Integrale... Flashcards
(31 cards)
Was ist das bestimmte Integral?
Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse im Intervall [a, b].
Wie lautet die Definition der Stammfunktion?
Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn gilt: F’(x) = f(x).
Was ist das unbestimmte Integral?
Das unbestimmte Integral ∫ f(x) dx ist die Menge aller Stammfunktionen von f(x) und wird geschrieben als F(x) + C (C ∈ ℝ).
Was ist die Rechteckmethode in der Integralrechnung?
Die Rechteckmethode ist eine Methode zur näherungsweisen Bestimmung von Flächeninhalten durch Aufsummieren von Flächen vieler Rechtecke.
Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
Er besagt: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a), wobei F eine Stammfunktion von f ist.
Wie lautet die Summenregel für Integrale?
∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx
Wie lautet die Faktorregel für Integrale?
∫ₐᵇ k·f(x) dx = k·∫ₐᵇ f(x) dx, wobei k eine Konstante ist.
Wie lautet die Formel für die Bogenlänge?
B = ∫ₐᵇ √(1 + (f’(x))²) dx
Wie lautet die Formel für das Rotationsvolumen um die x-Achse?
V = π ∫ₐᵇ (f(x))² dx
Wie lautet die Formel zur Berechnung der Bogenlänge mit einer Funktion h(x) = x^{2/3}?
B = ∫₀¹ √(1 + ((2/3)·x^(-1/3))²) dx
Wie ist die Beziehung zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung?
s’(t) = v(t), v’(t) = a(t), also ist v die Stammfunktion von a und s die Stammfunktion von v.
Wie kann man die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen bestimmen?
F = ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)| dx
Wie berechnet man Integrale mit dem Taschenrechner?
Durch Eingabe der Funktion ins Integralmenü und Angabe der Grenzen a und b: ∫ₐᵇ f(x) dx
Wie erkennt man, ob eine Funktion eine Stammfunktion ist?
Man leitet sie ab. Wenn F’(x) = f(x), ist F eine Stammfunktion von f.
Was ist die geometrische Bedeutung eines negativen Integrals?
Es bedeutet, dass die Fläche unterhalb der x-Achse liegt und daher negativ gezählt wird.
Wie lautet die allgemeine Regel zur Integration von Potenzfunktionen?
∫ xⁿ dx = (1 / (n + 1)) xⁿ⁺¹ + C, für n ≠ -1
Wie lautet die Ableitung von f(x) = √x?
f’(x) = 1 / (2√x)
Wie lautet die Bogenlängenformel für f(x) = √x im Intervall [0, 16]?
B = ∫₀¹⁶ √(1 + 1/(4x)) dx ≈ 18,04 LE
Wie lautet die Ableitung von h(x) = x^(2/3)?
h’(x) = (2/3)·x^(-1/3)
Was ergibt die Bogenlänge der Funktion h(x) = x^(2/3) im Intervall [0,1.3]?
B ≈ 4,9 LE
Was ist das Integral von f(x) = 5?
∫ₐᵇ 5 dx = 5·(b - a)
Wie berechnet man den Flächeninhalt unter f(x) = 0,5x von 0 bis 4?
∫₀⁴ 0,5x dx = 4
Wie bestimmt man die Nullstellen von f(x) = 4 - x²?
Man setzt 4 - x² = 0 → x = ±2
Was ist das Integral von f(x) = 4 - x² von -2 bis 2?
∫₋²² (4 - x²) dx = 10,6 (mit TR)
