Differenzialrechnung Flashcards
(71 cards)
1
Q
Wie berechnet man den Anstiegswinkel einer Funktion?
A
tan a = delta y / delta x
2
Q
Wie wird die Funktion verschoben:
y = x2 + a
A
- a > 0: in y-Richtung nach oben
- a < 0: in y-Richtung nach unten
3
Q
Wie wird die Funktion verschoben:
y = a * x2
A
- 0 < |a| < 1: Stauchung in y-Richtung
- |a| > 0: Streckung in y-Richtung
- zusätzlich bei a < 0: Spiegelung an der x-Achse
4
Q
Wie wird die Funktion verschoben:
y = (x + a)2
A
- a > 0: Verschiebung entlang der x-Achse nach links
- a < 0: Verschiebung entlang der x-Achse nach rechts
5
Q
Wie berechnet man den Grenzwert bei gebrochenrationalen Funktionen?
A
- man klammert die höchste Potenz aus und kürzt sie
- danach Limes davor schreiben
6
Q
Wie bekommt man die schräge Asymptote einer Funktion?
A
Grenzwertberechnung von gebrochenrationalen Funktionen => alle Teile wo x unter dem Bruchstrich steht (oben und unter dem großen Bruchstricht) weglassen, was übrig bleibt ist die Funktion der schrägen Asymptote
7
Q
Was ist das für eine Funktion?
A
1/x
8
Q
Was ist das für eine Funktion?
A
1/x²
9
Q
Was ist das für eine Funktion?
A
cos x
10
Q
Was ist das für eine Funktion?
A
ex
11
Q
Was ist das für eine Funktion?
A
e-x
12
Q
Was ist das für eine Funktion?
A
ln x
13
Q
Was ist das für eine Funktion?
A
sin x
14
Q
Was ist das für eine Funktion?
A
√x
15
Q
Was ist das für eine Funktion?
A
x
16
Q
Was ist das für eine Funktion?
A
x2
17
Q
Was ist das für eine Funktion?
A
x3
18
Q
Wie sieht diese Funktion aus:
1 / x
A
19
Q
Wie sieht diese Funktion aus:
1 / x2
A
20
Q
Wie sieht diese Funktion aus:
cos x
A
21
Q
Wie sieht diese Funktion aus:
ex
A
22
Q
Wie sieht diese Funktion aus:
e-x
A
23
Q
Wie sieht diese Funktion aus:
ln x
A
24
Q
Wie sieht diese Funktion aus:
sin x
A
25
Wie sieht diese Funktion aus:
## Footnote
**√x**
26
Wie sieht diese Funktion aus:
## Footnote
**x**
27
Wie sieht diese Funktion aus:
## Footnote
**x2**
28
Wie sieht diese Funktion aus:
## Footnote
**x3**
29
Wie gibt man **zusammengesetzte Funktionen** im TR ein?
y1 = x2,[0,1]
y2 = x,[1,4]
30
Was meint man mit:
lim
x ^ xo
Limes von links gegen x0
31
Was meint man mit:
lim
x v x0
Limes von rechts gegen x0
32
Wann ist eine Funktion **stetig**?
* wenn der **Grenzwert** bei **x0 **existiert
* Wenn dieser Wert auch der **Funktionswert** an dieser Stelle ist
33
Wann hat eine Funktion eine **Sprungstelle**?
Wenn der Grenzwert von **links und rechts** an **x0** nicht gleich ist.
34
Wann hat eine Funktion eine **Lücke**?
Wenn der Grenzwert gegen **x0** nicht existiert.
35
Was gilt für die **Stetigkeit** einer Funktion, wenn diese eine **Polstelle** besitzt?
Trotzdem **stetig über dem Definitionsbereich**.
36
Was ist der **Anstieg** der **Sekante** in einem **s-t-Diagramm**?
Die **Durchschnittsgeschwindigkeit**
37
Wie berechnet man den **Tangentenanstieg** aus dem **Sekantenanstieg**?
38
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**x2**
2x
39
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**mx+n**
m
40
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**√x**
1 / (2√x)
41
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**1 / x**
-1 / x2
42
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**ex**
ex
43
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**ln x**
1 / x
44
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**log2x**
log2x = ln x / ln 2 = (**1 / ln 2) \* _ln x_**
## Footnote
**==\> (1 / ln 2) \* _1 / x_**
45
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**sin x**
cos x
46
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**cos x**
-sin x
47
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**-sin x**
-cos x
48
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**-cos x**
sin x
49
Wie leitet man nach der **Produktregel** ab?
f(x) = u(x) \* v(x)
f'(x) = u'(x) ∗ v(x) + u(x) ∗ v'(x)
50
Wie leitet man nach der **Kettenregel** ab?
f(x) = u(v(x))
f'(x) = u'(v(x)) ∗ v'(x)
*äußere Ableitung ∗ innere Ableitung*
51
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**sin x \* cos x**
u(x) = sin x | v(x) = cos x
**cos x** ∗ cos x + sin x ∗ **(-sin x)**
52
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**x5 ∗ ln x**
u(x) = x5 | v(x) = ln x
**5x4** ∗ ln x + x5 ∗ **(1 / x)**
*vereinfacht: 5x4 ∗ ln x + x4*
53
Leite folgende Funktion ab:
## Footnote
**(4x + 2)2**
u(x) = z2 | v(x) = 4x+2
**2(**4x + 2**)** ∗ **4**
54
Wie berechnet man den **Anstieg** einer **Normalen**?
mn = -1 / mt
*mt - Anstieg der Tangente an der Stelle = f'(x)*
55
Wie erstellt man eine **Tangentengleichung** einer **Tangente** an der Funktion **f(x)** und der Stelle **x0**?
* Zielfunktion: **y=mx+n**
* Man leitet die Funktion ab und setzt x0 ein =\> **m**
* man setzt das **m** in die **Zielfunktion** ein und nimmt für **x & y =\> x0 & f(x0)**
* nach **n** umstellen =\> **n**
* **m** und **n** in die **Zielfunktion** einsetzen =\> **Tangentengleichung**
56
Wie berechnet man den **Steigungswinkel** einer **Tangentengleichung**?
tan-1(m)
57
Wie berechnet man die **Tangente** von einem **Punkt außerhalb** der Funktion?
* man setzt das **Steigungsdreieck (siehe Bild)** mit der **ersten Ableitung f'(a)** gleich
* für **x** und **y** setzt man die **Koordinaten des Punktes** ein
* danach Solver oder nach **a** umstellen
* die **a-Werte** sind dann die **x-Koordinaten** der Punkte, an der die **Tangenten** auf die **Funktion** treffen
* zum Schluss **Anstiege** der Tangenten berechnen =\> Rest wie gewohnt
58
Wie findet man die **Anschlussstelle** zweier Funktionen?
Man setzt die **erste Ableitung** beider Funktionen gleich.
*Im gemeinsamen Punkt haben beide Funktionen logischerweise den gleichen Anstieg*
59
Wann ist ein Graph **achsensymmetrisch** zur **y-Achse**?
**f(-x) = f(x)**
60
Wann ist ein Graph **punktsymmetrisch** zum **Koordinatenursprung**?
**f(-x) = -f(x)**
61
Wann ist ein Graph **achsensymmetrisch** zu einer **parallelen zur y-Achse**
*für die Parallele gilt: x = a*
**f(a-x) = f(a+x)**
*im Bild ist x0 = a*
62
Wann ist ein Graph **punksymmetrisch** zu einem **beliebigen Punkt**?
*Für den Punkt gilt: P(a/b)*
**f(a-x)-b = -[f(a+x)+b]**
*Auf dem Bild ist x0 = a*
63
Welche **Bedingungen** gelten für einem **Extrempunkt**?
* f'(x) = 0 *(**notwendige** Bedingung)*
* f''(x) ≠ 0 *(beides zusammen: **hinreichende** Bedingung)*
64
Welche **Bedingungen** gelten für ein **Minimum**?
* muss Extrempunkt sein
* f''(x) \> 0
65
Welche **Bedingungen** gelten für ein **Maximum**?
* f'(x) = 0
* f''(x) \< 0
66
Welche **Bedingungen** gelten für einen **Wendepunkt**?
* f''(x) = 0 *(notwendige Bedingung)*
* f'''(x) ≠ 0 *(beides zusammen: hinreichende Bedingung)*
67
Wann ist ein **Wendepunkt** ein **Sattelpunkt**?
Wenn **f'(x) = 0**
68
Wie **rekonstruiert** man **Funktionen**?
* Man schaut sich die Eigenschaften der Zielfunktion an, die durch die Aufgabe vorgegeben sind (müssen bei Funktionen n-ten Grades insgesamt n+1 Eigenschaften sein)
* Die erste und zweite Ableitung der Funktion aufstellen (bei 3. Grad ist die Funktion ax3+bx2+cx+d, etc.)
* Die nötigen Eigenschaften mit den aufgestellten Funktionen beschreiben und in ein Gleichungssystem setzen
* Gleichungssystem lösen (Equa-Menü)
69
Wie löst man **Extremwertprobleme**?
* Zielfunktion aufstellen (was soll extremal werden?)
* Nebenbedingungen finden, sodass nur noch 1 Unbekannte rechts in der Zielfunktion steht
* Extremum in der Funktion finden (je nach Operator)
* Auf lokale Extrema und Nebenbedingungen achten (Intervall, etc.)
70
Wie berechnet man eine **Ortskurve**?
* Koordinaten des besonderen Punktes in Abhängigkeit des Parameters berechnen
* x-Koordinaten nach Parameter umstellen
* Parameter in y-Koordinate einsetzen =\> fertig
*(nochmal im Hefter anschauen)*
71
Leite folgende Funktion ab:
e-x
-e-x
