fondements des mathématiques

Question 1

1- Énoncer les éléments problématiques menant à la crise des fondements des mathématiques

Answer 1

Nombres irrationnels
Nombres imaginaires
Axiomes
Infini
Théories des ensembles et ses paradoxes

Question 2

nombres irrationnels

Answer 2

• montre commesurabilité est fausse

Question 3

nombres imaginaires

Answer 3

• étudier nouvel ensemble de nombres
• manque de compréhension = pas vouloir l’étudier

Question 4

axiomes

Answer 4

• incertains et incomplets

Question 5

infini

Answer 5

• contredit euclide
• pas claire
• montrer dans les paradoxes de Zénon
• Aristote supporte infini potentiel

Question 6

Cohèrence

Answer 6

système est cohérent = aucune contradiction ne peut être démontrée à partir de ses axiomes.

Question 7

Complètude

Answer 7

Un système est complet si toute proposition vraie dans ce système peut être démontrée à partir de ses axiomes

Question 8

Géo euclidienne

Answer 8

longtemps considéré comme cohérente et complète, jusqu’à découverte de modifier 5e axiome.

Question 9

Géo non-euclidienne

Answer 9

géo alternatives cohérentes (ex : hyperbolique et elliptique) existe si modifier 5e axiome

Question 10

-Arithmétique

Answer 10

puissant pour exprimer des calculs complexes, mais c’est justement là que les limites mises en lumière par Gödel s’appliquent

Question 11

Complétude de Godel

Answer 11

énoncé est vrai = existe démonstration formelle de l’énoncé avec axiomes du système

Question 12

Incomplétude de Godel

Answer 12

Un tel système ne peut pas démontrer sa propre cohérence à partir de ses propres axiomes

Question 13

Décrire la sortie de crise

Answer 13

• Axiomatisation → nouvelle théorie des ensembles + définitions infinies + formalisation des quantités infiniment petite
• Gödel pose des limites

Question 14

Théories des ensembles et ses paradoxes

Answer 14

• ∅ solution parfaites (contient paradoxes)
• Ex: paradoxes et théories de Russel et Cantor