Kontraste & Modellgleichung Varianzanalyse

Question 1

Welche Arten von Kontraste gibt es?

Answer 1

1. a posteriori
2. a priori

Question 2

Wann benutzt man welchen Kontrast?

Answer 2

a posteriori: Varianzanalyse war signifikant, jetzt
Lokalisierung der Unterschiede
a priori: statt einer Omnibus-Varianzanalyse

Question 3

Eigenschaften: a posteriori Kontrast

Answer 3

1. auch post hoc Vergleiche genannt
2. werden nach einer signifikanten Varianzanalyse zur Lokalisierung paarweiser signifikanter Unterschiede genutzt
3. nur ungerichtet Hypothesen können getestet werden
4. kein eigentlicher Hypothesentest (da nicht vorab formuliert)
5. Alpha-Adjustierung ist essenziell, daher werden Verfahren verwendet, in denen diese bereits integriert ist: Scheffé-Test, Tukey’s “honestly significant difference (HSD)”-Methode, . . .

Question 4

Eigenschaften: a priori Kontrast

Answer 4

1. Im Vorhinein in varianzanalytischem Design nur theoretisch interessante Vergleiche durchführen –> deren Hypothesen auf theoretisch begründeten Vorhersagen beruht
2. gezieltes Testen von Hypothesen
3. nicht nur Unterschiede zwischen zwei Erwartungswerten, sondern auch beliebige Kombinationen von Erwartungswerten sind möglich
   und vieles mehr

Question 5

Kontrast Definition

Answer 5

ein Kontrast ist eine Linearkombination von Populationsparametern, d.h. die Populationsparameter µj werden mit Koeffizienten cj multipliziert und dann aufsummiert, die Summe nennen wir psi

Question 6

Wichtige Restriktion bei Kontrasten

Answer 6

um als Kontrast zu zählen, müssen sich die Koeffizienten zu Null aufsummieren

Question 7

Hypothesenpaare bei Kontrasten im ungerichteten Fall und im gerichteten Fall

Answer 7

1. ungerichteter Fall:
   H0: psi = 0
   H1: psi ≠ 0
2. gerichteter Fall:
   Das Gleichzeichen ist immer in der H0

Question 8

Welche Annahmen gelten für Kontraste

Answer 8

Die gleichen wie für die Varianzanalyse:
1. J Stichproben werden unabhängig voneinander gezogen

2. abhängige Variable Y (mindestens) intervallskaliert
3. abhängige Variable in jeder Population j normalverteilt mit einer gemeinsamen Varianz (=Varianzhomogenität):

Question 9

Entscheidungsregel Kontraste

Answer 9

Verwirft die H0 (entschiede dich für die H1), falls der Betrag (!) von t größer/gleich tN-J; α/2 bzw. p größer/ gleich Alpha ist

Question 10

Modellgleichung der einfaktoriellen Varianzanalyse: Effekt αj und yij

Answer 10

αj: die Abweichungen der Gruppenmittelwerte vom Gesamtmittelwert M. Diese Abweichung wird oft die erklärte Abweichung genannt.

yij: Die Abweichung der einzelnen Vp vom Gruppenmittelwert Mj
S. F. 63/ 64

Question 11

Modellgleichung der einfaktoriellen Varianzanalyse: Messfehler

Answer 11

Messfehler: Die Abweichungen der einzelnen Personen vom Gruppenmittelwert bzw. eigentlich: dem
Gruppenerwartungswert: eij = yij − μj
Oft nicht-erklärte Abweichung genannt, da sie nicht auf die Wirkung des untersuchten Faktors zurückgeht.

Question 12

Modellgleichung der einfaktoriellen Varianzanalyse: Verteilung des Messfehlers eij

Answer 12

wegen der eingangs gemachten Voraussetzungen der Varianzanalyse gilt für eine Zufallsvariable yij, dass
auch diese normalverteilt ist:
yij ~ N(μj , σ²)
Daraus folgt, dass auch die Messfehler normalverteilt sind, und zwar mit einem Erwartungswert von Null und der gleichen Varianz, die wir für die abhängige Variable angenommen haben:
eij ~ N(0, σ²)

Question 13

Modellgleichung der einfaktoriellen Varianzanalyse: Auf der Ebene der einzelnen Messwerte, woraus setzt sich yij zusammen?

Answer 13

Insgesamt ergibt sich auf der Ebene der einzelnen Messwerte, dass sich eine einzelne Beobachtung yij additiv zusammensetzt aus (1) dem Gesamtmittelwert, (2) dem Effekt der Stufe j und (3) dem Messfehler eij :
yij = μ + αj + eij
Diese Gleichung bezeichnet man auch als Modellgleichung der einfaktoriellen Varianzanalyse auf Messwertebene.

Question 14

Modellgleichung der einfaktoriellen Varianzanalyse auf Messwertebene

Answer 14

yij = μ + αj + eij

Question 15

Modellgleichung d der einfaktoriellen Varianzanalyse auf Parameterebene

Answer 15

μj = μ + αj

Question 16

Der geeignete Schätzer für Pis

Answer 16

ist psi-Dach:
Die Summe aus cj mal Mj

Question 17

Der Erwartungswert und Varianz von Psi-Dach

Answer 17

E(pis-Dach) = Psi
V(psi-Dach) = Sigma² * die Summe aus Cj²/nj
–> Als erwartungsgetreuen Schätzer für V(psi-Dach):
Sigma² ersetzen wir durch MSw

Question 18

Warum ist psi-Dach normalverteilt?

Answer 18

Da sich psi-Dach aus den normalverteilten Zufallsvariablen Mj zusammensetzt

Question 19

Was muss die Prüfgröße von Kontrasten erfüllen?

Answer 19

1. Ihr Wert wird besonders extrem, wenn die Daten gegen die Gültigkeit der H0 sprechen
2. Wir kennen die Verteilung einer entsprechenden Zufallsvariablen unter Annahme der Gültigkeit der H0

Question 20

Eigenschaften des t-Bruchs bei Kontrasten

Answer 20

1. t-Bruch größer: Da im Nenner, des an die Kontraste angepassten t-Bruchs die gemeinsame Varianzschätzung mittels MSw steht (also auf Basis aller VPs) wird i.d.R. der Nenner kleiner und der t-Bruch entsprechend größer als im Fall eines einfachen t-Tests
2. tkrit kleiner: Es wird zudem eine t-Verteilung mit mehr Freiheitsgraden herangezogen, wodurch der kritische t-Wert kleiner wird
3. Power höher: Die Power von Kontrasten ist i.d.R. höher als die der entsprechenden t-Tests

Question 21

Was ist die erklärte Abweichung und was ist die nicht-erklärte Abweichung

Answer 21

1. Die erklärte Abweichung: Die Effekte Alphaj, also die Abweichung der Gruppenmittelwerte vom Gesamtmittelwert M
2. die nicht-erklärte Abweichung: Der Messfehler, die Abweichung der einzelnen Personen vom Gruppenmittelwert bzw. Gruppenerwartungswert

Question 22

Wie kommt die Modellgleichung auf Parameterebene zustande?

Answer 22

Die Formel entsteht, indem wir die Erwartungswerte der Modellgleichung auf Messwertebene für die Zusammenstellung nutzen. Da wir wissen, dass der Erwartungswert von y_ij gleich µ_j ist, steht auf der linken Seite µ_j und nicht mehr y_ij. Im rechten Teil stellen wir µ und α_j als konstanten da. Der Erwartungswert von e_ij ist Null, daher ist er auf Parameterebene in der Formel nicht zu finden. Es folgt, dass sich der Erwartungswert der Gruppe aus dem Gesamterwartungswert und dem Effekt der Gruppe additiv zusammensetzt.

Question 23

Wie kann ich mit einem Kontrast Linearität testen?

Answer 23

Wenn Linearität vorliegt, sind die Differenzen zwischen den Mittelwerte gleich groß, d.h. µ1 - µ2 = µ2 - µ3. Die Hypothesen kann ich dann so aufstellen. Als ungerichtete Hypothese.

Question 24

Fkrit bei R

Answer 24

qf( p = 0.95, df1 = x, df2 = x)

Question 25

p-Wert bei R: Fläche bestimmen, die bis zum F-Wert unter der F-Verteilung geht und Fläche bestimmen ab dem F-Wert unter der F-Verteilung

Answer 25

1. Berechnet die Fläche bis zum F-Wert:
   pf( q = F-Wert, df1 = x, df2 = x)
2. Berechnet die Fläche ab dem F-Wert (Also den p-Wert):
   1 - pf(q = F-wert, df1 = x, df2 = x)

Question 26

posteriori Kontraste: Scheffé-Test und Tukey´s HSD

Answer 26

Verfahren, die automatisch eine Alpha-adjustierung beinhalten:
1. Scheffé-Test:
a) Korrigiert die Prüfgröße entsprechend so, dass beliebig viele Vergleiche durchgeführt werden, ohne dass das nominelle Alpha-Niveau überschritten wird
b) ist jedoch auch konservativer
2. HSD: ist weniger koservativ