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Geometrie > Elemente > Flashcards

Elemente Flashcards

1
Q

Kongruenzsätze für Dreiecke
(5 Stück)

A
  • SSS
  • SWS
  • WSW
  • WWS
  • SSW(ggS)
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Q

Typen von Kongruenzabbildungen
(6 Stück)

A
  • Identität
  • (Achsen- bzw. Geraden) Spiegelung
  • Drehung
  • Punktspiegelung
  • Verschiebung
  • Schubspiegelung
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Q

(Achsen- bzw. Geraden) Spiegelung
(Kongruenzabbildung)

A

Definierende Elemente: Spiegelgerade
Eindeutig festgelegt durch: ein Punkt und dessen Bildpunkt

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4
Q

Drehung
(Kongruenzabbildung)

A

Definierende Elemente: Drehzentrum, Drehwinkel und -orientierung
Eindeutig festgelegt durch: zwei Punkte und deren Bildpunkte

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5
Q

Punktspiegelung
(Kongruenzabbildung)

A

Definierende Elemente: Spiegelzentrum
Eindeutig festgelegt durch: ein Punkt und desssen Bildpunkt

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6
Q

Verschiebung
(Kongruenzabbildung)

A

Definierende Elemente: Verschiebungsvektor
Eindeutig festgelegt durch: ein Punkt und dessen Bildpunkt

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7
Q

Schubspiegelung
(Kongruenzabbildung)

A

Definierende Elemente: Spiegelachse, Verschiebungsvektor
Eindeutig festgelegt durch: Zwei Punkte und deren Bildpunkte

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8
Q

Konstruktionsbeschreibung
Achsenspiegelung

A

Fälle das Lot von Punkt A auf die Spiegelachse und verdopple es. Am Ende liet der Bildpunkt A’. Verfahre genauso mit den Punkten B und C und verbinde die drei Bildpunkte.

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9
Q

Konstruktionsbeschreibung
Drehung

A

Zeichne eine Halbgerade vom Drehzentrum Z=(x/y) durch den Punkt A. Zeichne einen Kreisbogen mit Mittelpunkt Z, der durch A verläuft. Trage den Erstschenkel den Winkel …° an. Der Schnittpunkt dieses Zweitschenkels mit dem Kreisbogen ist der Bildpunkt A’. Verfahre genauso mit den Punkten B und C und verbinde die drei Bildpunkte.

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10
Q

Konstruktionsbeschreibung
Punktspiegelung

A

Zeichne die Strecke von Punkt A zum Spiegelzentrum Z=(x/y) und verdopple sie. Am Ende liegt der Bildpunkt A’. Verfahre genauso mit den Punkten B und C und verbinde die drei Bildpunkte.

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11
Q

Konstruktionsbeschreibung
Verschiebung

A

Trage den Verschiebungsvektor (“um … nach links/rechts und … nach oben/unten”) am Punkt A an. Am Ende liegt der Bildpunkt A’. Verfahre genauso mit den Puntkten B und C und verbinde die drei Bildpunkte.

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12
Q

Konstruktionsbeschreibung
Schubspiegelung

A

Fälle das Lot von Punkt A auf die Spiegelachse und verdopple es. An den Punkt am Ende trage den Verschiebungsvekto an. An dessen Ende liegt der Bildpunkt A’. Verfahre genauso mit Punkt B und C und verbinde die drei Bildpunkte.

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13
Q

allgemeingültige Strategie zur Herleitung einer Kongruenzabbildung aus Ur- und Bildpunkt

A
  1. Ur- und Bildpunkte verbinden
    -> Punktspiegelung und Verschiebung ausschließbar bzw. erkennbar
  2. Mittelsenkrechten (der Ur- und Bildpunktverbindungsstrecken) einzeichnen
    -> Drehung und Achsenspiegelung erkennbar oder auszuschließen
  3. Gerade konstruieren die durch die Mittelpunkte der Verbindungsstrecken geht
    -> Schubspiegelung?
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14
Q

Eigenschaften von Kongruenzabbildungen

A
  • geradentreu
  • längentreu
  • winkelmaßtreu
  • flächeninhaltstreu
  • parallelentreu
  • orientierungstreu/orientierungsverkehrend
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15
Q

Fixfigur

A

Eine Fixfigur bei einer Abbildung ist eine Figur, deren Bildfigur mit ihr übereinstimmt.

-> Alle Punkte einer Figur sind wieder auf dieser Figur abgebildet, aber nicht auf sich selbst

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16
Q

Fixpunktfigur

A

Eine Fixpunktfigur bei einer Abbildung ist eine Figur, bei der jeder Punkt Fixfigur ist.

-> jeder Punkt einer Abbildung wird wieder auf sich selber abgebildet

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17
Q

Hintereinanderausführung von Kongruenzabbildungen

A

Eine Hintereinanderausführung/eine Verknüpfung/das Produkt von zwei Abbildungen A1 und A2 (geschrieben A2°A1) bedeutet, dass auf jeden Punkt P der Ebene zunächst die Abbildung A1 angewandt wird und auf den dabei erhaltenen Bildpunkt P’ = A1(P) die Abbildung A2, um den eigentlichen Bildpunkt P’’ = A1(P’)= A2(A1(P)), d.h. A2°A1 = A2(A1(P)).

18
Q

Dreispiegelungssatz

A

Jede Kongruenzabbildung der Ebene kann durch ein Produkt von höchstens drei Spiegelungen ersetzt werden

  1. Zeichne Mittelsenkreche a der Strecke AA’’
  2. Spiegele das Dreieck ABC -> A°B°C° (A° ist gleich A’’)
  3. Zeichne die Mittelsenkrechte b der Strecke B°B’’
  4. Spiegele das Dreieck A°B°C° -> A’B’C’ (A’=A°=A’’ und B’=B’’)
  5. Zeichne die Mittelsenkrechte c der Strecke C’C’’
  6. Spiegele das Dreieck A’B’C’ -> A’‘B’‘C’’ (A’=A’’ und B’=B’’)
  7. Insgesamt ergibt sich S3(S2(S1(ABC)))=A’‘B’‘C’’
19
Q

Symmetriegruppe

A

Alle Deckabbildungen/Symmetrieabbildungen einer Figur zusammen bilden die Symmetriegruppe der Figur
Ikosaedergruppe: 60 Deckdrehungen
Oktaedergruppe: 24 Deckdrehungen
Tetraedergruppe: 12 Deckdrehungen
Diedergruppe Prisma, Anti-Prisma Deckdrehungen 2 x n

20
Q

Grundfigur
(Bandornament & Parkett)

A

Die Grundfigur eines Bandornaments/Parkettes ist die Fiugur, aus der das Bandornament durch Verschiebung erzeugt werden kann

21
Q

Welche Symmetrien treten bei Bandornamenten auf?

A
  • Verschiebungssymmetrie (Verschiebung in Richtung der Mittelachse)
  • Drehsymmetrie (Punktsymmetrie zu Punkten auf der Mittelachse)
  • Querspiegelungssymmetrie (Achsensymmetrie zu Loten auf die Mittelachse)
  • Längsspiegelungssymmetrie (Achsensymmetrie zur Mittelachse des Streifens)
  • Schubspiegelungssymmetrie (Schubspiegelungen längs der Mittelachse entstehen)
22
Q

Parkettierung (parkett)
Definition

A

Eine Parkettierung ist eine verschiebungssymmetrische Figur in der Ebene, unter deren Symmetrieverschiebungen es zwei kürzeste in zwei verschiedene Richtungen gibt, mit denen alle andere Symmetrieverschiebunden erzeugt werden können
- überlappungsfrei & lückenlos

23
Q

Polygon
Definition

A

Vielecke/Punkte auf der Ebene, die sich durch Strecken verbinden lassen
- mind. 3 Punkte
- regelmäßige Polygone: alle Strecken sind gleich lang, alle Innenwinkel sind gleich groß
- unregelmäßige Polygone: Strecken & Winkel sind unterschiedlich

24
Q

Typen von Abbildungen (Symmetrien) bei Parketten

A
  • Translation (Verschiebung)
  • Halbdrehung um 180°
  • Dritteldrehung um 120°
  • Vierteldrehung um 90°
  • Sechsteldrehung um 60°
  • Achsenspiegelung
  • Schubspiegelung
25
Q

Parkettierungen mit (regelmäßigen) n-Ecken

A

Eine Parkettierung aus Polygonen ist nur dann realisierbar, wenn die Summer der Innenwinkel der Polygone an jeder Ecke jeweils 360° beträgt.
- an jeder Ecke stoßen mind. 3 und max. 6 Polygone zusammen

26
Q

Wie groß sind die Innenwinkel in regelmäßigen Polygonen?

A

w= 180° - 360°/n ; n E N

27
Q

Penrose “Parkette”

A
  • in jede Richtung umfasst die gesamte Ebene
  • keine Grundfigur
  • nicht verschiebbar
28
Q

archimedische Parkettierung
Definition

A
  • regelmäßige n-Ecke
  • nur Eckpunkt an Eckpunkt
  • Eckenkranz ist immer derselbe
29
Q

platonische Parkettierung
Definition

A
  • nur paarweise kongruente, regelmäßige n-Ecke
  • sonderfall der archimedischen parkettierung
  • zB nur Dreiecke
30
Q

Platonische Körper (5)

A
  • Tetraeder
  • Hexaeder
  • Oktaeder
  • Dodekaeder
  • Ikosaeder

-> konvex

31
Q

Tetraeder
(platonischer Körper)

A

Ecken: 4
Flächen: 4 (Dreiecke)
Kanten: 6

Eckenkranz: 3,3,3
Deckabbildungen: 12

32
Q

Hexaeder
(platonischer Körper)

A

Würfel
Ecken: 8
Flächen: 6 (Quadrate)
Kanten: 12

Eckenkranz: 4,4,4
Deckabbildungen: 24

33
Q

Oktaeder
(platonischer Körper)

A

Ecken: 6
Flächen: 8 (Dreiecke)
Kanten: 12

Eckenkranz: 3,3,3,3
Deckabbildungen: 24

34
Q

Dodekaeder
(platonischer Körper)

A

Ecken: 20
Flächen: 12 (Fünfecke)
Kanten: 30

Eckenkranz: 5,5,5
Deckabbildungen: 60

35
Q

Ikosaeder
(platonischer Körper)

A

Ecken: 12
Flächen: 20 (Dreiecke)
Kanten: 30

Eckenkranz: 3,3,3,3,3
Deckabbildungen: 60

36
Q

archimedische Körper
(die wir kennen müssen, 5)

A
  • Prisma
  • Anti-Prisma
  • Kuboktaeder
  • Oktaederstumpf
  • Rhombenkuboktaeder
37
Q

Prisma
(archimedischer Körper)

A

Eckenkranz: n,4,4

Deckabbildungen: n x 2

38
Q

Anti-Prisma
(archimedischer Körper)

A

Eckenkranz: n,3,3,3

Deckabbildungen: n x 2

39
Q

Kuboktaeder
(archimedischer Körper)

A

Ecken: 12
Flächen: 14 (6 Quadrate, 8 Dreiecke)
Kanten: 24

Eckenkranz: 3,4,3,4
Deckabbildungen: 24

40
Q

Oktaederstumpf
(archimedischer Körper)

A

Ecken: 24
Flächen: 14 (6 Quadrate, 8 Sechsecke)
Kanten: 36

Eckenkranz: 6,6,4
Deckabbildungen: 24

41
Q

Rhombenkuboktaeder
(archimedischer Körper)

A

Ecken: 24
Flächen: 26 (8 Dreiecke, 18 Quadrate)
Kanten: 48

Eckenkranz: 4,4,4,3
Deckabbildungen: 24

42
Q

Eulersche Zahl
Eulersche Polyederformal

A

e = Anzahl der Ecken
k = Anzahl der Kanten
f = Anzahl der Flächen
z= eulersche zahl (-> für jedes Polyeder ohne Löcher ist die eulersche Zahl z=2)

z = e-k+f

Geometrie (2 decks)

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