Differenzialrechnung Flashcards Preview

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Flashcards in Differenzialrechnung Deck (71)
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1
Q

Wie berechnet man den Anstiegswinkel einer Funktion?

A

tan a = delta y / delta x

2
Q

Wie wird die Funktion verschoben:

y = x2 + a

A
  • a > 0: in y-Richtung nach oben
  • a < 0: in y-Richtung nach unten
3
Q

Wie wird die Funktion verschoben:

y = a * x2

A
  • 0 < |a| < 1: Stauchung in y-Richtung
  • |a| > 0: Streckung in y-Richtung
  • zusätzlich bei a < 0: Spiegelung an der x-Achse
4
Q

Wie wird die Funktion verschoben:

y = (x + a)2

A
  • a > 0: Verschiebung entlang der x-Achse nach links
  • a < 0: Verschiebung entlang der x-Achse nach rechts
5
Q

Wie berechnet man den Grenzwert bei gebrochenrationalen Funktionen?

A
  • man klammert die höchste Potenz aus und kürzt sie
  • danach Limes davor schreiben
6
Q

Wie bekommt man die schräge Asymptote einer Funktion?

A

Grenzwertberechnung von gebrochenrationalen Funktionen => alle Teile wo x unter dem Bruchstrich steht (oben und unter dem großen Bruchstricht) weglassen, was übrig bleibt ist die Funktion der schrägen Asymptote

7
Q

Was ist das für eine Funktion?

A

1/x

8
Q

Was ist das für eine Funktion?

A

1/x²

9
Q

Was ist das für eine Funktion?

A

cos x

10
Q

Was ist das für eine Funktion?

A

ex

11
Q

Was ist das für eine Funktion?

A

e-x

12
Q

Was ist das für eine Funktion?

A

ln x

13
Q

Was ist das für eine Funktion?

A

sin x

14
Q

Was ist das für eine Funktion?

A

√x

15
Q

Was ist das für eine Funktion?

A

x

16
Q

Was ist das für eine Funktion?

A

x2

17
Q

Was ist das für eine Funktion?

A

x3

18
Q

Wie sieht diese Funktion aus:

1 / x

A
19
Q

Wie sieht diese Funktion aus:

1 / x2

A
20
Q

Wie sieht diese Funktion aus:

cos x

A
21
Q

Wie sieht diese Funktion aus:

ex

A
22
Q

Wie sieht diese Funktion aus:

e-x

A
23
Q

Wie sieht diese Funktion aus:

ln x

A
24
Q

Wie sieht diese Funktion aus:

sin x

A
25
Q

Wie sieht diese Funktion aus:

√x

A
26
Q

Wie sieht diese Funktion aus:

x

A
27
Q

Wie sieht diese Funktion aus:

x2

A
28
Q

Wie sieht diese Funktion aus:

x3

A
29
Q

Wie gibt man zusammengesetzte Funktionen im TR ein?

A

y1 = x2,[0,1]

y2 = x,[1,4]

30
Q

Was meint man mit:

lim

x ^ xo

A

Limes von links gegen x0

31
Q

Was meint man mit:

lim

x v x0

A

Limes von rechts gegen x0

32
Q

Wann ist eine Funktion stetig?

A
  • wenn der Grenzwert bei x0 existiert
  • Wenn dieser Wert auch der Funktionswert an dieser Stelle ist
33
Q

Wann hat eine Funktion eine Sprungstelle?

A

Wenn der Grenzwert von links und rechts an x0 nicht gleich ist.

34
Q

Wann hat eine Funktion eine Lücke?

A

Wenn der Grenzwert gegen x0 nicht existiert.

35
Q

Was gilt für die Stetigkeit einer Funktion, wenn diese eine Polstelle besitzt?

A

Trotzdem stetig über dem Definitionsbereich.

36
Q

Was ist der Anstieg der Sekante in einem s-t-Diagramm?

A

Die Durchschnittsgeschwindigkeit

37
Q

Wie berechnet man den Tangentenanstieg aus dem Sekantenanstieg?

A
38
Q

Leite folgende Funktion ab:

x2

A

2x

39
Q

Leite folgende Funktion ab:

mx+n

A

m

40
Q

Leite folgende Funktion ab:

√x

A

1 / (2√x)

41
Q

Leite folgende Funktion ab:

1 / x

A

-1 / x2

42
Q

Leite folgende Funktion ab:

ex

A

ex

43
Q

Leite folgende Funktion ab:

 ln x

A

1 / x

44
Q

Leite folgende Funktion ab:

log2x

A

log2x = ln x / ln 2 = (1 / ln 2) * ln x

==> (1 / ln 2) * 1 / x

45
Q

Leite folgende Funktion ab:

sin x

A

cos x

46
Q

Leite folgende Funktion ab:

cos x

A

-sin x

47
Q

Leite folgende Funktion ab:

-sin x

A

-cos x

48
Q

Leite folgende Funktion ab:

-cos x

A

sin x

49
Q

Wie leitet man nach der Produktregel ab?

f(x) = u(x) * v(x)

A

f'(x) = u'(x) ∗ v(x) + u(x) ∗ v'(x)

50
Q

Wie leitet man nach der Kettenregel ab?

f(x) = u(v(x))

A

f'(x) = u'(v(x)) ∗ v'(x)

äußere Ableitung ∗ innere Ableitung

51
Q

Leite folgende Funktion ab:

sin x * cos x

A

u(x) = sin x | v(x) = cos x

cos x ∗ cos x + sin x ∗ (-sin x)

52
Q

Leite folgende Funktion ab:

x5 ∗ ln x

A

u(x) = x5 | v(x) = ln x

5x4 ∗ ln x + x5(1 / x)

vereinfacht: 5x4 ∗ ln x + x4

53
Q

Leite folgende Funktion ab:

(4x + 2)2

A

u(x) = z2 | v(x) = 4x+2

2(4x + 2) 4

54
Q

Wie berechnet man den Anstieg einer Normalen?

A

mn = -1 / mt

mt - Anstieg der Tangente an der Stelle = f'(x)

55
Q

Wie erstellt man eine Tangentengleichung einer Tangente an der Funktion f(x) und der Stelle x0?

A
  • Zielfunktion: y=mx+n
  • Man leitet die Funktion ab und setzt x0 ein => m
  • man setzt das m in die Zielfunktion ein und nimmt für x & y => x0 & f(x0)
  • nach n umstellen => n
  • m und n in die Zielfunktion einsetzen => Tangentengleichung
56
Q

Wie berechnet man den Steigungswinkel einer Tangentengleichung?

A

tan-1(m)

57
Q

Wie berechnet man die Tangente von einem Punkt außerhalb der Funktion?

A
  • man setzt das Steigungsdreieck (siehe Bild) mit der ersten Ableitung f'(a) gleich 
  • für x und y setzt man die Koordinaten des Punktes ein
  • danach Solver oder nach a umstellen
  • die a-Werte sind dann die x-Koordinaten der Punkte, an der die Tangenten auf die Funktion treffen
  • zum Schluss Anstiege der Tangenten berechnen => Rest wie gewohnt
58
Q

Wie findet man die Anschlussstelle zweier Funktionen?

A

Man setzt die erste Ableitung beider Funktionen gleich.

Im gemeinsamen Punkt haben beide Funktionen logischerweise den gleichen Anstieg

59
Q

Wann ist ein Graph achsensymmetrisch zur y-Achse?

A

f(-x) = f(x)

60
Q

Wann ist ein Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung?

A

f(-x) = -f(x)

61
Q

Wann ist ein Graph achsensymmetrisch zu einer parallelen zur y-Achse

für die Parallele gilt: x = a

A

f(a-x) = f(a+x)

im Bild ist x0 = a

62
Q

Wann ist ein Graph punksymmetrisch zu einem beliebigen Punkt?

Für den Punkt gilt: P(a/b)

A

f(a-x)-b = -[f(a+x)+b]

Auf dem Bild ist x0 = a

63
Q

Welche Bedingungen gelten für einem Extrempunkt?

A
  • f'(x) = 0 (notwendige Bedingung)
  • f''(x) ≠ 0 (beides zusammen: hinreichende Bedingung)
64
Q

Welche Bedingungen gelten für ein Minimum?

A
  • muss Extrempunkt sein
  • f''(x) > 0
65
Q

Welche Bedingungen gelten für ein Maximum?

A
  • f'(x) = 0
  • f''(x) < 0
66
Q

Welche Bedingungen gelten für einen Wendepunkt?

A
  • f''(x) = 0 (notwendige Bedingung)
  • f'''(x) ≠ 0 (beides zusammen: hinreichende Bedingung)
67
Q

Wann ist ein Wendepunkt ein Sattelpunkt?

A

Wenn f'(x) = 0

68
Q

Wie rekonstruiert man Funktionen?

A
  • Man schaut sich die Eigenschaften der Zielfunktion an, die durch die Aufgabe vorgegeben sind (müssen bei Funktionen n-ten Grades insgesamt n+1 Eigenschaften sein)
  • Die erste und zweite Ableitung der Funktion aufstellen (bei 3. Grad ist die Funktion ax3+bx2+cx+d, etc.)
  • Die nötigen Eigenschaften mit den aufgestellten Funktionen beschreiben und in ein Gleichungssystem setzen
  • Gleichungssystem lösen (Equa-Menü)
69
Q

Wie löst man Extremwertprobleme?

A
  • Zielfunktion aufstellen (was soll extremal werden?)
  • Nebenbedingungen finden, sodass nur noch 1 Unbekannte rechts in der Zielfunktion steht
  • Extremum in der Funktion finden (je nach Operator)
  • Auf lokale Extrema und Nebenbedingungen achten (Intervall, etc.)
70
Q

Wie berechnet man eine Ortskurve?

A
  • Koordinaten des besonderen Punktes in Abhängigkeit des Parameters berechnen
  • x-Koordinaten nach Parameter umstellen
  • Parameter in y-Koordinate einsetzen => fertig

(nochmal im Hefter anschauen)

71
Q

Leite folgende Funktion ab:

 

e-x

A

-e-x