Linearna algebra Flashcards
1
Q
operacije s vektorima
A
zbrajanje, množenje skalarom, strukturno množenje i vektorsko množenje
2
Q
svojstva zbrajanja vektora
A
zatvorenost, komutativnost, asocijativnost, neutralni elemnt nulvektor, suprotan vektor
3
Q
def. grupoid
A
Neka je S neprazan skup i neka je Q (zatvorena) binarna operacija/preslikavanje na skupu S. Grupoid je uređeni par (s,Q)
4
Q
primjer grupoida
A
(R,+), (N,+), (C,+)
5
Q
Def. grupoida
A
(s, *) je (komutativni) grupoid ako svaka 2 elementa iz S komutiraju
6
Q
def. polugrupa
A
(S, *) je (komutativna) polugrupa ako je (komutativna) binarna operacija asocijativna za svaki element iz S
7
Q
def. grupoid
A
(s,) je grupoid ako postoji element iz S koji je neutralan, tj. xe=e*x=x za svaki x iz S
8
Q
polugrupu s neutralnim elementom zovemo
A
monoid ili polugrupa s jedinicom
9
Q
neutr. element u aditivnoj strukuri zovemo
A
nula
10
Q
neutr. element u multiplitivnoj strukturi zovemo
A
jedinica
11
Q
ako neutralni element postoji on je
A
jedinstven
12
Q
def. inverz
A
Neka je (s,) grupoid ako za x iz S postoji y iz S t.d. xy=y*x=neutr. el. kažemo da je y inverz od x, a x invertibilni element
13
Q
inverz on invertibilnog elementa je uvijek
A
jedinstven
14
Q
ako je x iz S invetribilan onda je njegov inverz
A
također invertibilan
15
Q
zbroj 2 invertibilna elementa je
A
invertibilan
16
Q
def. grupa
A
monoid u kojem je svaki element invertibilan, tj. svaki element ima svog inverza koji je unutar istog skupa
17
Q
def. abelova grupa
A
grupa kojoj je operacija komutativna
18
Q
svojstva grupe
A
- zatvorenost
- asocijativnost
- neutralni element
- invertibilni element i njegov inverz
- komutativnost
19
Q
skup svih invertibilnih elemenata u monoidu čini
A
grupu
20
Q
tm. o dijeljenju s ostatkom
A
za a koji je cijeli broj, m koji je prirodan broj postoje jedinstveni q i r koi su cijeli brojevi t.d. je
a= m*q + r ; r je ostatak
21
Q
def. prsten
A
Neka je R neprazan skup te “+” i “*” binarne operacije. Tada je (R, + , *) prsten ako :
- (R, +) abelova grupa
- (R, ) polugrupa
- vrijedi distributivnost operacije “” na “+”
22
Q
trivijalni prsten
A
prsten koji se sastoji od samo 1 elementa, a taj element je neutralan i za zbrajanje i za množenje
23
Q
Neka je (R,+,*) prsten, a a i b su invertibilni tada
A
a*b nije jednako 0
24
Q
def. polje
A
1) (F,+,) je polje ako vrijedi:
- (F,+,) kom. prsten s jedincom
- svaki element iz F osim 0 je invertibilan
2) (F,+,*) je polje ako vrijedi:
- (F,+) Abelova grupa
- (F{0}, *) Abelova grupa
- distributivnost množenja prema zbrajanju
25
def. vektorski prostor nad poljem F
Neka je (V,+,*) Abelova grupa, F polje te "*" preslikavanje sa svojstvima:
- A(Bx) = (AB)x, A i B iz F, x iz V
- (A+B)X= Ax +Bx
- A*(x+y)= Ax+Ay
- 1*x=x
26
V je vektorski prostor nad poljem F ako
- (V,+) abelova grupa
- "*" preslikavanje sa svojstvima : neuralnog elementa, asocijativnost, distributivnosti množenja prema zbrajanju
27
neka je >V vektorski prostor nad F, tada vrijedi
- a*0=0v, a je vektor iz V
- A*0v=0v, A(alfa) je skalar iz F
28
neka je V vektorski prostor, A*a=0v akko
A=0 ili a=0v
29
svako polje F možemo shvatiti kao
vektorski prostor nad samim sobom
30
def. ljuska
Linearna ljuska S je skup svih lin. kombiacija vektora iz skupa S, oznaka: [S]
31
iz def. ljuske slijedi
- Skup S je podskup od Ljuske S koja je podskup od V
- ako je jedan skup podskup drugom onda je i njegova ljuska podskup ljuske drugog skupa
- ljuska od ljuske skupa S je ljuska od S
32
ako je V vekt.prostor nad F i S podskup od V tada
je ljuska [S] vektorski prosotr nad F
33
def. sustav izvodnica
Neka je V vektorski prostor nad F te G je podskup od V, ako je V=[G] onda za G kažemo da je sustav izvodnica
34
def. konačnogeneriranog vekt. prostora
vekt. prosotor koji sadrži barem 1 sustav izvodnica
35
skup od 1 vektora je lin.nez. skup akko
taj vektor nije nulvektor 0v
36
svaki podskup lin.nez. skupa je
lin.nez
37
svaki nadskup lin.zav. skupa je
lin.zav.
38
svaki skup koji sadrži 0v je
lin.zav.
39
neka je V vektorski prostor nad F, B neprazni skup koji je podskup od V, B je baza ako
- B lin.nez. skup
- b sustav izvodnica, [B]=V
40
tm. karakterizacija baza
skup vektora B je baza za v.p. V nad F ako za svaki x iz V postoje jedinstveni skalari iz F tako da se svaki vektor iz V može zapisati kao lin.komb. vektora iz B (svaki vektor se prikazuje jedinstveno
41
neka je V konačnogeneriran v.p. nad F te je G sustav izvodnica za V tada
G sadrži podskup koji je baza za V
42
Vekt. prostor je konačno dimenzionalan ako ima
konačnu bazu, u suprotnom je beskonačnodimenzionalan
43
svaki konačnogeneriran vekt. prostor je i
konačnodimenzionalan
44
dimenzija v.p. jednaka je
broju elemenata u bazi
45
steinitzov tm.
V je konačnodimenzionalan v.p. nad F, tada su svake 2 baze jednako brojne (ekvipotentne)
46
broj elemenata lin.nez. skupa uvijek ima
manje ili jednako broju dimenzije v.p.
47
svaki lin.nez. skup konačnodimenzionalnog vektorskog prostora sadržan je
u nekoj bazi prostora
48
def. potprostora
neka je V v.p. nad F te neka je skup L je podskup od V. L je potprostor ako je i on sam v.p. nad istim poljem i s istim operacijama
49
kako najjednostavnije dokazati da je neki skup potprosotor
provjeriti zatvorenost zbrajanja i zatvorenost množenja
50
neka je V v.p. nad F te je njegova dimV=n, a L je potprostor od V onda
je L konačnodim. te dimL je jednaka ili mnaja od dimV
51
ako je L potprostor od V i dimV=dimL tada
su L i V isti prostor
52
neka su M i L potprostori od V tada je njihov presjek
također potprostor od L
53
presjek potprostora nekog v.p. ne može biti
prazan skup
54
neka su L i M potprosotri od V, suma L i M definira se kao
ljuska unije potprostora L i M
L+M = [LUM]
55
ljuska nekog skupa je _____________ potprostor koji sadrži taj skup
najmanji
56
dim (L+M) =
dimL + dimM - dim(presjek od M i L)
57
kada je suma potprostora direktna
kada je prejek 2 potprostora jednak 0v, tada je dim(L+M)=dimL + dimM
58
L+M=
{a+b, a iz L, b iz M)
59
karakterizacija direktne sume
L i M su potprostori od V, njihova suma je direktna ako:
za svaki x iz L+M postoje jedinstveni a iz L i B iz M t.d.
x=a+b
60
neka je L potprostor od V, tada postoji potprostor M t.d.
L+M=V (M zovemo direktni komplement)
61
ako L sadrži 0v njegov direktni komplement nije
jedinstven
62
skup svih matrica tipa m,n
je vektorski prostor
63
def. matrice
neka su m i n prirodni brojevi, preslikavanje A:{1,...,m}X{1,...,n} -> F
64
kvadratna matrica
m=n, tj. broj redaka je jednak broju stupaca, tada kažemo matrica reda n
65
jednakost matrica
matrice su jednake ako su istog tipa te a(i,j)=b(i,j)
66
baza za prosotor Mm,n(F)
skup B = {Ei,j ; i=1,..,m ; j=1,...,n}
matrica Ei,j čijoj su svi elementi jednaki 0 osim onog na presjeku i-tog retka i j-tog stupca
67
neke posebne matrice
- retčana - ima samo 1 redak
- stupčana - ima samo 1 stupac
- dijagonalna
- skalarna - jedinična pomnožena sa skalarom
- gornjetrokutasta
- donjetrokutasta
68
transponiranje matrice
zamjena redaka sa stupcima
69
simetrična matrica
kad je matrica jednaka svojoj transponiranoj
70
antisimetrična matrica
kad je matrica jednaka svojoj - transponiranoj
71
skup svih matrica reda n je direktan komplement
od skupa svih antisimetričnih matrica reda n, tj.
Sn+An=Mn(R)
72
ulančane matrice
matrice A i B su ulančane ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B
73
umnožak ulančanih matrica
Am,n * Bn,p = Cm,p
74
je li množenje matrica komutativno
NE!
75
svojstva množenja matrica
asocijativnost, kvaziasocijativnost, 2 vrste distributivnosti, transponiranje umnoška matrica mijenja pozicije
76
def. regularna ili invertibilna matrica
matrica A je regularna ako postoji matrica B istog reda kao A t.d. je
A*B=B*A=I (jedinična matrica)
77
matrice koje nisu invertibilne zovemo
neinvertibilne ili singularne
78
inverz regularne matrice je
jedinstven!
79
da bi umnožak 2 matrice bila regularna matrica...
2 matrice koje se množe moraju biti regularne
80
(A*B)^{-1} =
B^-1 * A^-1
81
skup svih invertibilnih elemenata u monoidu čine
grupu
82
skup svih regularnih matrica čine
grupu
83
skup svih regularnih matrica označavamo s
GL(n,F)
84
kako možemo napisati matricu A
A = [a_ij]
85
elementarne transformacije
- zamjena 2 retka/stupca
- množenje stupca/retka sa skalarom lambda koji nije 0
- 1 retku/stupcu pridodajemo drugi pomnožen sa skalarom
86
def. elementarna matrica
matrica dobivena 1 elementarnom transformacijom nad jediničnom matricom
87
ako smo obavili elementarnu transformaciju nad retkom oznaku za el.transf. pišemo
lijevo od matrice
88
ako smo obavili el.transf. nad stupcem oznaku za el.transf. pišemo
desno od matrice
89
oznaka za zamjenu redaka/stupaca
H_ij
90
oznaka za množenje retka/stupca sa skalarom
G_i,&
91
oznaka za množenje j-tog retka/stupca sa skalarom i dodavanje njega i-tom retku/stupcu
F_ij,&
92
sve elementarne matrice su
regularne, njihov inverz je također elementarna matrica
93
def. ekvivalentne matrice
matrice A i B su međusobno ekvivalentne ako matricu B mogu dobiti primjenom el.transf. nad matricom A , pišemo: A~B
94
realcija ekvivalentnosti je
relacija ekvivalencije
95
dokazi za relaciju ekvivalencije
- refleksivnost - matrica A je sama sebi ekvivalentna
- simetričnost - ako se B može dobiti iz A onda se A može dobiti iz B
- tranzitivnost - ako se c može dobiti iz b i b se može dobiti iz a onda se c može dobiti iz a
96
def. rang matrice
neka je A kvadr. matrica te neka je S stupčana reprezentacija matrice A. Rang od A je dimenzija potprostora S
97
ako je matrica A' dobivena el.transf. po stupcima matrice A onda
r(A')=r(A)
98
rang nulmatrice je jednak
nuli
99
rang dvije matrice jednak je u 2 slučaja
- druga matrica je transponirana
- dvije matrice ekvivalentne
100
kanonska matrica
svaka matrica ranga r može se dovesti do svoje kanonske matrice ranga r
101
matrica i njezina kanonska matrica su međusobno
ekvivalentne
102
rang regularne matrice =
broju n (maks rang)
103
umnožak dvije regularne matrice reda n je
regularna matrica reda n
104
def. linearna jednadžba s n nepozanica
neka je n prirodan broj, lin. jedn. s n nepoznanica nad poljem F je svaka jedn. oblika:
a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b
105
zapis sustava lin. jedn
A*X=B
106
ima li homogoeni sustav A*X=0 rješenja?
uvijek ima rj.
107
Kronecker-Capellijev tm.
sustav A*X=B je rješiv ako rang matrice A je jednak rangu proširene matrice (A|B)
108
sustav AX=B ima jedinstveno rješenje ako
r(A)=r(Ap)=n (n je broj nepoznanica)
109
kada su 2 sustava ekvivalentna
kad imaju jednak nepoznanica i isti skup rješenja
110
primjenom el. tranf. nad retcima proširene matrice dobivamo sustav lin. jedn. _____________ početnom
ekvivalentan
111
dim H (skup svih rješenja homogenog sustava) =
n-r ( broj nepoznanica - rang)
112
što označava Sn u determinanti
skup svih permutacijs
113
što označava sigma u determinanti
sumo po svim permutacijama iz grupe Sn
114
što ounačava signp u det.
predznak permutacije {-1,1}
115
inverzija permutacije p
je par (i,j) za koji vrijedi ip(j)
116
kako se računa predznak permutacije
-1 na broj inverzija u permutaciji
117
jedina permutacija kojoj je broj inverzija jednak nula je
identiteta
118
svojstva sign-a
- sign(p kompozicija q) = signp * signq
- signp = signp^-1
119
ako matrica ima nulredak/nulstupac det je jednaka
0
120
ako je matrica gornje/donje trokutasta det. je jednaka
umnošku elemenata na glavnoj dijagonali
121
koliko iznosi determinanta matrice kojoj su 2 retka/stupca ista
0
122
det(&*A)=
&^n * det(A9
123
ekvivalentne matrice obje imaju kakvu determinantu
ili su obje jednake 0 ili ni jedna nije jednaka 0
124
matrica je regularna ako je njena det=
svemu osim 0
125
ako je A regularna matrica (2 svojstva)
- det. nije jednaka 0
- rang je maksimalan, tj. jednak je n (red)
126
Binet-Cauchyev tm.
det(A*B)=det(A)*det(B)
127
u slučaju dijagonalnih matrica Binet-Cauchyev tm.
vrijedi
128
determinante 2 ekvivalentne matrice
- detB=-detA za zamjenu retka stupca
- detB= & * detA za množenje nekog retka/ stupca s &
- detB=detA za pribrajanje nekog retka/stupca pomnoženog s & nekom drugom retku/stupcu
129
def. minora
determinanta koja nastaje uklanjanjem i-tog stupca i j-tog retka iz matrice A (koja je kvadratna)
130
def. adjunkta matrice
transponirana matrica algebarskih komplemenata matrice A
131
det(A^-1)= 1/detA
132
A^-1=
1/detA * adjunkta matrice
133
kada je sustav Cramerov
sustav AX=B je Cramerov ako je A regularna matrica, tj. kvadratna matrica punog ranga
