infatti pensare che anche se la mia scommessa sul ribasso della volatilità implicita non vada a segna ed essa rimanga ferma io possa guadagnare comunque per l'effetto del passare del tempo che riduce il valore delle opzioni ma ciò non è vero perchè entra in gioco un altra greca che gioca a mio sfavore ossia il GAMMA. infatti il gamma di questa strategia è negativo e siccome queste strategie vengono di solito fatte con opzioni vicine all'ATM il gamma non solo è massimo in valore assoluto ma tende ad aumentare in valore assoluto al trascorrere del tempo (si comporta come il theta ma con grafico ribaltato). inoltre c'è un rischio maggiore in queste strategie che fa si che se vanno male possano andare MALISSIMO: infatti approssimando la variazione di valore del portafoglio con le greche (partial revaluation) si può vedere come l'effetto negativo del gamma sia tanto più alto quanto è maggiore la variazione di prezzo subita dal sottostante (siccome il gamma viene oltre che diviso per 2 anche moltiplicato per il quadrato della variazione di prezzo del sottostante). tuttavia quando la variazione di prezzo subita dal sottostante è alta è anche molto probabile che anche la volatilità implicita aumenti facendo si che alle perdite causate dall'effetto gamma si sommino anche quelle causate dall'effetto vega (ricordiamo che siamo vega negativi). in questo senso l'esempio sulle slide del periodo del covid è molto significativo. anche in questa posizione ricorre il tradeoff strutturale delle posizioni in opzioni tra theta (che qui gioca a mio favore) e gamma (che qui gioca a mio sfavore).

Answer 68

gli indici di volatilità sono un altro modo possibile per tradare sulla volatilità implicita. il vix è uno di questi ed è un indice sulla volatilità implicita delle opzioni a 30 giorni quotate sul mercato americano (sep 500). L'indice NON è negoziabile (non si può comprare, è un numero puro) ma tuttavia è possibile negoziare future e opzioni su di esso. un indice simile usato per il mercato europeo e calcolato allo stesso modo ma sull'eurostocxx50 è il VSTOXX si può quindi scommettere anche sulla volatilità implicita tramite questi indici: ad es. se compro un future sul vix a 25 (che corrisponde a una volatilità implicità di 30 giorni del 25%) con multiplo 1000 usd sto scommettendo su un rialzo della volatilità implicita mentre se lo vendo su un ribasso. in questo caso sto scommettendo SOLO sulla volatilità implicita, è l'unica determinante. spesso una poszione long sul vix viene presa come hedge (copertura) per la parte azionaria del portafoglio in quanto in periodi di crolli e crisi la volatilità implicita tende ad aumentare.

Answer 69

il payoff sarà pari a (26.2-25)*1000 ovvero 1200 usd.

Answer 70

sono quelle in cui il trader non prende posizione sulla volatilità implicita in generale ma sulla differenza tra 2 volatilità implicite e lo si può fare in 2 modi: scommettendo sull'andamento della differenza tra 2 volatilità implicite tar 2 sottostanti diversi o tra 2 volatilità implicite di contratti sullo stesso sottostante ma con scadenze diverse. il tipico modo di farle è combinare un acquisto di un ATM straddle su un asset/scadenza e la vendita di un ATM straddle sull'altro asset/scadenza; di solito si scelgono atm per 2 ragioni: - sono più liquidi -cosi ho delta nullo

Answer 71

ci sono 3 scenari in cui la differenza si riduce: 1) se entrambe le voaltilità salgono ma quella dell sep 550 di meno 2)se entrambe le volatilità scendono ma quella dell'sep100 di più 3) se la volatilità dell'sep100 aumenta e quella dell'sep 500 diminuisce per capire che strategia devo fare devo guardare a quest'ultimo caso: da essi si capisce infatti come voglio andare vega lungo sull'sep 500 e vega corto sull sep 100: farò quindi un LONG straddle sull'sep500 e short straddle sull'sep100. inoltre per coprirmi in tutti i casi (ovvero fare in modo che le variazioni parallele di volatilità implicita non abbiano impatto) devo fare in modo che il vega complessivo sia nullo (facendo quindi più contratti per le opzioni con vega minore in valore assoluto). inoltre i 2 straddle devono essere ATM e se serve delta hedgiati.

Answer 72

si va a scommettere sull'andamento della term structure della volatilità implicita (che al contrario dei tassi è una curva decrrescente o crescente in modo equalmente probabile) se ad es il trader cred in un appiattimento della curva può costruire una strategia in cui va vega lungo sulla scadenza a 1 mese e vega corto su quella a 3 mesi combinando ad esempio un long straddle sull opzione a 1 mese e uno short con scadenza a 1 mese. anche qui per coprirmi da variazioni parallele devo fare in modo che il vega complessivo sia nullo ovvero che i 2 vega siano uguali in valore assoluto: dovrò quindi comprare più contratti sulla scadenza a 1 mese (la scadenza più corta ha vega più basso perchè il vega cala sistematicamente all'avvicinarsi alla scadenza) e vendere meno contratti a 3 mesi con vega più alto in valore assoluto.

Answer 73

essi radicano le loro basi nel fatto che considerando opzioni sullo stesso sottostante, con stessa scadenza ma con diversi strike la volatilità implicita insita nei loro prezzi ricavata tramite un processo inverso di reverse engeeneing usando black and scholes non è unica ma differisce in base agli strike; le diverse implicita possono ricondurre voaltility smile o volatility skew. La volatility smile si ha quando all'aumentare della moneyness dell'opzione (che stavolta, al contrario di quando usavamo le greche, è considerata come il rapporto tra strike e prezzo del sottostante e non viceversa) la volatilità implicita prima scende, toccando un minimo (circa in corrispondenza dell'atm: moneyness del 100%) e poi risale. La volatility smile si ha invece quando all'aumentare della moneyness la volatilità implicita diminuisce sempre; tendenzialmente a volatilità implicita è funzione monotonicamente decrescente e la parte sinistra del grafico della volatilità implicita è più ripida di quella destra. le opzioni che guidano il mercato sono quelle atm e otm che sono molto più liquide e negoziate in quanto, pur se ti coprono meno, costano anche molto meno (inoltre le opzioni vengono spesso prese per coprirsi e quindi avrebbe poco senso prendere delle opzioni itm; magari riascolta perchè)

Answer 74

coincidono se si tratta di opzioni europee in cui vale la parità put-call mentre sulle americane no.

Answer 75

- opzioni su azioni - opzioni su bond futures (ad eccezione di opzioni illiquide e molto vicine a scadenze che potrebbero presentare volatility smile) per 2 motivi: - lo skew è una correzione che il mercato fa in funzione del fatto che mentre la distribuzione ipotizzata da black and scholes dei rendimenti sia normalmente distribuita (e prezzi lognormalmente distribuiti) la distribuzione empirica è leptocurtica con curtosi negativa e coda sinistra molto più spessa della normale: il mercato si aspetta più ribassi rispetto a quelli previsti dal modello di black-and scholes (probabilità sotto la coda sx è più alta rispetto alla normale) e questo induce il venditore di opzioni put (usate per coprirsi dai ribassi) a chiedere e a ottenere dei prezzi più alti rispetto a quelli stimati da b-s; dunque ricavando la volatilità implicita dalla formula di b-s inserendo il prezzo richiesto otteniamo una volatilità implicita maggiore risipetto a quella iniziale - fattori di domanda e offerta (es. crashpobia che porta a grande domanda di put OTM), nel mercato azionario e obbligazionario un grande numero di persone sono rialziste e quindi molte di esse domanderanno delle put OTM (meno costose) per proteggersi da ribassi mentre ci sono pochi soggetti disposti a venderle; questo squilibrio strutturale porta a un aumento dei prezzi delle put otm e quindi a un aumento della volatilità implicita. questo squilibrio è anche il motivo per cui la distribuzione empirica vista prima ha solo la coda destra più spessa della normale e non entrambe.

Answer 76

- opzioni su cambi -opzioni su tassi di interesse (cap o floor) perchè: - lo smile è una correzione del fatto che mentre la distribuzione dei rendimenti ipotizzata da b-s è normale quella empirica è leptocurtica con ENTRAMBE le code più spesse della normale (distribuzione più simmetrica). -fattori di domanda e offerta: stavolta gli eccessi di domanda possono essere sia su put otm che su call otm; mentre nel mercato azionario e obb. quasi tutti sono preoccupati dai ribassi qua alcuni soggetti saranno preocuppati dei ribassi e alcuni dei rialzi (es. esportatori eu in usa saranno preoccupati del crollo dell'usd mentre esportatori usa in eu dell'euro): questa è anche la ragione per cui la distribuzione empirica presenta Entrambe PIù spesse della normale

Answer 77

su azionario e obbligazionario forti movimenti negativi del prezzo sono spesso combinati con forti aumenti della volatilità implicita (perchè quando prezzi scendono molti cercano di proteggersi comprando delle put la cui domanda aumenta molto mentre l'offerta si riduce: questo sbilancio porta all'aumento del prezzo delle put e a un conseguente aumento della volatilità implicita). al contrario, mentre il coefficiente che descrive la volatilità implicita quando il prezzo scende è negativo e significativo quello che la descrive quando il prezzo sale è molto meno chiaro: talvolta è positivo e talvolta negativo. su cambi e tassi la relazione tra variazione dei prezzi e volatilità implicita non è chiara: anche quando il prezzo scende non vale la relazione inversa che abbiamo visto prima sull'azionario e obbligazionario (che erano mercati in cui quasi tutti sono long)

Answer 78

le volatilità implicite non sono diverse solo al variare dello strike ma anche al variare della scadenza (come abbiamo già visto nelle strategie di volatility spread trading su diverse scadenze). la volatility term structure indica come varia la volatilità implicita delle opzioni al variare della loro scadenza: essa può sia aumentare che diminuire all'aumentare della scadenza a seconda delle dinamiche del mercato. ciò che va tenuto a mente è che le volatilità su scadenze minori fluttuano molto di più di quelle su scadenze superiori.

Answer 79

inanzitutto mentre quella dei tassi è tedenzialmente crescente quella della volatilità implicita è di solito ugualmente frequente decrescente o crescente. inoltre la term structure della volatilità implicita è molto più VOLATILE rispetto a quella dei tassi: ad es analizzando la differenza di volatilità implicita tra le opzioni atm a 1 mese di scadenza e quelle atm a 3 mesi di scadenza sul eurostoxx si può vedere come essa passi molte volte da negativa (term structure crescente) a positiva (term structure decrescente) e viceversa. ciò apre molte possibilità di strategie di volatility spread trading che possono sfruttare dei futuri cambiamenti nella pendenza della term structure.

Answer 80

si ottiene la matrice di volatilità (se in forma tabellare) o la superficie di volatilità (se in forma di grafico tridimensionale). nella matrice si ha una tabella a doppia entrata in cui vengono indicate le volatilità implicite relative ad opzioni con una certa scadenza e con un certo livello di moneyness. il problema che spesso si presenta è che per scadenze molto lunghe (ad es. un anno o più) spesso non ci sono opzioni quotate sul mercato e quini devo assicurarmi che nel prezzare le opzioni io stia utilizzando la volatilità implicita giusta: per la maggior parte dei sottostanti esistono dei provider a cui le banche si affidano, pagandoli, per ottenere le volatility surface medie usate dalle altre banche con cui poi prezzare le opzioni.

Answer 81

nelle opzioni con scadenza a 3 mese c'è skew in quanto la volatilità implicita si riduce sempre all'aumentare della moneyness. c'è molta più skew in quelle a breve; la struttura in esse è molto più ripida: infatti la differenza tra volatilità implicita con moneyness minore e con moneyness maggiore è decisamente più ampia nel caso di opzioni con breve scadenza. NO,perchè l'impatto che la volatilità implicita ha sul prezzo dell'opzione è funzione di vega (che infatti mi dice come varia il prezzo al variare della volatilità implicita) e le opzioni con scadenza più lunga hanno vega MOLTO maggiore (in quanto il vega diminuisce in modo sistematico al passare del tempo). perciò anche se l'errore che faccio nella volatilità da inserire nel pricing è molto maggiore sulle scadenze a breve esso è moltiplicato per un vega decisamente più basso rispetto a quello che si ha per scadenze superiori che invece, essendo molto alto, mi amplifica enormemente il piccolo errore che commetto sulla volatilità che inserisco.

Answer 82

anche per esse avremo delle volatilità implicite ask e delle volatilità implicite bid: - la volatilità implicita riportata è di solito quella media tra bid e ask - la liquidità delle opzioni CONTA: opzioni più liquide riducono lo spread bid-ask e quindi la volatilità. DA RIGUARDARE

Answer 83

no, gli shock possono essere diversi (shock non paralleli tra strike) per strike differenti con uguale scadenza; ad es. può esserci una variazione di volatilità di 2.1 per le opzioni con scadenza 3 mesi e moneyness 150% e una variazione di 2.9 per le opzioni con scadenza 3 mesi e moneyness 80%; spesso aumenti di volatilità implicita sono provocati dai crolli dei prezzi che spingono una forte domanda di put per coprirsi dai ribassi; ma siccome le put di gran lunga più richieste sono quelle OTM (meno costose) spesso si realizza una variazione del loro prezzo e quindi di volatilità implicita maggiore in corrispondenza di esse ovvero per le opzioni con moneyness maggiore (sempre intesa come strike/prezzo del sottostante). no, ci sono spesso FORTI differenze tra le variazioni di volatilità implicita subite da opzioni con diverse scadenze. ad . es un opzione con moneyness 150% con scadenza 3 mesi può subire una variazione dei 2.1 mentre quella con stessa moneyness ma scadenza a 5 anni magari subisce una variazione di 0.7: come detto prima le opzioni con scadenza più breve fluttuano molto di più. l'implicazione sul vega è questa: non è detto che l'effetto vega su un portafoglio di più posizioni che hanno vega combinato nullo sia per forza nullo; infatti l'effetto vega è dato dalla moltiplicazione tra vega e variazione di volatilità, tuttavia quest'ultima come abbiamo appena detto può risultare anche molto diversa per opzioni diverse e dunque l'effetto vega può NON essere nullo anche quando il vega di portafoglio è nullo (ciò non accade per le altre greche): infatti quando aggreghiamo il vega di portafoglio facciamo implicitamente l'ipotesi di avere stessa variazione di volatilità su tutti i contratti che però è un ipotesi non veritiera. quindi l'effetto vega totale è nullo SOLO se anche le variazioni di volatilità implicita dei contratti sono le stesse. in altre parole un portafogli con vega nullo implica che non siamo esposti a variazioni PARALLELE della volatilità (nota che già nelle strategia di volatility spread trading ponevamo il vega nullo per coprirci da variazioni parallele della volatilità) ma TUTTAVIA rimaniamo esposti cambi differenziati di volatilità implicita delle diverse posizioni.

Answer 84

tendenzialmente ci si preoccupa molto di più delle differenze di variazioni di volatilità che avviene su scadenze diverse che su strike diversi in quanto esse sono decisamente più significative. per tenerne conto di solito il desk fa un breakdown del vega delle opzioni che possiede in base alle scadenze tramite un maturity backet: ovvero, al posto di calcolare un unico vega complessivo di portafoglio aggregando tutti i vega; si dividono le opzioni per fasce di scadenza (es. 0-3 mesi, 3mesi-6 mesi. 6 mesi-2 anni) e per ogni fascia si prendono le opzioni che hanno scadenza entro quella fascia e si calcola il vega relativo a ciascuna fascia aggregando i vega delle opzioni che rientrano in ciascuna fascia. inq uesto modo non otterrò quindi un unico vega ma un numero di vega pari alle fasce scelte. lo scopo è capire l'esposizione alla variazione di volatilità per ogni fascia; se ad esempio ho un vega complessivo di portafoglio positivo ma un vega della fascia più corta negativo può capitare che un aumento della volatilità possa produrmi delle perdite: questo perchè sappiamo che l'aumento della volatilità è tendenzialmente molto maggiore su scadenze brevi dove io ho vega negativo, questo potrebbe produrre un effetto negativo che andrebbe a superare quello positivo prodotto dalle variazioni di volatilità sulle opzioni con scadenza maggiore. se non avessi fatto il bucket ma avessi guardato solo al vega complessivo non avrei potuto capire ciò.

Answer 85

-strategie che giocano sul diverse variazioni di volatilità tra scadenze: sono quelle che abbiamo già visto in precedenza che scommettono su un flattering o uno steepening della term structure della volatilità implicita -strategie che giocano sulle diverse variazioni di volatilità tra strike: in queste strategie si scommette su un flattering o steepening dello skew di volatilità ovvero su cambiamenti della pendenza dello skew; queste strategie sono dette "volatility skew trading strategies". si ha flattering dello skew quando la differenza tra la volatilità implicita di opzioni con moneyness 90% e opioni con moneyness 110%, sulla stessa scadenza, si riduce mentre si ha steepening quando questa differenza aumenta. ciò che faremo dunque per trarre profitto da una nostra view su questi andamenti sarà prendere posizioni long e short sulle opzioni con moneyness 90% e 110% ma assicurandoci di bloccare il vega complessivo a 0 così che siamo esposti solo a rotazioni della curva e non anche a traslazioni a ribasso o a rialzo (siccome abbiamo una view solo sulla differenza di volatilità e non sull'andamento della volatilità in generale, se avessimo una view anche su quella allora si che potremmo fare delle posizioni con vega complessivo diverso da zero per guadagnare ance su quella)

Answer 86

il modo comune è guardare alla differenza tra opzioni con moneyness 90% e opzioni con moneyness 110% con stessa scadenza; quando questa differenza diminuisce abbiamo un flattering dello skew mentre se aumenta abbiamo uno steepening dello skew.

Answer 87

sono: - long risk reversal in cui combino l'acquisto di una call OTM e la vendita di una put OTM (per capire se sia LONG o short risk reversal guarda al delta complessivo della strategie: se è positivo (ovvero se sei rialzista sul p. del sottostante) è long mentre se sei delta negativo è uno short ; in questo caso stiamo combinando 2 posizioni con delta positivo quindi il delta complessivo positivo e quindi questo è un LONG risk reversal) - short risk reversal in cui combino la vendita di una call OTM con l'acquisto di una put OTM ( il delta complessivo è negativo siccome i 2 delta delle posizioni sono negativi e perciò è uno SHORT risk reversal) il flattering si può avere: - se la curva sale ma la parte sinistra sale meno di quella destra (rotazione più traslazione) - se la curva scende ma la parte sinistra scende di più di quella destra (rotazione più traslazione) - se la curva ruota con centro in corrispondenza della moneyness 100% (ATM) verso il basso a sinistra e verso l'alto a destra (solo rotazione) per capire che strategia devo fare guardiamo a quest'ultimo caso: siccome si ha una rotazione di questo tipo la volatilità delle opzioni con moneyness inferiore a 100%, tra cui quelle con moneyness 90% scenderà e quella delle opzioni con moneyness superiore a 100%, tra cui quelle con moneyness 110%, aumenterà. in corrispondenza di moneyness 90% si ha che lo strike è minore del prezzo del sottostante (in quanto la moneyness è espressa come rapporto tra strike e prezzo del sottostante) e quindi qui avremo le put OTM mentre in corrispondenza della moneyness 110% avremo strike maggior del p. del sottostante e quindi ci saranno le call OTM. perciò combinando questi 2 ragionamenti avremo che se si ha un flattering la volatilità delle put OTM diminuirà mentre quella delle call OTM aumenterà perciò devo andare vega negativo sulla put e vega positivo sulla call: per fare ciò devo vendere la put e comprare la call facendo quindi un LONG risk reversal. se il trader ha una view sul flattering ma non su quale dei 3 scenari di flattering prima elencati si può verificare può implementare la strategia in modo che il vega complessivo della strategia sia nullo: in questo modo ci si copre da spostamenti paralleli della curva e il profitto dipende solo dalla sua rotazione (ovvero solo dalla riduzione della pendenza dello skew); cosi garantisco stessi profitti su tutti e 3 gli scenari e non solo sull'ultimo in cui avveniva solo la rotazione (negli altri 2 infatti il movimento dello skew può essere scomposto in 2 movimenti: -la rotazione che genera un profitto - il movimento parallelo che ha effetto nullo siccome ci siamo coperti da esso ponendo vega nullo). inoltre per fare in modo che effettivamente la strategia dipenda solamente dal cambiamento di pendenza dello skew essa dovrebbe anche essere delta nulla così da non avere posizione sul prezzo del sottostante. chiaramente se il trader si aspettasse uno steepening la strategia dovrebbe essere inversa. se il trader avesse anche una view sull'andamento generale della volatilità implicita allora a quel punto potrebbe non fare in modo che la strategia abbia vega nulla ma porrebbe un vega positivo o negativo (a seconda che abbia una view rialzista o ribassista sulla volatilità implicita) cercando di guadagnare anche da movimenti paralleli della curva. ad esempio se il trader avesse view rialzista sulla volatilità vorrebbe un vega positivo e quindi farebbe uno short risk reversal con vega positivo in quanto si aspetta che la volatilità aumenti. per fare questo tra le 2 strategie prenderà sicuramente la seconda in quanto per avere vega positivo la posizione con vega positivo (quella in cui compro put otm siccome si ha vega positivo quando si è acquirenti) deve essere più alta in valore assoluto (cosicchè domini il vega negativo dell'altra posizione) e perciò deve essere più vicino all'atm (moneyness 100%) rispetto all'altra (infatti 90% è più vicino a 100% di quanto non lo sia 120%).

Answer 88

uno swap è un contratto tra 2 controparti che si scambiano flussi di cassa nel futuro, i contratto definisce i date in cui i flussi di cassa devono essere pagati e il modo in cui i flussi di cassa devono essere pagati. alcuni swap possono essere: - interest rate swap, su cui noi co concentraremo - currency swap -equity swap sul pricing degli swap negli ultimi 15 anni ci sono stati molti cambiamenti significativi

Answer 89

i flussi di cassa sono definiti in funzione di: - 2 diversi tassi di interesse (nel caso più semplice uno fisso e l'altro variabile; un soggetto paga fisso e riceve variabile e l'altro viceversa; questi da soli coprono il 60% di tutto il mercato dei derivati OTC.). - un capitale nozionale che è il capitale su cui vengono calcolati i flussi di cassa (moltiplicandolo per i tassi) e indica la dimensione del contratto. -la frequenza con cui devono avvenire i pagamenti tra e 2 controparti (il grosso del mercato è basato su pagamenti semestrali) - la scadenza dello swap ovvero la data fino a cui i flussi di cassa vengono scambiati.

Answer 90

è l'irs più comune in cui 2 controparti si scambiano periodicamente la DIFFERENZA tra il tasso variabile e fisso applicati al nozionale (nota che il fatto che si paghi solo la differenza limita il rischio di credito al SOLO differenziale tra i pagamenti e non su tutto il pagamento). per ogni periodo il tasso variabile è osservato all'inizio del periodo (mentre il pagamento è fatto alla fine di esso), questo perchè questi contratti vengono principalmente fatti per coprire il rischio di tasso da prestiti nei quali, quando a tasso variabile, c'è la convenzione di guardare il tasso variabile (es. euribor) all'inizio del periodo e di pagare gli interessi alla fine (perciò anche gli irs che s usano per coprire questi prestiti utilizzano questo meccanismo).

Answer 91

dopo 6 mesi egli dovrà pagare la DIFFERENZA tra il tasso fisso (2%) e il tasso euribor osservato all'inizio del periodo dei 6 mesi (cioè all'inizio del contratto ovvero 1.8%) moltiplicato per il nozionale ossia 1 milione di euro e per 0.5 visto che siamo a metà anno e i tassi sono annuali (per semplicità di solito si consideriamo i TASSI SEMPLICI). Dopo 1 anno invece riceverà la differenza tra il tasso variabile osservato all'inizio del periodo semestrale (ovvero il taso euribor tra 6 mesi di 2.1% ) e il tasso fisso del 2% moltiplicato per il nozionale e per 0.5 (stesso motivo di prima). quindi dopo 6 mesi pagherà 1000 euro e dopo 1 anno riceverà 500 euro; per l'altra parte i cashflow saranno invertiti.

Answer 92

per long leg si intendono i pagamenti che si ricevono mentre per short leg i pagamenti che si devono fare all'altra controparte. per esso la long leg sarà il tasso variabile e la short leg sarà il tasso fisso. si possono distinguere tra swap generici in cui entrambe le leg hanno la stessa frequenza di pagamento e swap non generici in cui le due 2 leg hanno frequenze di pagamento diverse. è di tipo non generico perchè le 2 frequenze sono diverse. (il tutto è compensato dal fatto che nel calcolo die flussi di cassa da pagare il tasso variabile*nozionale verrà moltiplicato per 0.5 come nel caso precedente mentre il tasso fisso*nozionale verrà moltiplicato per 1 siccome i pagamenti sono annuali.)

Answer 93

è un tasso interbancario lettera (IBOR) ovvero un tasso a cui possono essere prestati dei soldi sul mercato interbancario. nel passato i tassi chiave erano rappresntati dal LIBOR che era su più valute e dall'euribor. tuttavia dopo lo scandalo della manipolazione del libor (legato al fatto che il libro era basato principalmente su dei sondaggi e quindi facilmente manipolabile) il financial stability board ha condotto enormi riforme dei tassi IBOR (basandosi molto di più su vere transazioni e meno sulle survey) e in particolare : - il libor è scomparso e sono stati introdotti tassi alternativi che noi non li considereremo (apparte qualche commento finale) - nell'unione europea l'euribor è stato profondamente riformato ma continua ad essere usato e per semplicità noi ci concentreremo su questo considerandolo come lo standard per i fixed-to floating irs.

Answer 94

bisogna trovare il tasso fisso equo con cui scambiare il tasso variabile per i prossimi anni. l'intuizione è che esso deve essere quel tasso tale per cui il valore attuale dei pagamenti attesi da chi paga variabile sia pari a quello dei pagamenti attesi da chi paga fisso (dunque intuitivamente il prezzo dipenderà dal tasso attuale e SOPRATUTTO dalle aspettative future sui tassi.se ad es. l'euribor a 1 anno è 2% e il mercato sia spetta che sarà 2.4% nel secondo anno e 2.8% nel terzo nessuno farebbe uno swap con tasso fisso al 2% ma solo se fosse più alto, e tanto più alto all'aumentare della scadenza dello swap); ossia al momento in cui si fa il contratto il suo valore deve essere NULLO (PV(fixed leg)=PV(floating leg) dove PV=present value). nel farlo ignoreremo: - lo spread bid-ask - l'impatto del rischio di credito sul prezzo degli swap (per gli swap con contratti bilaterali in cui non c' è la clearing house)

Answer 95

è il tasso fisso equo da scambiare con quello variabile. come tassi di attualizzazione usiamo i tassi zero-coupon relativi ad ogni scadenza dei flussi di cassa (nota bene che non si usa un unico tasso come si fa ad esempio con lo ytm). per farlo dobbiamo stimare i tassi variabili nei periodi futuri e per fare ciò possiamo ipotizzare vera la teoria delle aspettative usando i tassi forward impliciti nella curva dei rendimenti: infatti se ipotizziamo vera la teoria delle aspettative possiamo ricavare la curva forward da quella spot tramite le equivalenze di montanti (stesso procedimento visto in risk managment)

Answer 96

i tassi interbancari sono di solito espressi assumendo una capitalizzazione semplice, la stessa convenzione viene applicata ai tassi swap. tuttavia quando si estrae i tassi forward da quelli spot molte persone sono più familiari con la capitalizzazione composta perciò ciò che faremo noi è: - assumere che tutti i tassi sul mercatp monetario siano in regime di capitalizzazione composta - mantenendo la convenzione dei tassi semplici solo per annualizzare i tassi swap.

Answer 97

possiamo portare fuori f che è una costante ottenendo la formula scritta nella slide 21. da qui si vede come conoscendo i tassi zero cupon;da cui poi possiamo ricavare i tassi forward tramite l'uguaglianza di montanti, si può risolvere l'equazione e trovare il giusto tasso fisso equo f. ci sono due possibili strade: - per decenni prima del 2008 il rischio di default sulle grandi banche con rating AA era considerato praticamente nullo e quindi i tassi euribor/libor erano considerati di fatto come tassi risk free; inoltre prima del 2008 gli swap erano praticamente tutti negoziati su mercati OTC. per questo motivo si utilizzava un unica curva (quella dei tassi euribor/libor) sia per attualizzare i flussi di cassa dello swap sia per estrarre da essa i tassi forward da usare al numeratore nella parte variabile dell'equazione: questo sistema di pricing è detto PRICING A CURVA SINGOLA. - dopo il 2008 quasi tutti gli swap hanno iniziato ad essere fatti con delle clearing house o comunque, se anche fatti otc, hanno iniziato a prevedere stringenti accordi su collaterali per quasi eliminare il rischio di credito. allo stesso tempo, siccome molte banche grandi di rating AA erano fallite o quasi i tassi euribor/libor non erano più considerati per nulla risk free e anzi comprendevano un premio per il rischio di credito. questo ha fatto si che ci fosse i bisogno di distinguere le due curve (quella da usare per attualizzare i flussi di cassa dello swap e quella da cui ricavare i tassi forward) perchè mentre per ricavare i tassi forward si poteva continuare ad usare i tassi euribor/libor essi non potevano essere più usati per attualizzare i flussi di cassa dello swap in quanto essi non erano più considerati risk-free (e incorporavano quindi un rischio di credito) mentre i flussi dello swap erano di fatto privi di rischio di credito in quanto gli swap erano praticamente sempre contratti con delle clearing house. questo metodo di pricing è detto PRICING A CURVA DOPPIA.

Answer 98

partendo dall'equazione originaria e utilizzando i fattori di sconto (valore oggi di un euro che ricevo tra t anni) posso ricavare che f è uguale al valore attuale della gamba variabile (pari alla sommatoria dei tassi forward attualizzati ; attualizzare vuol dire semplicemente moltiplicare per il tasso di sconto) diviso la sommatoria dei fattori di sconto della gamba fissa. nota che al variare della frequenza dei pagamenti della parte fissa definita nel contratto varia il denominatore di questo rapporto mentre il numeratore non varia in quanto si riferisce alla gamba variabile.

Answer 99

1) per prima cosa devo convertire i tassi zero coupon annuali in semestrali usando capitalizzazione composta (e quindi non otterrò la metà ma un pelo meno). 2) dopodichè posso trovare i fattori di sconto relativi ad ogni scadenza dai tassi annuali o semestrali a seconda di come preferisco, e fare la sommatoria di questi fattori di sconto. 3)posso ricavarmi i tassi forward per ogni scadenza tramite l'equivalenza di montanti, a partire dai tassi zero-cupon semestrali calcolati al punto 1. 4) faccio per ogni scadenza la moltiplicazione tra fattore di sconto relativo a quella scadenza e tassi forward e poi sommo questi valori. 5) a questo punto posso trovare f (espresso come tasso semestrale) semplicemente dividendo il valore trovato al punto 4 per il valore trovato al punto 2. posso poi annualizzare il tasso assumendo capitalizzazione semplice e quindi moltiplicando semplicemente per 2. 6) per controllare di avere prezzato bene puoi poi controllare che alla data di redazione del contratto effettivamente i valori attuali dei pagamenti della parte fissa e di quella variabile (ovvero i present value delle 2 gambe) coincidano. Nota che se il contratto avesse previsto una frequenza annuale e non semestrale per la gamba fissa (ovvero per i pagamenti della parte fissa) allora il numeratore sarebbe stato sempre uguale mentre al denominatore avrei dovuto fare la somma solo di 2 (e non 4 come prima) fattori di sconto (quelli in corrispondenza di quando avvenivano i pagamenti della gamba fissa ossia dopo 1 anno e dopo 2 anni), ciò che avrei ottenuto sarebbe stato il tasso fisso equo f stavolta già in formato annuale e non semestrale. possiamo poi controllare di aver fatto giusto verificando che i valori attuali della gamba fissa e di quella variabile sono identici.

Answer 100

può essere semplificata se esprimiamo i tassi forward come una funzione dei fattori di sconto imponendo l'equivalenza di montanti tra un investimento a 2 anni e uno a un anno al tasso zero-coupon e a un anno al tasso forward sostituendo poi (1+it)^t con S(t) per la definizione di tasso di sconto e ricavando quindi h (t-1;t) pari a S(t-1)/ S(t) -1: nota che questo passaggio si può fare solo perchè stiamo prezzando a curva singola e i sue S(t) sono uguali in quanto presi dalla stessa curva. riscrivendo poi il valore attuale della gamba variabile sostituendo in questo modo i tassi forward otteniamo che esso è pari a: S(0) -S(n) dove S(0) per definizione è pari 1 (valore di un euro ottenuto oggi). il tasso fisso equo dello swap può quindi essere così riscritto: f= 1-S(n)/ sommatoria con t da 1 a n dei fattori di sconto S(t). nota che il valore attuale della gamba variabile, a parità di scadenza dello swap, non dipende dalla frequenza dei pagamenti della gamba variabile siccome S(n) sarà lo stesso per swap con stessa scadenza indipendentemente dalla frequenza dei pagamenti della gamba variabile. questa formula si applica perfettamente per degli swap plain vanilla mentre per quelli non plain vanilla a volte potrebbe essere necessario il calcolo dei tassi forward oppure qualche aggiustamento intuitivo (ad es. per gli swap in cui il nozionale cambia durante il tempo: detti step up e amortizing).

Answer 101

f sarà semplicemente pari a 1-S(n)/ sommatoria con t da 1 a n degli S (t) ovvero: 1-0.97604/ 3.95202= 0.6063% (stesso che avevamo ottenuto prima)

Answer 102

la formula di pricing è f= 1-S(n)/ sommatoria con t da 1 a n degli S(t). DUNQUE: f del primo swap sarà= a 1-0.97604/ (0.99285+0.97604) f del secondo= 1-0.98562/ (0.99751+0.99285+0.98562)

Answer 103

finora abbiamo assunto di conoscere i tassi zero-coupon e di ricavare i tassi swap da quelli tuttavia ciò che succede nella realtà è che si osservano i tassi swap e da quelli si possono ricavare i tassi zero-coupon consistenti con i tassi swap osservabili (stessa cosa che viene fatta con i bond in cui si guarda ai loro prezzi e si ricava cosi lo ytm) si procede in 2 step: - spiegare la bond analogy: se aggiungiamo il pagamento da entrambe le controparti dello swap del capitale nozionale alla fine della vita dello swap (ciò chiaramente non accade ella realtà perchè aumenterebbe enormemente il rischio di credito della controparte senza nessun motivo); lo swap può essere visto come uno scambio di un titolo a tasso fisso con un titolo a tasso variabile e: calcolando il valore attuale della gamba variabile all'inception date o a una repricing date (accade solo in queste date) otteniamo che esso è pari a N e perciò il bond è prezzato alla PARI a una repricing date. perciò siccome lo swap può essere visto come uno scambio di un titolo a tasso fisso e uno a tasso variabile allora all'inception i 2 valori attuali dei due bond devono essere gli stessi e siccome il bond a tasso variabile quota alla pari per quanto appena detto allora anche quello a tasso fisso deve quotare alla pari - possiamo quindi usare questa scoperta per derivate i tassi euribor zero-coupon partendo dai tassi degli swap (BOOTSTRAPPPING), (chiaramente con double curve pricing questo processo sarà totalmente diverso): se ad esempio abbiamo il tasso zero-coupon euribor a 1 anno (osservabile sul mercato) e il tasso equo dello swap a 2 anni è 1.0785% possiamo usare la bond analogy per trovare il tasso zero-coupon euribor a 2 anni sapendo che un titolo a 2 anni che paga cedola pari al tasso swap deve quotare alla pari all'inception date. una volta trovato cosi il tasso zero coupon euribor a 2 anni posso ripetere il procedimento, usando il tasso osservato dello swap a 3 anni, per ricavare il tasso euribor zero-coupon a 3 anni e cosi via per le altre scadenze.

Answer 104

un seasoned swap vuol dire uno swap che non è all'inception date ma anzi è già stato emesso e quindi probabilmente avrà valore positivo o negativo a seconda della controparte presa in considerazione (mentre all'inception date il valore è nullo per entrambe le controparti). il valore dello swap è sempre dato dal present value di un gamaba meno quello dell'altra. in particolare si possono avere 2 casi: - se ci troviamo in una delle repricing date: in questo caso per calcolare più velocemente il valore di mercato dello swap possiamo assumere il pagamento del nozionale a scadenza da entrambe le controparti: in questo modo il present value della gamba variabile sarà pari al nozionale e quello della gamba fissa ai pagamenti del tasso fisso attualizzati più il rimborso del capitale finale (nozionale) attualizzato e perciò il valore di mercato dello swap sarà dato dalla differenza di questi 2 valori attuali. - se non ci troviamo a repricing date: anche qui possiamo ipotizzare un pagamento finale da entrambe le parti pari al nozionale ma tuttavia qua non posso dire che i valore attuale della gamba variabile è pari a N siccome non siamo a una repricing date. possiamo quindi usare questo stratagemma per calcolare il valore attuale della gamba variabile: siccome sappiamo che sicuramente il valore attuale della gamba variabile sarà pari a N alla prossima repricing date possiamo scrivere il valore attuale della gamba variabile come la somma tra N attualizzato al tempo che manca tra oggi e la prossima repricing date e il pagamento variabile che riceveremo alla prossima repricing date attualizzato.

Answer 105

dopo la crisi del 2008 i flussi degli swap erano ancora più sicuri perchè registrati o con clearing house o con collateral molto forti mentre i tassi euribor non erano considerati più cosi sicuri visti i tanti fallimenti delle banche; è nata quindi l'esigenza di usare dei tassi di attualizzazione risk-free più bassi dell'euribor che invece incorpora un premio per il rischio di default. molti hanno quindi deciso di usare per attualizzare i tassi degli swap indicizzati all'overnight. infatti il tasso interbancario overnight è un tasso che viene prestato un giorno e rimborsato il successivo tra banche e quindi esposto a rischio di default minimo (di fatto risk-free siccome l'orrizonte temporale è minimale). la media ponderata di questi tassi overnight su transazioni effettivamente verificatesi in un giorno è detto tasso overnight effettivo (sonia, ester ecc..: basato su transazioni effettive non survey come il libor). Per attualizzare i flussi di cassa di uno swap si è deciso quindi di prendere il tasso che deriva dalla ripetizione per tot periodi di prestiti overnight ovvero la media geometrica dei tassi overnight (sarà un tasso più basso perchè il prestito overnight è molto più sicuro che fare un unico prestito a scadenza maggiore). tuttavia siccome i flussi di cassa dello swap sono futuri anche questa media geometrica deve essere fatta su tassi overnight realizzati in un periodo futuro: per stimarli, basandosi sulle aspettative del mercato, si ricorre dunque all'OIS swap che è uno swap in cui un tasso fisso è scambiato con la media geometrica dei tassi overnight realizzati ex-post: questo TASSO FISSO rifletterà dunque l'aspettativa del mercato sui futuri tassi overnight in quanto, se non fosse cosi, nessuno oppure tutti sottoscriverebbero questi contratti.

Answer 106

il passaggio in cui fissiamo l'eguaglianza tra i due valori attuali della gamba fissa e di quella variabile e in cui ricaviamo che f è uguale alla sommatoria dei tassi forward attualizzati con i relativi fattori di sconto divisa per la sommatoria dei fattori di sconto relativi alla gamba fissa rimane valida ma da qui in poi i due metodi divergono. infatti nel pricing a curva singola, siccome i tassi forward e i fattori di sconto erano ricavati dalla stessa curva potevamo scrivere f come 1- S(n)/ sommatoria dei fattori di sconto della gamba fissa mentre con il pricing a curva doppia ciò non si può fare in quanto i tassi forward si ricavano dalla curva euribor mentre i fattori di sconto dalla curva OIS.

Answer 107

il passaggio in cui fissiamo l'eguaglianza tra i due valori attuali della gamba fissa e di quella variabile e in cui ricaviamo che f è uguale alla sommatoria dei tassi forward attualizzati con i relativi fattori di sconto divisa per la sommatoria dei fattori di sconto relativi alla gamba fissa rimane valida ma da qui in poi i due metodi divergono. 1) ricaviamo i fattori di sconto dai tassi zero-coupon sia euribor che OIS 2) deriviamo i tassi forward dai fattori di sconto con la formula ricavata nella slide 31 3) calcoliamo il valore della gamba variabile facendo la sommatoria delle moltiplicazioni tra tassi forward e fattori di sconto ricavati dai tassi OIS. 4) calcoliamo il tasso equo dello swap dividendo il valore della gamba fissa per a sommatoria dei fattori di sconto OIS relativi ai pagamenti della gamba fissa (la formula è sempre sommatoria dei tassi forward attualizzati diviso somma dei fattori di sconto)

Answer 108

per prezzare uno swap con curva doppia ci servono sia i tassi zero-coupn della curva OIS che quelli della curva Euribor; li possiamo ottenere con 2 passaggi: 1) i tassi zero-coupon OIS possono essere ottenuto osservando i tassi degli OIS swap usando lo stesso processo di bootstrapping e bond analogy già visto siccome il pricing di questi swap è di fatto a curva singola (sia i tassi forward che i fattori di sconto sono ricavati dalla curva OIS): posso usare la bond analogy e imporre che il bond che paga cedole pari al tasso dell'OIS swap quoti alla pari trovando cosi i fattori di sconto/ tassi zero-coupon relativi alla curva OIS 2) una volta che i tassi zero coupon ois/fattori di sconto ois sono trovati, i tassi zero-coupon euribor possono essere derivati dagli swap su euribor attualizzati con i tassi OIS in questo modo: possiamo prima usare i tassi ois zero-coupon e i tassi degli swap sull'euribor per trovare il tasso forward sull'euribor imponendo che i valori attuali della gamba fissa e di quella variabile coincidano e risolvendo l'equazione per il tasso forward. poi possiamo imporre l'equivalenza tra montanti tra un investimento a 2 anni al tasso zero-coupon euribor e un investimento a 1 anno al tasso zero-coupon euribor e a 1 anno al tasso forward euribor che abbiamo appena ricavato risolvendo l'equazione per il tasso zero-coupon euribor a 3 anni; questo processo può essere poi ripetuto per trovare i tassi zero-coupon euribor sulle successive scadenze.

Answer 109

al contrario della valutazione con euribor discounting, qui non possiamo semplificare l'analisi considerando che alle repricing date il valore attuale della gamba variabile è pari a N ma sfortunatamente valutare un seasoned swap con ois discounting richiede NECESSARIAMENTE di stimare analiticamente tutti i i tassi forward per calcolare il valore attuale della gamba variabile. (il valore dello swap è sempre la differenza tra i valori attuali delle due gambe ma questi ultimi sono più lunghi da calcolare)

Answer 110

sono le opzioni che non sono ne europee e ne americane (plain vanilla) e il cui payoff è definito in una maniera creativa (ad es. basato su una media dei prezzi del sottostante lungo la vita dell'opzione o che dipende dal comportamento combinato di più di un asset. molto spesso le opzioni esotiche combinano più di una caratteristica esotica/non standard.

Answer 111

- sono abbastanza importanti nel caso di titoli strutturati sull'azionario (equity linked bond) - sono importanti per la copertura delle imprese su vari rischi.

Answer 112

su un singolo sottostante: - path dependent: quelle che dipendono non solo dal prezzo finale del sottostante ma dal suo andamento durante la vita dell'opzione. tipi principali: asiatiche (payoff dipende dalla media dei prezzi del sottostante) e opzioni a barriera (payoff simile all'europea ma condizionato dal fatto che la il prezzo abbia raggiunto o meno un certo prezzo barriera lungo la vita dell'opzione) - a payoff discontinuo tra cui le più importanti sono le opzioni digitali su più sottostanti: - multiasset (es. se il payoff di un opzione dipende dalla media dei prezzi di 2 titoli); sono molto più complicate da prezzare in quanto entrano in gioco tutte le correlazioni. tipi principali: basket options, best options/worst options

Answer 113

in un opzione asiatica il payoff dipende dal prezzo medio del sottostante, osservato ad alcune date precise lungo la vita dell'opzione dette FIXINGS. dunque il payoff dell'opzione asiatica call sarà ad esempio il massimo tra: la media dei prezzi registrati nei fixings- lo strike e 0. dunque al contrario dell'equivalente opzione call europea il payoff dipende dal prezzo del sottostante lungo la vita dell'opzione e non solo dal prezzo finale del sottostante; ciò fa si che ci possono essere casi in cui la call asiatica viene esercitata mentre l'equivalente call europea no e viceversa: se ad esempio il prezzo del sottostante è stato sopra lo strike per tutta la vita dell'opzione ed è sceso sotto lo strike all'ultimo giorno allora la call asiatica sarà riscattata e avrà payoff positivo mentre l'equivalente europea no (payoff nullo) in quanto il suo payoff dipende solo dal prezzo finale del sottostante

Answer 114

intuitivamente il payoff dell'asiatica, siccome basato su una media del prezzo del sottostante, sarà meno disperso (meno volatilità) di quello dell'europea e quindi l'asiatica costa di meno in quanto un opzione vale tanto di più quanto maggiore è la volatilità del sottostante poichè più esso è volatile più sarà probabile che l'opzione risulti tanto ITM e quindi il payoff sia fortemente positivo. quella con rilevazioni semestrali siccome ne ha di più di quella con rilevazioni trimestrali riduce di più la volatilità e perciò avrà meno valore e quindi minor costo. considera che non conta solo il numero di rilevazioni (fixing) ma conta anche il TIMING; le rilevazioni che avvengono più presto riducono di molto la volatilità mentre quelle che avvengono più tardi di meno siccome la dispersione del prezzo cresce come funzione di sigma*radice di t. ciò si vede bene anche dal grafico degli intervalli di confidenza che crescono in funzione della radice di t

Answer 115

esse possono essere estremamente utili a scopo di hedging (copertura) dekke imprese (tipicamente per commodities e currencies) perchè: - costano meno delle europee - sono quelle che coprono meglio un esposizione che è continua nel tempo infatti, ad esempio, un negozio italiano che vende abbigliamento in america prenderà dollari ogni giorno in cui vende e non solo in un giorno specifico; esso quindi non vorrà coprirsi dal rischio di cambio a una data specifica ma dal tasso di cambio medio dell'anno; un opzione asiatica gli permette di coprirsi MEGLIO e in più a un costo MINORE (nota che spesso si fanno medie ponderate per tenere conto della stagionalità ovvero del fatto che in alcuni periodi le vendite saranno maggiori e in altri minori)

Answer 116

1) derivo i forward euribor ricavandoli con la formula S(t-1)/S(t) -1 2) calcolo il pv della floating leg moltiplicando i tassi forward per i fattori di sconto OIS e facendo la sommatoria 3) calcolo f come pv della floating leg diviso per la sommatoria dei fattori di sconto OIS relativi alla gamba fissa con single curve discounting posso usare direttamente la formula 1-S(n)/ sommatoria dei fattori di sconto relativi alla fixed leg

Answer 117

in generale le opzioni esotiche possono essere più complesse per il pricing,per l'hedging o per entrambi. le asiatiche dal punto di vista del pricing sono difficili in quanto non c'è una formula chiusa e bisogna procedere con simulazioni numeriche come simulazioni montecarlo. mentre esse sona ancora più semplici delle opzioni plain vanilla per quanto riguarda l'hedging: infatti con il passare del tempo e l'aumentare di fixings in cui il prezzo è stato osservato, una porzione sempre maggiore del payoff finale diventa fisso: questo significa che non si ha più il problema di poter avere un gamma altissimo se vicino a scadenza l'opzione è ATM. Infatti siccome parte del payoff è fissato, il delta massimo che l'opzione può assumere è più basso (non fluttuerà più tra 0 e 1 ma in un range minore: guarda esempio prossima domanda per capire meglio) e un range di delta minore implica anche un gamma minore siccome esso rappresenta la variazione di delta. Dunque l'asiatica al passare del tempo diventa sempre meno sensibile al cambiamento del prezzo del sottostante

Answer 118

per l'europea siccome la call è profondamente ITM, il delta sarà molto vicino a 1: ad es. 0.982 per l'asiatica con fixings trimestrali il delta sarà pari a 1/4 di quello dell'europea (es. 0.246): questo perchè 3 su 4 dei fixings sono già stati osservati e quindi il payoff è fisso per 3/4 e dipende dall'ultimo prezzo rilevato solo per 1/4. allo steso modo quella con fixings mensili avrà un delta pari a 1/12 quello dell'europea (es.0.082). ciò che influisce è quindi la porzione del prezzo medio registrato ai fixings che ancora non è certa.

Answer 119

sono opzione che hanno payoff uguale all'europee ma che sono condizionate dal fatto che il prezzo abbia toccato o meno lungo il suo percorso un dato prezzo detto BARRIERA (H). in particolare una Knock-In(ki) option paga a scadenza solo se: -opzione è ITM - la barriera è stata toccata una knock-out option paga a scadenza solo se: - l'opzione è ITM a scadenza - la barriera NON è stata toccata

Answer 120

essendo una KI paga solo se la barriera viene toccata durante il percorso perciò pagherà solo nel primo percorso: nel secondo la barriera non è stata attivata

Answer 121

quando durante il percorso la barriera viene toccata la KO option muore (scade) e non ha più possibilità di esercizio. in alcuni rarissimi casi al posto di morire, è presente un piccolo pagamento (detto rebate) che viene pagato all'acquirente dell'opzione (è una sorta di premio di consolazione): chiaramente le opzioni che prevedono questo rebate sono più costose di quelle che non lo prevedono. se un invece un opzione KI tocca la barriera allora per pagare un payoff deve solo essere ITM a scadenza: ovvero diventa esattamente uguale a un opzione europea e perciò può essere prezzata come un europea

Answer 122

combinando i 2 payoff delle due posizioni è facilmente notabile come la somma delle 2 posizioni sia equivalente a una call europea con strike 10. infatti se le due call sono itm a scadenza; allora sicuramente una delle due pagherà e l'atra no a seconda che la barriera H=12 sia stata toccata o meno durante il percorso del prezzo. questa equivalenza tra questi 2 portafogli rende necessario che quindi anche la somma dei premi della call KO e della call KI sia uguale al premio della call europea: questa è detta Knock-in/knock-out parity ed è chiaramente valida anche per le put. questa equivalenza ci fa capire inanzitutto come i premi delle due opzioni KI e KO debbano essere minori (meno costosi) della corrispondente opzione europea e poi si può intuire come il posizionamento della barrriera divida il prezzo dell'europea nei 2 prezzi della KI e KO: infatti più la barriera sarà lontana dal prezzo attuale più la KI varrà di meno e la KO di più

Answer 123

siccome la somma dei premi (prezzi) della call KI e della call KO è uguale al premio dell'europea e siccome la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate possiamo dedurre che per tutte le greche la somma delle 2 greche di KI call e KO call sia pari alla greca dell'opzione europea. ciò spesso ci serve perchè molte volte non è facile capire la greca di una opzione KI o KO e quindi sapendo questa equivalenza possiamo calcolare solo la greca di una di queste due e ricavare poi l'altra con questa equivalenza.

Answer 124

vale chiaramente di più quella con barriera 14 perchè essa è più lontana dal prezzo attuale e quindi ha meno probabilità di essere attivata; inoltre con questa call il payoff massimo che posso ottenere è 3.99 mentre con l'altra è 2.99

Answer 125

quella con H=8 vale sicuramente molto di più dell'altra perchè essa non ha un tetto al payoff massimo ottenibile mentre l'altra ha un tetto pari 1.99 perchè se a scadenza l'opzione vale più di 12 vuol dire che la barriera è stata attivata e quindi il payoff sarà nullo. se invece fossero KI per la knock-in/knock-out parity quella che varrebbe di più sarebbe quella con H=12 anche perchè per questa una volta che la barriera sarebbe attivata l'opzione sarebbe già molto ITM mentre per l'altra una volta che la barriera venisse toccata allora l'opzione sarebbe OTM e dovrebbe ancora salire molto per dare payoff positivo.

Answer 126

spesso le call e put a barriera sono denominate più precisamente down-and-out e up-and-out (se KO) e down-and-in e up-and-in (se KI) con down se la barriera è più in basso rispetto al prezzo attuale spot del sottostante e up se è sopra (nota che si guarda al prezzo spot non allo strike!)

Answer 127

per il pricing delle opzioni a barriera, al contrario delle asiatiche, esiste una formula chiusa che però è molto difficile e non analizziamo. mentre per l'hedging, le greche delle opzioni a barriera, al contrario di quelle delle asiatiche possono essere molto instabili e hanno un comportamento che può essere molto diverso da quello delle asiatiche: molte delle caratteristiche tipiche delle greche delle opzioni plain vanilla possono non essere vere per le opzioni a barriera (ad es. il delta non sarà sempre tra 0 e 1)

Answer 128

il delta sarà negativo e anche molto alto in valore assoluto (può essere anche minore di -1!); questo perchè il prezzo è molto vicino alla barriera e perciò se sale essa verrà toccata e l'opzione morirà; inoltre più saremo vicino a scadenza e più il delta sarà negativo perchè essendo vicini a scadenza e itm l'opzione varrà di più e quindi c'è più valore da perdere. inoltre anche il gamma sarà negativo, infatti lo si può vedere come la variazione di delta che si avrebbe se il prezzo del sottostante aumenta (ad es. da 11.85 a 11.90) e siccome il delta diventerebbe ancora più negativo perchè il prezzo sarebbe ancora più vicino alla barriera, il numeratore di questo rapporto (variazione delta) sarà negativo mentre il denominatore sarà positivo (variazione del prezzo) allo stesso modo anche il vega è negativo in quanto se aumenta la volatilità avrò più probabilità che il prezzo arrivi a toccare la barriera: (pensala cosi: preferiresti che i prezzo si bloccasse dov'è o che avesse una variazione improvvisa al ribasso o rialzo? sicuramente la prima) quindi in questo caso avrei per la KO call delta, gamma e vega negativi (diversi dalla call europea!) no questo non significa che la KO call sarà sempre delta, gamma e vega negativa ma se la barriera è sufficentemente distante dalla barriera allora la probabilità di toccare quest'ultima sarà più bassa e quindi le greche si comporteranno in modo simile a una call normale. se ad esempio sono molto sotto allo strike ho delta positivo perchè ho molta più paura di chiudere OTM piuttosto che di toccare lo strike. i fattori che influenzano il rischio di toccare la barriera sono: - quanto il prezzo gli è distante -tempo a scadenza -volatilità

Answer 129

nel primo caso sarà sicuramente più basso (probabilmente anche negativo perchè che nel primo perchè ho più paura di toccare la barriera piuttosto che di chiudere sotto lo strike quindi preferisco che magari il prezzo scenda inizialmente per poi risalire successivamente) mentre ne secondo sarà più alto perchè essendo vicino a scadenza sarà più difficile che la barriera venga toccata mentre sarà interessato al fatto che il prezzo salga un po per non chiudere alla scadenza ATM o OTM. Sarà più negativo quando siamo più vicini perchè in questo caso siccome siamo più vicini a scadenza il payoff è molto più vicino (si attualizza per meno tempo) e quindi c'è molto più valore d perdere rispetto all'altro caso

Answer 130

si può essere anche molto maggiore di 1 ad esempio se abbiamo una knock in call con barriera superiore allo strike e quando siamo in una situazione in cui il prezzo del sottostante è molto vicino alla barriera. questo è normale perchè in questo punto se il prezzo aumenta di poco il payoff fa un salto enorme passando da 0 (payoff è nullo se la barriera non viene attivata) alla differenza tra prezzo del sottostante e strike. questo può anche essere visto con la derivazione della knock in/knock out parity in quanto da essa si può ricavare che la somma dei due delta della KI e della KO è pari al delta dell'europea: siccome in questo punto la call europe è molto itm il suo delta sarà molto vicino a 1 (es.0.9) inoltre il delta della KO sarà invece negativo e molto basso perchè se la barriera viene toccata la call muore: per rispettare l'uguaglianza dunque il delta della KI deve essere positivo e maggiore di 0.9 in valore assoluto rispetto al delta della KO.

Answer 131

il delta subito prima del tocco è negativo perchè voglio toccare la barriera mentre dopo il tocco la barriera viene attivata e quindi divento delta positivo perchè voglio che la call torni ITM. il gamma invece è positivo sia prima che dopo il tocco. prima del tocco infatti se il prezzo scende il delta diventa ancora più negativo e quindi il gamma è positivo in quanto è il rapporto tra variazione del delta (negativa) e variazione del prezzo (negativa), dopo il tocco il delta è positivo e se il prezzo sale anche il delta salirà perciò il gamma sarà positivo. allo stesso modo anche il vega sarà positivo sia prima che dopo il tocco, prima è positivo perchè voglio che il prezzo tocchi la barriera e dopo è positivo perchè voglio che la call torni ITM. è maggiore quando siamo lontani dalla scadenza perchè in questo caso la call, una volta attivata la barriera, vale di più che nel primo caso in quanto nel momento in cui tocca la barriera è OTM e quindi più è lontana dalla scadenza più vale di più siccome ha più tempo per tornare ITM (discorso diverso sarebbe stato se la barriera era ITM): per capirlo meglio pensa al valore della call all'avvicinarsi a scadenza. siccome vale di più nel più nel primo caso anche il delta dopo il tocco sarà maggiore nel primo caso e quindi anche il salto da prima a dopo il tocco sarà maggiore

Answer 132

un opzione digitale è un opzione che ha un payoff discontinuo che dipende dal fatto che il prezzo finale del sottostante sia maggiore o minore di un certo strike price. la forma tipica di opzione digitale (detta cash-or-nothing) è quella in cui se l'opzione finisce ITM è pagato un certo ammontare Q e se l'opzione non finisce ITM non è pagato nulla

Answer 133

il pricing è semplice. quello di un opzine cash-or-nothing ad esempio è: il prezzo è pari a e^-rt* ((Q*N(d2)+0*(1-N(d2)). cioè il fattore di attualizzazione moltiplicato per il payoff ponderato per la probabilità che l'opzione finisca ITM.

Answer 134

per capirlo ragioniamo sul fatto che un opzione digitale può essere quasi replicata con un bull (o bear) spread con i due strike price molto vicini (e incentrati sullo strike della digitale) e con un numero molto alto di contratti. infatti in uno spread la differenza tra profitto massimo e minimo è pari alla differenza tra i due strike delle call o put che vendo e compro moltiplicata per il numero di contratti; prendendo un numero di contratti abbastanza grande dunque potrò fare aumentare la differenza tra profitto massimo e minimo fino alla differenza tra payoff dell'opzione digitale ITM e OTM mantenendo un coefficente angolare altissimo (pari a 1*numero di contratti) riproducendo quasi perfettamente il payoff dell'opzione digitale. analizzando quindi le greche dello spread possiamo capire quindi come si comportano le greche per un opzione digitale; ad esempio per un bull spread si avrà delta sempre positivo mentre gamma e vega saranno positivi a sinistra dello strike e negativi a destra. quando siamo vicini alla scadenza ancora la curvatura del valore dell'opzione non è elevato tuttavia quando siamo molto vicini a scadenza e vicini all'ATM il delta è molto instabile e il gamma è ALTISSIMO: l'opzione digitale diventa molto problematica.

Answer 135

non confondere le opzioni digitali e le opzioni a barriera!

Answer 136

le opzioni multiasset sono le opzioni esotiche in cui il payoff dipende da più di un asset sottostante; ciò rende chiaramente il pricing molto più complesso perchè il prezzo non dipenderà solo da S dalle volatilità ecc.. ma anche dalle CORRELAZIONI tra gli asset (correlazioni implicite: per prezzare correttamente dovrei cercare di capire qual'è l'aspettativa del mercato sulle correlazioni future incorporate nei prezzi di mercato come fatto con la volatilità implicita ma con la correlazione al contrario della volatilità è praticamente impossibile farlo).

Answer 137

sono le opzioni in cui il payoff dipende dal rendimento medio di un portafoglio di asset: il payoff è dato dal massimo tra (la sommatoria dei rendimenti degli asset moltiplicati per i pesi che hanno gli asset sul portafoglio - lo strike rate K) e 0 moltiplicato per il capitale nozionale che indica la size del contratto. il payoff è pari al massimo tra la media dei 3 rendimenti e 0, il tutto moltiplicato per il nozionale. siccome la media dei 3 rendimenti è 2% ed è maggiore di 0 il payoff è 2%*100000= 2000 euro.

Answer 138

vale di più e quindi costa di più un portafoglio di opzioni e lo possiamo capire molto bene facendo un esempio: confrontiamo queste 2 strategie: - opzione su un portafoglio con il dax e il ftse mib che paga la media semplice dei 2 rendimenti se positiva con nozionale di 100.000 euro e - 2 opzioni singole sul dx e sul ftse mib che pagano il rendimento se positivo dei 2 indici e con nozionale di 50.000 euro. Se ad esmepio il rendimento del dax è 10% e quello del ftse mib è -4% allora la prima opzione pagherebbe 3000 mentre la seconda pagherebbe 5000 e quindi la seconda vale di più. questo implica che le opzioni basket possono essere un modo meno costoso di coprirsi da esposizioni multiple e questo ci fa capire perchè questo contratto è usato molto quando ci deve coprire da esposizioni multiple a tanti tasi di cambio o tante commodity: ad esempio se un azienda europea esporta in US per il 60% del fatturato, in UK per il 30% e in giappone per il 10% allora essa sarà esposta contemporaneamente alla svalutano del dolalro della sterlina e dello yen: al posto di coprirsi con 3 put su queste valute potrebbe farlo con un opzione basket con pesi 60%,30% e 10% che gli permette di coprirsi meglio e che è MOLTO MENO COSTOSA; spesso tra l'altro si fa un opzione basket che è allo stesso tempo però anche asiatica cosi si ottiene una copertura migliore e a un prezzo ancora più basso. prima che ci fosse l'euro le opzioni venivano usate tantissimo siccome c'erano tante valute diverse a cui si era esposti.

Answer 139

quelli con correlazione alta perchè un alta correlazione delle componenti del portafoglio implica un alta volatilità del portafoglio e la volatilità aumenta il valore dell'opzione: dunque per una basket option il compratore è rialzista sulla correlazione mentre il venditore è ribassista. varrebbe di più quella su 3 stocks. questo perchè all'aumentare degli stocks il portafoglio diventa più diversificato e quindi la volatilità diminuisce perciò l'opzione varrà di meno

Answer 140

le opzioni best sono quelle in cui il payoff è una funzione dell'asset che performa meglio dentro a un portafoglio mentre in quelle worst è funzione dell'asset che performa peggio. il payoff di un opzione best è pari al massimo tra i rendimenti di certi asset di un portafoglio e uno strike rate K(di solito è 0), il tutto moltiplicato per un capitale nozionale N per una worst invece il payoff è pari a il minimo tra i rendimenti degli asset e k, il tutto moltiplicato per il nozionale e con un MENO davanti per rendere il payoff positivo.

Answer 141

chiaramente varrebbe di più quella su 5 stocks perchè all'aumentare del numero di stocks chiaramente l'opzione vale di più perchè ci saranno più rendimento da cui prendere il massimo e quindi la probabilità di ricavare un rendimento massimo maggiore è crescente; stessa cosa vale per la worst. no varrebbe di meno. il valore di una best call cresce al diminuire della correlazione degli asset sottostanti perchè cosi ho più probabilità che qualcuna salga e che qualcuna lo faccia di molto (se si muovono insieme invece possono si salire tutte ma anche scendere tutte e inoltre quello che interessa a me non è che salgano tutte ma che ce ne sia una che salga tanto). dunque per una best call option è l'OPPOSTO rispetto alla basket: il compratore è ribassista sulla correlazione mentre il venditore è rialzista. NOTA però che ciò vale solo nel caso di best options con caratteristiche standard mentre non è per forza vero con best option con caratteristiche più complicate: ad esempio se ho un opzione che paga il 2% se nessuno dei tre sottostanti (con p- iniziale 10) scende sotto 9 e 0 altrimenti (è di fatto un opzione digitale ma legata al titolo che va peggio: worst+digital) allora il compratore sarà rialzista sulla correlazione (li vuole molto correlati cosi la probabilità che salgano o rimangano stabili tutti e 3 è alta). in generale in questi casi più complicati bisogna fare delle valutazioni su base specifica sul singolo contratto.

Answer 142

- il rischio di correlazione (più visibile) - l'importanza del cross-gamma (meno visibile)

Answer 143

nelle opzioni multiasset le correlazioni tra le coppie di asset entrano nella formula di pricing e quindi se sbaglio gli imput di correlazioni da mettere nella formula sbaglierò anche il prezzo dell'opzione e siccome le greche sono derivate della formula di pricing otterrò anche delle greche sbagliate. ciò che si vorrebbe fare è trovare le correlazioni stimate dal mercato implicite nei prezzi come si faceva per la volatilità implicita tuttavia per le correlazioni ciò è praticamente impossibile da fare perchè mentre per la volatilità avevamo un prezzo osservabile e da quello potevamo ricavare la volatilità implicita che è era l'unico elemento non osservabile nella formula di pricing con le basket options oltre il fatto che il prezzo spesso non è osservabile abbiamo soprattutto più correlazioni implicite (una per ogni coppia) che dovremmo ricavare da una sola equazione. per questo motivo si è praticamente costretti a inserire nella formula di pricing una propria stima della correlazione, il chè genera grande incertezza. un altro secondo problema molto importante è che il rischio di correlazione è molto difficile da coprire! : se ad esempio ipotizziamo di vendere una basket call sulla media dei rendimenti di DAX e CAC40 allora saremo vega corti su dax e cac40 e corti anche sulla loro correlazione tuttavia mentre l'esposizione ai 2 vega si può coprire comprando un opzione su dax o sul cac40 per l'esposizione alla correlazione prendere una esposizione opposta su un altra opzione multiasset è molto difficile. il rischio di correlazione e il fatto che sia molto difficile da coprire (molto importante: ricordatelo!) induce i trader a essere molto conservativi nel definire gli imput di correlazione nel prezzare un opzione multiasset. ad esempio se un trader dovrà vendere un opzione basket sul dax e il cac40 (posizione è ribassista sulla correlazione) e egli pensa che la correlazione giusta da immettere nel pricing sia 0.62 molto probabilmente immetterà una correlazione maggiore (più prudente); in questo modo ha un cuscinetto che lo copre dal fatto che essa possa essere sbagliata o dal fatto che essa, anche se giusta, inizi a salire dopo la vendita (ricorda che non ci riesce a coprire sulla correlazione) PERCIO' una parte rilevante dello spread bid-ask richiesto nelle opzioni multiasset spesso deriva dallo spread bid-ask nella correlazione implicita.

Answer 144

si può misurare con un "correlation delta" che misura l'impatto sulla posizione di un cambio molto piccole di tutte le coppie di correlazioni. spesso però non tutte le coppie di correlazioni sono ugualmente rilevanti e perciò si fanno anche simulazioni con shock applicati solo alle correlazioni che pesano di più o con shock maggiori applicati a quelle. ad esempio se si ha un best option su 3 rendimenti e dopo 1 mese i rendimenti sono di 15%, 18% e -15% è chiaro come l'unica correlazione che ancora ci interessa è quella tra i primi 2 titoli che sono gli unici ancora " in gara" per contendersi il rendimento migliore (nota che ciò vale anche per il delta)

Answer 145

oltre al rischio di correlazione, nelle opzioni multi-asset anche il segno del cross-gamma può risultare molto importante. il cross- gamma è il cambio del delta di un asset Y guidato dalla variazione di prezzo di un asset X, dunque il cross gamma di x su y ad esempio è APPROSSIMATO dal rapporto tra la variazione di delta di y osservata a seguito di una variazione del prezzo di X e questa variazione stessa. si possono infatti verificare situazioni in cui, per il cross-gamma, il delta di un indice si muove nonostante il prezzo dell'indice rimanga invariato.

Answer 146

dimostriamolo con questo esempio: consideriamo la posizione di un trader che vende una basket call sul DAX e sul FTSE MIB in cui il payoff è dato dalla loro media semplice se positiva moltiplicata per un nozionale di 10.000. di fatto alla data di emissione è come se l'opzione fosse ATM siccome se il prezzo dei 2 indici chiudesse a quello iniziale i 2 rendimenti, e quindi la loro media, sarebbe nulla (opzione atm); perciò alla data di emissione il delta sarà circa 50% (assumiamo per semplicità che sia esattamente 50%) e il delta equivalent del venditore sarà -5000 (-50%*100000) e quello del compratore 5000 (quello del venditore è negativo perchè sta vendendo una call): inoltre questo 5000 si potrebbe splittare a metà tra i 2 indici (2500 a testa: ovvero ho più o meno lo stesso rischio che avessi se comprassi/vendessi 2 posizioni di 2500 euro sul dax e ftse mib) perchè essi contribuiscono ugualmente al payoff della call siccome la media è una media semplice. l'opzione non sarebbe più ITM perchè al momento il rendimento medio dei 2 indici è 7.5% (superiore a 0%) e perciò l'opzione è ITM e il delta sarà sicuramente maggiore del 50% (ipotizziamo per semplicità che è il 60% pari a quindi un delta equivalent di 6000 euro. per capire come dividere il delta equivalente facciamoci questa domanda: se domani il dax facesse l'1% e il ftse mib lo 0% o viceversa il valore dell'opzione sarebbe diverso? la risposta è NO perchè in entrambi i casi il rendimento medio passerebbe da 7.5% a 8%: possiamo quindi concludere che sono esposto alla stessa maniera sui 2 indici e perciò il mio delta equivalent sarà SEMPRE splittato a metà e metà tra i 2 indici: sono equalmente sensibile alla variazione di domani dei 2 indici indipendentemente dalle variazioni di ieri. possiamo quindi concludere che il dleta equivalent di 6000 sarà splittato per 3000 sul dax e 3000 sul ftse mib. ciò comporta che se anche il prezzo del ftse mib non è cambiato in questi 15 giorni (rendimento nullo) il suo delta ha subito una variazione di 500 (è passato da 2500 a 3000). questo è un effetto diretto del CROSS-GAMMA: il cross gamma del dax sul ftse mib è pari al rapporto tra la variazione di delta del ftse mib (500) e la variazione di prezzo del dax. esso è positivo per l'acquirente in quanto entrambe le variazioni (a numeratore del delta del ftse mib e a denominatore del di prezzo del dax) per lui sono positive e negativo per il venditore (per il quale il delta del ftse mib diminuisce di 500 e non aumenta in quanto l'opzione diventata ITM lui la sta vendendo). se avessimo considerato un opzione best all'inizio il delta sarebbe stato spalmato a metà e metà sui due indici ma dopo 2 settimane il dax sarebbe risultato un candidato molto più papabile ad aver il miglior rendimento e perciò l'acquirente della best sarebbe stato molto più sensibile al dax che al ftse mib: il delta equivalent del dax dunque sarebbe stato molto maggiore della metà e quello del ftse mib minore. dunque all'aumentare del prezzo del dax il delta del ftse mib sarebbe calato per l'acquirente e cresciuto per il venditore: perciò, oppositamente a quanto accadeva per la basket, il cross gamma dell'acquirente sarebbe stato negativo e quello del venditore positivo.

Answer 147

è importante perchè ci fa capire come il delta di un asset non dipenda solo dal suo gamma ma anche da tutti i cross-gamma: nota l'importanza del cross-gamma è tanto maggiore quanto maggiore è il numero di asset sottostanti ( se ho ad esmpio dieci titoli il delta di 1 dipenderà dal suo gamma e da BEN 9 cross-gamma: l'effeto dei cross-gamma sarà probabilmente maggiore di quello del gamma). per un trader avere il cross-gamma a proprio favore fa moltissima differenza in termini di profitti. per capire che segno è preferibile ricordiamoci un attimo del gamma: il gamma era sempre preferibile averlo positivo perchè in questo modo il delta si muoveva automaticamente nella giusta direzione (aumenta se il prezzo sale e scende se il prezzo scende). possiamo quindi intuire che quale gamma è preferibile DIPENDE dalla correlazione dei 2 asset sottostanti: - se la loro correlazione è positiva allora all'aumentare del prezzo di un asset anche quello dell'altro tende ad aumentare e quindi un cross gamma positivo è preferibile perchè esso implica che il delta di b aumenta all'aumentare del prezzo di a e siccome il prezzo di a e b tendono a muoversi insieme allora è anche probabile che il delta di b aumenti all'aumentare del prezzo di b (ovvero nella direzione che desideriamo). - se la correlazione è negativa un cross-gamma negativo è desiderabile per il ragionamento opposto

Answer 148

- sono generalmente più complesse delle esotiche single-asset - possono diventare molto complesse se combinano più caratteristiche esotiche - è importante capire bene tutti i rischi (rischio di correlazione, cross gamma ecc..) e ricordarsi che questi rischi sono MOLTO PIU' DIFFICILI da coprire dei classici delta, gamma theta ecc..

Answer 149

è un bond il cui payoff dipende dalla performance di un azione/indice azionario o da un portafoglio di azioni/indici azionari. spesso essi garantiscono protezione del capitale ovvero il rimborso del capitale a scadenza. le complessità dei questi strumenti variano molto a second del tipo di strumento e in particolare a seconda del tipo di payoff (ad es. lineari e non) e la regolamentazione su questi tipi di prodotti varia molto a seconda dello stato in cui ci troviamo. in ogni caso è fondamentale cercare di disegnare un prodotto adatto alle caratteristiche dell'investitore e atto a soddisfare i suoi bisogni principali. il tipo di ELBs che possono essere creati in un dato momento dipende fortemente dal LIVELLO DEI TASSI DI INTERESSE. alcuni esempi: - ELB di prima generazione: metà anni 90: situazione di tassi alti -ELB di seconda generazione: dai 2000 con situazione di tassi bassi - reverse convertibles (fine anni 90, poi scomparsi) inoltre il tipo di prodotti emessi dovrebbe anche dipendere dall'evoluzione dei bisogni del potenziale investitore. -equity-linked bonds emessi da banche (primi anni 90) -equity/index-linked assicurazione sulla vita emesse da compagnie assicurative (metà anni 90) -reverse convertibles (fine anni 90) -certificates emessi da banche (ancora ad oggi) - capire come questi strumenti possano essere decomposti in blocchi - capire come questi blocchi possano essere valutati - imparare come identificare i fattori chiave a cui gli investitori e gli emittenti sono esposti - capire le basi del processo di strutturazione

Answer 150

il payoff del bond a scadenza sarà pari a 100+( il massimo tra il rendimento dell'indice nei 3 anni e 0, il tutto moltiplicato per 100). la banca probabilmente però non vorrà avere tra gli attivi uno strumento di questo tipo che è legato al rendimento azionario e non è in linea con la natura dei suoi passivi, perciò essa vorrà probabilmente coprire il rischio legato alla performance azionaria. per farlo dobbiamo capire come si può smontare l'ELB e quindi come la banca può replicare la posizione: la prima componente del payoff (rimborso del capitale di 100) si può replicare comprando un bond zero-coupon con rimborso pari a 100 mentre la seconda si può replicare con un call europea sul rendimento percentuale dell'indice azionario. assumendo che il tasso risk-free sia del 12% (molto alto; erano i tassi che c'erano in italia a inizio anni 90) il prezzo dello zero-coupon sarà pari a 71.18 (attualizzazione di 100 al risk-free) e questo vuol dire che se la banca vuole emettere l'ELB a 100 la call che deve comprare assieme allo zero-coupon bond deve costare meno di (100-71.18=28.82) affinchè la banca possa coprirsi senza registrare una perdita. Come possiamo calcolare il prezzo della call, assumendo una quotazione iniziale dell'indice azionario pari a 30.000? inanzitutto dividendo anche 0 per I0 e portando fuori I0 si può notare come l'opzione sia di fatto una semplice call europea con strike 30.000 il cui payoff è prima diviso per I0 (30.000) e poi moltiplicato per N (100.000); perciò il suo prezzo sarà pari al prezzo della call europea diviso per 30.000 e moltiplicato per 100.000. cosi facendo, ipotizzando un prezzo di 3.000 (stimato con black-and-scholes), si ottiene un prezzo della call pari a 28.81 che rende possibile alla banca emettere l'ELB a 100 (infatti cosi il prezzo dello zero-coupon più quello della call è 99.99) e la banca può emettere a 100 coprendosi e facendo un profitto di 0.01 (nota che nella realtà prezzano l'ELB o lo strutturano in modo tale che il margine da loro guadagnato sia molto maggiore). se i tassi calano il costo del prestito zero-coupon aumenta perchè il nozionale di 100 va scontato a un tasso minore, in particolare se i tassi scendono dal 12% al 10% il costo dello ZCB passerebbe da 71.18 a 79.38 e quindi a questo punto, per emettere l'ELB a 100 la call con cui completare la copertura dovrebbe costare al massimo 100-79.38= 20.62. tuttavia calcolando il nuovo costo della call si può vedere che si cala (perchè r cala e quindi cala anche il drift del titolo azionario) ma non scende cosi tanto come invece è stata la crescita del prezzo del bond. nell'esempio il costo della call passerebbe a 22.96 che è superiore ai soldi disponibili rimasti per la copertura dopo l'acquisto dello ZCB (20.92): i soldi disponibili (20.92) dopo l'acquisto dello ZCB coprono solo il 90% del costo della call. per riuscire a coprirsi comunque la banca potrebbe diminuire il costo da pagare per l'opzione da affiancare allo zcb in questi modi: - emettere un bond che garantisce il capitale più da non il 100% del rendimento dell'indice azionario ma il 90% (questa percentuale è detta partecipation rate; nota che al diminuire dei tassi il costo dello zcb aumenta sempre di più perciò il capitale disponibile per l'opzione diminuisce sempre di più e quindi allo stesso modo anche il partecipation rate diminuisce sempre di più) ,sempre se positivo. in questo modo quest'opzione call costerà il 90% di quella che pagava il 100% del rendimento. -introdurre un tetto al rendimento; ad es. se la cedola finale è pari al rendimento dell'indice, se positivo, TUTTAVIA se il rendimento dell'indice eccede il 20% la cedola finale rimane comunque fissa e pari al 20%: di fatto questa posizione è uguale all'acquisto di uno zcb più un bull spread (compro una call atm ovvero con strike pari al valore attuale dell'indice e vendo una call 20% OTM ovvero con strike superiore al valore attuale dell'indice del 20%). - emettere un bond che contiene delle opzioni diverse e più economiche (es. asiatiche,basket ecc) nota che un altra cosa che si faceva per ridurre il valore dell'opzione era allungare la scadenza: in questo modo infatti il costo del bond calava e quello della call aumentava tuttavia il primo calava più che linearmente mentre il secondo aumentava meno che linearmente.

Answer 151

il caso tipico è quello in cui ad es. per ogni 100 euro investiti il bond paga a scadenza (es. 7 anni): - il nozionale pari a 100 - una singola cedola finale pari a 100 (non 90% come prima: molto più allettante per l'investitore) moltiplicata per il massimo tra 0 e la media semplice dei rendimenti degli indici hang seng, dax e swiss market calcolati lungo la vita dell'ELB e prendendo per fare calcolo i fixings trimestrali (28 nell'esempio). in questo bond è incorporata un opzione call basket e asiatica: in questo modo riusciamo a ridurre la volatilità sia perchè è basket sia perchè è asiatica e quindi riduciamo anche il prezzo rispetto al caso della semplice call. questi 3 indici venivano spesso scelti perchè sono inidci di 3 paesi con valuta diversa e di 3 paesi che operano in settori molto diversi: questo fa si che essi siano molto poco correlati e questo fa si che il costo della call basket asiatica sia ancora minore. potrei aumentare la frequenza dei fixings mettendoli ad es. prima mensile e poi settimanali; in questo modo ridurrei ancora di più la volatilità e quindi anche il valore dell'opzione e perciò il suo prezzo. questa cosa è stato un grande driver per la diffusione delle asiatiche sul mercato.

Answer 152

dopo gli anni 90 con i tassi che diventavano sempre più bassi molti ELBs di prima generazione hanno cominciato a risultare infattibile e sono quindi stati creati degli ELBs di seconda generazione. un esempio di ELB seconda generazione che sono incominciati ad essere popolari in questo periodo sono i conditional coupon structure un esempio è un bond a 5 anni che, in una situazione di tassi all'1%, paga a scadenza un nozionale e che ogni anno paga: - un coupon pari al 3% (2% in più del tasso fornito sul mercato) se il prezzo di nessuna di 10 stocks è sceso sotto il 75% del prezzo iniziale - un coupon nullo (-1% rispetto al mercato) nel caso opposto. In questo caso conterà molto la correlazione che c'è tra i 10 indici (come emittente preferiscono che siano molto poco correlati e per questo motivo infatti questo tipo di ELB erano quasi sempre emessi con titoli molto diversi tra loro per ridurre il costo della copertura). sono combinate 5 opzioni DIGITALI, 1 per ogni anni, in cui ciò che le attiva è un opzione worst-barriera

Answer 153

Alcuni ELBs di seconda generazione non incorporano la protezione del capitale (ovvero non garantiscono il capitale a scadenza). La posizione può essere scomposta affiancando alla posizione long sul titolo, l’acquisto di una call con strike 100 e la vendita di 2 call con strike 110. Infatti fino a 100 il payoff dell’ELB è uguale a quello della posizione in cui si compra solo il titolo mentre dopo 100 il payoff varia. In particolare la call comprata con strike 100 serve per raddoppiare la pendenza del payoff tra 100 e 110; infatti in questo modo ho un doppia posizione rialzista sul titolo; una data dalla posizione long sul titolo e una data dall’acquisto della call. Le 2 call vendute invece mi permetteranno di bloccare il payoff dopo 120: in particolare una servirà a cappare il payoff della posizione long sul titolo e una a cappare la posizione long sulla call. La call comprata, essendo ATM e non OTM come le 2 vendute costerà di più, tuttavia siccome ne vendo 2 i premi ricevuti per la vendita della call mi dovrebbero bilanciare il costo del premio pagato per quella comporta e quindi potrei riuscire a continuare a emettere l’ELB a 100 riuscendomi a coprire (pagando 100 per l’acquisto del titolo e ricevendo 2 premi per le call vendute in totale maggiori rispetto al premio pagato per la call comprata).

Answer 154

Un esempio sono i reverse convertibles che sono stati emessi pesantemente in molti paesi verso la fine degli anni 90’ (durante la bolla di internet) e in parte negli anni del 2007 e 2008. In questi bond il compratore può ricevere degli stock al posto che il valore del nozionale a scadenza, esattamente come accade per un titolo convertibile, tuttavia al contrario di quest’ultimo in questi l’opzione di convertire non è di chi compra il titolo ma di chi lo emette (e perciò la conversione accade quando l’investitore non lo vorrebbe ovvero quando il prezzo del titolo sottostante cade sotto a un certo prezzo: per questo è detto reverse convertibles. Per fortuna in italia i reverse convertibles sono ormai scomparsi dopo aver creato grandi perdite agli investitori.

Answer 155

Per l’investitore la posizione sarà uguale all’acquisto di uno zero-coupon bond con nozionale 100 più la vendita di una put con strike 20 usd sul titolo. Per questo motivo il tasso cedolare è molto più alto di quello del mercato (10% contro 1,5%) ovvero perché il coupon non solo il tasso risk free ma anche il premio che l’emittente deve figurativamente pagare all’emittente per la put da lui venduta. In un secondo momento, viene imposta anche un'altra condizione affinchè ci sia la conversione finale in azioni e non il pagamento del nozionale: in particolare viene imposto che oltre ad esserci la condizione che il prezzo finale del titolo sia sotto a un certo prezzo (20 nell’esempio) ci sia anche la condizione che il titolo deve avere raggiunto almeno un volta un prezzo più basso (ad esempio 16) durante la vita dell’opzione: in questo modo la put che l’investitore vende figurativamente all’emittente non è più una semplice europea ma è un esotica knock in put e quindi costa meno di quella europea, perciò anche il premio da aggiungere al tasso riskfree sarà minore e quindi anche il tasso cedolare applicato (es. 8% contro 10%). Nota che se il prezzo chiude sotto 16 sicuramente le due condizioni saranno rispettate.

Answer 156

Quando si struttura o si compra un ELB è fondamentale capire al 100% l’esposizione a cui ci si espone in relazione a: - La direzione del mercato azionario (quasi tutti i prodotti sono bullish sul mercato azionario) - La/le volatilità implicita/e - La correlazione (se l’opzione è multiasset) Nel processo di distribuzione è fondamentale assicurarsi che l’intero profilo di rischio è capito dall’investitore. Anche il rischio di credito dell’emittente può rivelarsi sicuramente fondamentale e va valutato (es. pensa a un ELB emesso da lehman brother nel 2007)

Answer 157

L’investore è bullish sulla volatilità nel primo caso e bearish nel secondo; al contrario l’emittente (banca di investimento) avrà esposizione opposta essendo il venditore e non l’acquirente dell’ELB.

Answer 158

L’investitore sarà bullish sulla correlazione nel primo caso perché se aumenta la correlazione aumenta anche il valore della basket call. Sarà invece bearish sulla correlazione nel secondo caso perché se aumenta la correlazione diminuisce il valore della call sul best asset e sarà bullish sulla correlazione nel terzo caso in quando se aumenta la correlazione essi si muovono più insieme e aumenta la probabilità che nessuno dei 10 titoli cada sotto il 75%.

Answer 159

Quando una banca x emette un ELB per i suoi investitori quasi mai fa tutto da sola ma molto spesso si appoggia a un investment bank soprattutto se si tratta di una banca piccola (es. banca regionale italiana o tedesca). L’ELB può essere scomposto in uno ZCB e in un opzione basket ATM su 3 indici azionari. Una semplice banca regionale fa molta fatica a gestire posizioni di questo tipo (opzioni europee ancora ancora ma asiatiche molto difficilmente) perciò spesso decide di appoggiarsi a una banca di investimento e seguire uno di questi 2 processi di strutturazione: - nel primo, il più semplice, la banca emittente emette a 100 l’ELB al cliente e quindi riceve 100 dal cliente e gli da in cambio l’ELB che ha un payoff pari a quello di uno ZCB (ipotizziamo che costa 97) e di un opzione basket (ipotizziamo che costa 3); dopdichè siccome la banca emittente non sa gestire l’opzione basket da il suo premio (3) alla banca di investimento che invece la sa gestire e che gli promette di garantirgli il payoff dell’opzione a scadenza che poi la banca emittente girerà al cliente assieme ai 100 euro ricavati dallo ZCB. Dunque, in questo modo, per la banca emittente dell’ELB emetterlo sarà EQUIVALENTE a emettere uno ZCB: infatti alla scadenza la banca emittente pagherà al cliente 100+ il payoff dell’opzione che può essere o nullo oppure positivo e in questo caso sarà la banca di investimento che dovrà darlo all’emittente che a sua volta lo girerà al cliente. - Nel processo di strutturazione appena analizzato vi è un problema: infatti quasi tutte le banche commerciale hanno nell’attivo molte più poste (in particolare prestiti) a tasso variabile che poste a tasso fisso e perciò preferirebbero avere delle poste a tasso variabile anche nel passivo per bilanciare. Per questo motivo spesso (è il caso tipico) si procede con un processo più strutturazione leggermente più complicato di quello precedente: piuttosto che pagare subito alla banca di investimento il premio dell’opzione (3 nell’esempio) la banca emittente può mettersi d’accordo con la banca di investimento per pagare una serie di pagamenti legati a un tasso variabile il cui valore attuale sia 3; ovvero la banca emittente paga alla banca di investimento dei pagamenti semi annuali pari a euribor +- x dove x è fissato in modo tale che il valore attuale di tutti i pagamenti dovuti sia pari al premio dell’opzione (3). In questo modo per la banca emittente emettere l’ELB sarà EQUIVALENTE a emettere un titolo a tasso variabile che paga un coupon periodico pari a +- x: infatti all’inizio la banca emittente prende 100 dal cliente poi ogni semestre dovrà pagare un flusso pari a euribor +- x alla BI e a scadenza dovrà ripagare 100 al cliente. Ma in questo modo il prestito a tasso variabile lo fa a un tasso più baso rispetto a quello di mercato e ciò è finanziato dl titolo fatto al cliente. In questo caso di fatto la banca emittente e la banca di investimento stipulano un EQUITY SWAP.

Answer 160

È uno swap in cui una delle 2 gambe è legata al mercato azionario: ad esempio abbiamo visto che nel secondo tipo di processo di strutturazione la banca emittente dell’ELB e la banca di investimento si scambiano un equity swap in cui la banca emittente paga flussi pari a euribor +- x e la banca di investimento paga il payoff finale dell’opzione che dipendeva dal mercato azionario in quanto era la media semplice, se positiva, di 3 indici azionari. Si può valutare come sempre si fa negli swap ovvero uguagliando il valore attuale delle due gambe: il valore attuale della gamba corta per l’emittente si trova calcolando il PV di una standard floating leg di uno swap sull’Euribor (stimando i tassi forward euribor e attualizzando a quelli ois) mentre per la gamba lunga la valutazione dell’opzione esotica è più complicata. Tuttavia il caso appena analizzato non è il caso standard e più semplice di equity-swap: il caso più facile è quello in cui i cashflow pagati dalle 2 controparti sono semplicemente: euribor +- x da una parte e rendimento di un indice azionario (sia se positivo che negativo) dall’altra (quindi ad es. con x= 0% ed euribor=2% se il rendimento dell’indice è 10% allora a deve pagare a b 8%, se è -5% allora b deve pagare ad a 7%). Questo equity swap standard è usato tantissimo da chi vuole prendere posizione a leva su un indice azionario (ovvero prendere soldi a prestito e investire nell’indice): infatti chi vuole fare ciò ha 2 alternative possibili: - La prima è prendere effettivamente dei soldi in prestito e investirli nell’indice. Tuttavia, in questo caso chi presta soldi all’individuo ha molto rischio perché potrebbe effettivamente perdere tutti i soldi prestati e quindi gli applicherà uno spread abbastanza alto. - La seconda è entrare in un equity swap in cui paga il tasso euribor +- x e riceve il rendimento dell’indice; in questo caso la controparte ha molto meno rischio di credito perché ce l’ha solo sui pagamenti che sono di euribor +- x e quindi o spread applicato all’investitore che vuole andare a leva è molto più BASSO.

Answer 161

I prodotti di investimento passivi sono quelli in cui non si cerca di battere un indice azionario ma si cerca solo di replicare le sue performance e perciò richiedono commissioni molto più basse. Nei fondi passivi ogni giorno un investitore che detiene le sue quote può venderle o comprarne delle nuove a un prezzo pari al NAV del fondo che è il valore di una quota calcolato giornalmente; al contrario negli etf chi vuole vendere o comprare quote del fondo deve negoziarle sul mercato a un prezzo che può anche differire dal nav e che dipende da domanda e offerta (più il mercato è liquido e più il prezzo sarà vicino al NAV). Il fatto che negli etf l’investitore non possa ritirare i suoi soldi vendendo semplicemente le sue quote al NAV rende l’ammontare di fondi in un etf più stabile (non, comunque, pienamente stabile perché ci sono alcuni investitori istituzionali, detti partecipanti autorizzati, che possono comunque investire o disinvestire fondi extra: accreation/redemption in kind) di quello di un fondo e ciò consente di fare strategie passive più difficili da fare se la gente entra ed esce continuamente. In particolare, gli etf passivi che vogliono replicare la performance di un indice possono scegliere tra queste 2 strategie: - Replicazione fisica: in cui uso le quote del fondo per comprare le azioni dell’indice con gli stessi pesi dell’indice che aggiusto quando l’indice varia; chiaramente in questo modo i pesi non saranno mai perfettamente uguali a quelli dell’indice e quindi la replica non è proprio perfetta. - Replicazione sintetica: in questo caso il fondo entra in uno equity swap in cui esso paga euribor e riceve il rendimento dell’indice azionario, dove i soldi da usare per pagare euribor sono ricavati da un investimento in bond indicizzati a euribor comprati dal fondo con le sue quote. In questo modo la replica è molto migliore di quella fatta con replicazione fisica tuttavia in questo ho più rischio di credito (perché lo ho anche sullo swap: se la società di gestione dell’etf fallisce mi ritrovo con un investimento a tasso variabile e con uno swap con una controparte che può anch’essa fallire. Per questo motivo di solito lo swap viene fatto con una banca di alto standing e con un sistema di collateral dietro) rispetto a caso della replicazione fisica in cui se la società di gestione dell’etf fallisce i detentori delle quote hanno diritto a prendere una percentuale delle azioni che l’etf aveva comprato per replicare l’indice. Dunque, la crescita forte dei fondi passivi e degli ETF ha contribuito MOLTO alla diffusione sul mercato degli equity swap che, come abbiamo visto, sono fondamentali nel processo di replicazione sintetica.

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