Halmazelmélet Flashcards
Mit jelent, ha egy halmaz reflexív/szimmetrikus/tranzitív?
– reflexív: a~a mindig teljesül, azaz minden a esetén (a;a) eleme a halmaznak
– szimmetrikus: ha a~b, akkor b~a
– tranzitív: ha a~b és b~c, akkor a~c
Mikor ekvivalenciareláció egy halmaz (reláció)?
• Mi az ekvivalenciaosztály? Jellemzői?
Akkor, amikor az reflexív, szimmetrikus és tranzitív.
• Az adott halmaz olyan részhalmazai, amelyek elemei az ekvivalenciareláció szerint ekvivalensek. A halmazt diszjunkt részhalmazokra osztják fel, uniójuk az egész halmaz.
Függvény mi?
Adott két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. (Azaz egy x értékhez csak egy y érték tartozik.)
Mikor egyenlő két halmaz számossága?
- végtelen mikor?
- megszámlálhatóan végtelen mikor?
Akkor, ha a két halmaz között létezik bijekció, tehát az egyik halmaz elemeit egyértelműen hozzá lehet rendelni a másikéihoz és a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű (injektív).
- Akkor, ha a halmaz és (adott?) részhalmazai között bijekció van.
- Akkor, ha N (természetes számok) és az adott halmaz között bijekció van. Ez a megszámlálhatóság definíciója, de a végtelent hozza magával, mert N végtelen számosságú.
KORLÁTOSSÁG
- supremumhoz kötődő axióma?
- supremum vs. maximum?
Egy halmaz felülről/alulról korlátos, ha van olyan valós K, hogy minden h eleme H-ra h kisebb/nagyobb vagy egyenlő, mint K. A K a felső korlát.
- Minden felülről korlátos halmaznak van legkisebb felső korlátja, ez a supremum. Infinumra ugyanez van, obviously.
- Mindkettő felső korlát, de a supremum nem kell, hogy benne legyen a vizsgált halmazban, míg a maximum igen. Ezek alapján nem minden felülről korlátos halmaznak van maximuma, de supremuma igen. Ha van maximuma, akkor az meg megegyezik a supremummal. Infinumra, minimumra ugyanez igaz.
