Függvény határértéke, folytonosság

Question 1

Mikor van határértéke egy függvénynek?

• bal/jobb oldali határérték?
• állítás az egyoldali határértékekkel kapcsolatban?

Answer 1

Akkor van határérték “a” (valós vagy végtelen vagy mínusz végtelen) pontban, mikor az f fv. értelmezve van “a” egy környezetében – esetleg “a” kivételével – és létezik olyan A, amire ha tetszőleges a(n) részhalmaza D(f)-nek, akkor a(n) —» a, a(n)≠a sorozat esetén (f(a_n)) —» A.

• f fv.-nek a jobb oldalon vett határértéke “a” pontban A+, ha tetszőleges a(n) részhalmaza D(f), a(n) —» a, szig. mon. csökkenő sorozat esetén (f(a_ n)) —» A+. Bal oldali esetén hasonlóan.
• lim_ a (f) létezik «—» lim_ a+ (f) = lim_ a– (f)

Question 2

FOLYTONOSSÁG

• Milyen tulajdonság alapvetően a folytonosság?
• Műveletek esetén?

Answer 2

f folytonos “a”-ban, ha az f(a) tetszőleges U környezetéhez van az “a”-nak olyan V környezete, hogy minden x eleme V esetén f(x) eleme U.

• Pontbeli.
• Ha f és g folytonos “a”-ban, akkor f + g, f*g, f és g lineárkombinációja és (ha g(a)≠0) f/g is folytonos “a”-ban. Továbbá, ha f folytonos “a”-ban és folytonos g(a)-ban, akkor f(g(a)) is folytonos ott.

Question 3

BOLZANO-TÉTEL

Answer 3

Ha f folytonos az [a;b] intervallumon és f(a) < f(b), akkor létezik olyan c eleme ]a;b[, hogy f(c) = K, ahol K eleme ]f(a);f(b)[.