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Flashcards in MATH TRICKS italiano Deck (21):
1

Tutti dal 9 e l'ultimo dal 10 pt2

Il Sutra, per esempio, è utilizzabile per calcolare molto più rapidamente sottrazioni tra numeri aventi lo stesso numero di cifre, ed il cui minuendo (il numero prima del segno meno) è positivo e composto da tutti zeri tranne uno. Quindi sottrazioni del tipo del tipo "500 - 388", "6000 - 4567", o "70.000 - 43.200". Infatti puoi:

- Usare il Sutra "Tutti dal 9 e l'ultimo dal 10" dal sottraendo, così da ottenere il complemento alla potenza di 10 immediatamente superiore.
- Sottrarre al risultato del Sutra la differenza tra la potenza di 10 immediatamente superiore ed il minuendo. Quindi, molto banalmente, se per esempio ho una sottrazione iniziale del tipo "3000 meno..." dovrò sottrarre 7000 al risultato del Sutra. Se ho "500 meno..." dovrò sottrarre altri 500. Se ho 9000 dovrò sottrarre 1000, e così via.

2

TUTTI DAL 9 E L'ULTIMO DAL 10...

Ottima per calcolare la differenza fra un qualunque numero e la potenza di 10 immediatamente superiore.

1) partendo da sinistra, sottrai ogni cifra del sottraendo da 9 (9 meno la cifra), arrivato alle unità dovrai sottrarre a 10.

2) metti il risultato di queste sottrazioni nel risultato e ogni volta che ti ritrovi con un 10 va messo uno 0 a quella cifra e aggiunto un 1 alla cifra più a sinistra.

es: 10000-4350 = (9-4)=5 _ (9-3)= 6 _ (9-5) = 4+1
(10-0) = 10-10 == 5650

3

Come risolvere serie di addizioni con la colonna magica...
989 + 724 + 102 + 670 + 112 =

1) Parti in alto a sinistra, scendi, e somma man mano tra loro tutti i numeri sulla stessa colonna di sinistra, facendo attenzione a tenere a mente di volta in volta solo i risultati parziali della somma. Nel caso dell'addizione a colonna illustrata poco sopra, quindi man mano che discendi la colonna ti ritroverai con: "9 (+ 7 =), 16 (+ 1 =), 17, 23, 24". Hai terminato le operazioni sulla colonna più a sinistra ed il tuo risultato parziale è 24.
2) Ora spostati di una colonna verso destra (in questo caso la colonna nel mezzo quindi), prendine la prima cifra, mettila a destra del precedente risultato parziale (in questo caso quindi avresti 24_8) e, lasciando momentaneamente intatto il vecchio risultato parziale, somma man mano a questa cifra le altre cifre sottostanti nella sua stessa colonna. Quindi, riprendendo sempre lo stesso esempio, ripeti in mente: "24_8, 24_10, 24_10, 24_17, 24_18". Solo se poi, come in questo caso, alla fine della somma ti ritrovi con un numero maggiore di 10, mettine nel nuovo risultato parziale solo le unità ed addiziona le decine alla cifra più a sinistra. Il tuo nuovo risultato parziale quindi è 24_18 = 258, dopo aver riportato l'1 del 18 nel vicino 24. Siamo vicini al risultato finale. 3) Prendi ancora una volta il risultato parziale della vecchia colonna ed apponivi il numero più in alto della colonna più a destra (in questo caso quindi hai 258_9). Poi comportati esattamente come ti sei comportato con la colonna precedente: lascia intatto il vecchio risultato parziale, somma le cifre di quella colonna tra loro ed aggiungi il riporto solo alla fine. In questo caso quindi avrai: "258_9, 258_13, 258_15, 258_17 = 2597". Non ci sono altre colonne a destra e quindi questo è il risultato finale.

4

moltiplicazione attraverso la "scomposizione per addendi"

Si scompone uno degli operandi in una somma od una sottrazione. Tipicamente, se il numero è grande, si scompone proprio nella somma tra le sue unità più le sue decine più le sue centinaia, etc. (per esempio: 456 = 400 + 50 + 6) Si effettua separatamente la moltiplicazione su queste parti sfruttando la proprietà distributiva dell'addizione. E quindi, se per esempio ho 334 x 456, trasformerò questa moltiplicazione in (334 x 400) + (334 x 50) + (334 x 6). Ossia, invece di effettuare una moltiplicazione tra numeri a tre cifre che, se incolonnata, richiederebbe una certa quantità di tempo, dovrò effettuare una somma tra semplici moltiplicazioni ad una cifra, alle quali poi alla fine dovrò aggiungere degli zeri (hai ripassato le moltiplicazioni per 10, 100, 1000, vero?).

5

scomposizione in fattori e criteri di divisibilità

2) probabilmente il più semplice e noto: un numero è divisibile per 2 se è pari, ossia se e solo se la sua cifra delle unità è 0, 2, 4, 6 od 8.

3) Criterio di divisibilità per 3: Un numero è divisibile per 3 se, sommando le sue cifre, ottengo un multiplo di 3. Prendiamo per esempio 476. Ho che 4 + 7 + 6 = 17. Se 17 è multiplo di 3, lo è anche 476, e per capirlo posso applicare nuovamente la stessa proprietà: 1 + 7 = 8. 8 non è multiplo di 3 e quindi non lo è nemmeno 476.

4) Criterio di divisibilità per 4: Un numero è divisibile per 4 se le sue ultime 2 cifre sono 00 oppure un numero divisibile per 4. Prendiamo per esempio un numero come 56.000.932. Posso dire immediatamente che è divisibile per 4 perché finisce con "32" e 32 è divisibile per 4.

5) Criterio di divisibilità per 5: Un numero è divisibile per 5 se la sua cifra delle unità è 0 oppure 5.

6) Criterio di divisibilità per 6: Un numero è divisibile per 6 se rispetta il criterio di divisibilità per 3 ed è pari.

7) Criterio di divisibilità per 7: Un numero è divisibile per 7 se è divisibile per 7 la somma data da (numero privato delle unità + unità "tolte" moltiplicate per 5). Quindi ammettiamo di voler capire se sia divisibile per 7 il numero 8422. Devo vedere se è divisibile per 7 la somma tra 842 (8422 privato delle unità) e 2 x 5 (unità tolte moltiplicato 5). 842 + 2 x 5 = 852. E per capire se 852 a sua volta sia divisibile per 7 posso applicare di nuovo la regola: (85 + 2 x 5) = 95. Poi ancora (9 + 5 x 5) = 34, che non è divisibile per 7. Quindi non lo era neppure 8422.

8) Criterio di divisibilità per 8: Un numero è divisibile per 8 se sono divisibili per 8 le sue ultime tre cifre. Oppure, in alternativa, posso prendere la sua terzultima cifra (da destra), raddoppiarla, sommarla alla penultima, raddoppiare il risultato e sommarlo all'ultima. Se il risultato finale è multiplo di 8, lo è anche il numero originario. Quindi, se per esempio ho 865.341, prendo il 3, lo raddoppio ottenendo 6 e lo aggiungo a 4 ottenendo 10. Quindi raddoppio 10 ottenendo 20 e lo aggiungo ad 1 ottenendo 21. 21 non è divisibile per 8 e quindi non lo è neanche 865.341.

9) Criterio di divisibilità per 9: Un numero è divisibile per 9 se è divisibile per 9 la somma delle sue cifre.

10) Criterio di divisibilità per 10, 100, 1000: Un numero è divisibile per 10, 100, 1000 od una qualunque altra potenza di 10 se finisce con un numero di zeri pari a quelli della potenza considerata.

11) Criterio di divisibilità per 11: Partendo da destra verso sinistra, somma le cifre di posto pari del numero da esaminare. Poi somma quelle di posto dispari. Sottrai il minore dal maggiore dei due e se il risultato è 0, 11 od un multiplo di 11, allora il numero esaminato è anch'esso divisibile per 11. Se per esempio ho 8.291.778, è divisibile per 11 perché: (8 + 7 + 9 + 8) - (7 + 1 + 2) = 32 - 10 = 22. Vedrai più avanti che "scoprire" che un numero è divisibile per 11 ti darà la possibilità di accedere ad uno strumento di calcolo molto rapido ed efficace.

12) Criterio di divisibilità per 12: Un numero è divisibile per 12 se rispetta entrambi i criteri di divisibilità per 3 e per 4.

6

Come funziona la scomposizione per espressioni?

La "scomposizione in espressioni" consiste nello scomporre un numero in un insieme di moltiplicazioni e divisioni che semplifichino l'operazione originaria.

5 = 10 / 2. E quindi moltiplicare per 5 equivale a moltiplicare per 10 e dimezzare. Dividere per 5 invece porta ad invertire l'espressione, e quindi dividere per 10 e poi raddoppiare.

25 = 100 / 4. E quindi moltiplicare per 25 equivale a moltiplicare per 100 e dimezzare due volte. Dividere per 25 porta ad invertire l'espressione e quindi equivale a dividere per 100 e raddoppiare due volte.

75 = 300 / 4. E quindi moltiplicare per 75 equivale a moltiplicare per 100, poi triplicare ed infine dimezzare due volte. Dividere invece equivale a dividere per 100, poi raddoppiare due volte ed infine dividere per 3.

7

Come ci aiuta la scomposizione in espressioni?

Moltiplicazione x4: Raddoppia due volte Divisione /4: Dimezza due volte Moltiplicazione x5: Moltiplica per 10 e poi dimezza. Divisione /5: Dividi per 10 e poi raddoppia.

-Moltiplicazione x6: Raddoppia e poi triplica, o viceversa Divisione /6: Dimezza e poi riduci ad un terzo, o viceversa

-Moltiplicazione x7: Moltiplica per 10 e sottrai il triplo del numero originale (qui nota che non è possibile creare nessun criterio di divisione per 7, perché la scomposizione in addendi non è applicabile alla divisione, la scomposizione in fattori non è fattibile essendo 7 primo, ed una scomposizione in espressioni non è realizzabile.)

-Moltiplicazione x8: Raddoppia tre volte il numero originale Divisione /8: Dimezza tre volte il numero originale

-Moltiplicazione x9: Moltiplica per 10 e sottrai il numero originale Divisione /9: Dividi due volte per 3 (qua nota che abbiamo utilizzato un tipo di scomposizione per la moltiplicazione e l'altro tipo per la divisione)

-Moltiplicazione x11: Moltiplica per 10 ed aggiungi il numero originale

-Moltiplicazione x12: Moltiplica per 10 ed aggiungi il doppio del numero originale Divisione /12: Dimezza due volte, poi dividi per 3

-Moltiplicazione x13: Moltiplica per 10 ed aggiungi il triplo del numero originale

-Moltiplicazione x14: Moltiplica per 7 e poi raddoppia Divisione /14: Dimezza e poi dividi per 7

-Moltiplicazione x15: Moltiplica il numero originale per 10. Poi aggiungivi il numero originale moltiplicato prima per 10 e poi dimezzato. Divisione /15: Dividi per 3 e poi per 5

-Moltiplicazione x16: Raddoppia quattro volte Divisione /16: Dimezza quattro volte

-Moltiplicazione x17: Moltiplica prima per 10. Poi aggiungi lo stesso numero moltiplicato per 10 ma dal quale hai prima sottratto il triplo

-Moltiplicazione x18: Raddoppia, poi moltiplica per 10 e sottrai dal risultato il doppio del numero originale Divisione /18: Dimezza, poi dividi due volte per tre Moltiplicazione x19: Raddoppia, poi moltiplica per 10 e sottrai dal risultato il numero originale

-Moltiplicazione x20: Raddoppia e moltiplica per 10 Divisione /20: Dimezza e dividi per 10

8

La moltiplicazione per 11...

- Prendi la prima e l'ultima cifra del numero che vuoi moltiplicare per 11 e mettili come prima ed ultima cifra del risultato.
- Somma a due a due, da sinistra verso destra, le cifre del numero che vuoi moltiplicare per 11. Quindi inserisci tra le due cifre agli estremi, sempre da sinistra verso destra, i risultati di queste somme. Se poi una di esse dovesse dare più di 10, metti solo le unità ed aggiungi "1" alla cifra più a sinistra del risultato parziale.

Es.. 11 x 23 = metto il 2 a sinistra ed il 3 a destra ottenendo come risultato parziale 2_3. Sommando a due a due le cifre del 23 (che sono solo 2) ottengo 5. Lo metto nel mezzo ed ecco ottenuto il risultato della mia moltiplicazione: 253.
11 x 387 = metto il 3 a sinistra ed il 7 a destra. Ho quindi come risultato parziale 3_7. Sommando a due a due le cifre faccio 3 + 8 = 11. Scrivo 1 e riporto l'1 a sinistra rendendo il mio risultato parziale 41_7. Quindi, 8 + 7 = 15. Metto 5, riporto 1 ed ottengo 4257.

9

Metodo Trachtenberg...

si guarda esclusivamente al moltiplicando e si opera su di esso. Si parte dalla cifra delle unità del moltiplicando e si procede facendo delle operazioni una cifra alla volta, verso sinistra. Poi vedremo nel dettaglio COME effettuare queste operazioni. L'importante è che per ora tieni a mente la modalità e l'ordine attraverso cui si procede. La cifra alla destra di un'altra cifra viene detta "il suo vicino". E visto che ogni strategia di calcolo di Trachtenberg si basa sull'effettuare somme tra una cifra ed il suo vicino, questo è un concetto fondamentale. Prendiamo quindi per esempio 3792. Il vicino di 3 è 7, il vicino di 7 è 9, e quello di 9 è 2. Il "vicino" della cifra delle unità va considerato sempre 0. La cifra all'estrema sinistra di qualunque numero, invece, va considerata sempre come se fosse la vicina di un "inesistente" 0. Questo 0, attenzione, a differenza di quello di cui abbiamo parlato nel punto precedente, va considerato proprio come fosse una cifra del moltiplicando a tutti gli effetti, e solo dopo che si è operato su di esso il metodo si arresta. Un metodo semplice semplice per ricordarti di come funzionano i due zeri di cui si è parlato negli ultimi due punti? Almeno in un primo momento, prima di operare, potresti scriverli realmente ai lati del moltiplicando, facendo però attenzione a mettere quello a destra dopo una virgola. Trasformerai così, per esempio, un 1234 in 01234,0 od un 452 in 0452,0. Due zeri così disposti infatti non altereranno aritmeticamente il valore del numero e, nel contempo, ti aiuteranno a ricordarti molto più facilmente di dover partire dalla virgola ed arrestarti allo "0" più a sinistra. Quando nel metodo si richiede di "dimezzare" una cifra, e tale cifra è dispari, bisogna sempre arrotondare per difetto. Cioè, devi scrivere la metà intera del numero pari immediatamente inferiore. Quindi se ti viene chiesto di dimezzare 1 scrivi 0, per 3 scrivi 1, per 5 scrivi 2, per 7 scrivi 3, e così via. Identicamente a come accadeva in tante tecniche illustrate nei capitoli precedenti, ogni singola somma da luogo ad una cifra del risultato e quindi, qualora una di esse dovesse essere superiore a 10, va inserita nel risultato solo l'unità, mentre le decine vanno sommate come riporto al calcolo della cifra successiva.

10

Sposta, inverti e stupisci
moltiplicazioni...

28 x 45:
- Moltiplica le due cifre delle decine e mettile a sinistra nel risultato. Quindi, in questo caso ho 2 x 4 = 8____
- Moltiplica le due cifre delle unità e mettile a destra nel risultato. Quindi, in questo caso ho 5 x 8 = 40 ed il risultato parziale diventa 8___40
Ora moltiplica la decina di uno per l'unità di un altro e viceversa, e poi somma i due prodotti.
- Quindi, in questo caso ho (2 x 5) + (4 x 8) = 10 + 32 = 42. Ora hai come risultato parziale tre numeri: 8__42__40
- Adesso devi solo fare i riporti: come visto in tutti i metodi di somma o moltiplicazione illustrati finora, nei risultati finali bisogna inserire solo le unità dei risultati parziali, mentre le decine vanno sempre riportate alla cifra più a sinistra, quindi, banalmente ho che: Il 4 del 42 va riportato sull'8 a sinistra = 12_2_40 Il 4 del 40 va riportato sul 2 a sinistra = 12_6_0
- Quando gli ultimi due numeri sono composti da una sola cifra hai finito i riporti ed ecco il tuo risultato: 1260!

11

Moltiplicazione a croce scorrevole...
(2 cifre)

Per semplificarti le cose, inoltre, spiegherò solo come moltiplicare due numeri dotati della stessa quantità di cifre. Qualora poi avessi bisogno di moltiplicare numeri con quantità di cifre differenti, non dovrai fare altro che mettere a sinistra di quello più piccolo tanti zeri quanti ne servono per eguagliare il numero di cifre stesso. Ciò premesso, cominciamo con l'illustrare come si procede nella moltiplicazione 2 cifre x 2 cifre.
- Passo 1: Si incolonnano i numeri e si moltiplicano tra loro le unità. Il risultato di questo prodotto va messo a destra nel risultato parziale.
- Passo 2: Si moltiplicano le unità con le decine e le decine con le unità. Poi si sommano i prodotti. Il risultato della somma va inserito nel risultato parziale, a sinistra del risultato del passo precedente.
- Passo 3: Si moltiplicano tra loro le decine. Il risultato di questo prodotto va messo nel risultato parziale, a sinistra del risultato del passo precedente.
- Passo 4: Se uno qualunque dei risultati dei passi precedenti dovesse dare più di 10, le decine vanno riportate verso sinistra.

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Moltiplicazione a croce scorrevole...
(3 cifre)

- Passo 1: Si moltiplicano le unità tra loro ed il risultato si mette a destra.
- Passo 2: Si moltiplicano le unità con le decine e le decine con le unità. Si sommano i due prodotti tra loro ed il risultato della somma si mette alla sinistra del risultato del passo precedente.
- Passo 3: Ecco il passo mai affrontato prima, anche se il principio è sempre lo stesso: moltiplicare i numeri simmetricamente "opposti" tra loro e poi sommare i risultati dei prodotti. Svolgi quindi (Centinaia x unità) + (Decine x decine) + (Unità per centinaia). Poi metti il risultato alla sinistra del risultato del passo precedente.
- Passo 4: Adesso stai spostando la "croce" verso sinistra ed il metodo è quasi finito. Moltiplica le centinaia per le decine e le decine per le centinaia. Poi somma i prodotti e metti il risultato alla sinistra del risultato del passo precedente.
- Passo 5: Moltiplica tra loro le centinaia e metti il risultato del prodotto alla sinistra del risultato del passo precedente.
- Passo 6: Fai i riporti.

13

calcolo rapido della percentuale...

- 2%= Dividi il numero per 100 e poi raddoppialo (o viceversa)

- 5%= Dividi il numero per 10 e poi dimezzalo (o viceversa)

- 10%= Dividi il numero per 10

- 15%= Triplica il numero, poi dimezzalo e dividi per 10 (nell'ordine che preferisci)

- 20%= Dividi per 10 e raddoppia (o viceversa)

- 25%= Dimezza il numero due volte

- 30%= Triplica e dividi per 10. Se non è importante avere un risultato troppo preciso, potresti anche approssimare il calcolo del 30% al 33.3%, dividendo direttamente per 3

- 40%= Dividi per 10 e raddoppia due volte (o viceversa)

- 50%= Dimezza

- 60%= Raddoppia, poi triplica ed infine dividi per 10 (nell'ordine che preferisci)

- 70%= Non ci sono trucchi al di là del moltiplicare per 7 e poi dividere per 10. Se non è importante avere un risultato troppo preciso, potresti anche approssimare il calcolo del 70% al 66.6%, raddoppiando e poi dividendo per 3 75%= Triplica e poi dimezza 2 volte (o viceversa)

- 80%= Raddoppia 3 volte e poi dividi per 10 (o viceversa)

- 90%= Triplica 2 volte e poi dividi per 10 (o viceversa)

- 100%= Ovviamente è il numero completo

14

Moltiplicazione per numeri con decimali...

- x1,1: Aggiungi il 10%
- x1,8: Raddoppia ed elimina il 10%
- x2,2: Raddoppia ed aggiungi il 10%
-x2,4: Raddoppia ed aggiungi il 20%
- x2,5: Raddoppia ed aggiungi il 25%
- x2,7: Triplica ed elimina il 10%
- x4,5: Quintuplica ed elimina il 10%

15

Conversioni con le unità di misura straniere...

- Da pollici (inches) a centimetri: Un pollice è lungo circa 2.5 centimetri. Quindi per ottenere la relativa misura in centimetri puoi facilmente prendere i pollici, raddoppiarli ed aggiungere la metà.

- Da centimetri a pollici: Qui puoi usare la scomposizione in espressioni: se 2.5 = 25 / 10 = 10 / 4, allora puoi facilmente dividere per 2.5 invertendo il 10 / 4 e quindi raddoppiando due volte per poi dividere per 10.

- Da piedi (feet) a metri: Un piede è lungo circa 0.3 metri. Quindi qui potresti semplicemente approssimare a 0.33 e dividere per 3.

- Da metri a piedi: Fai l'opposto e moltiplica per 3. Da miglia (miles) a chilometri: Un miglio equivale a circa 1.61 chilometri. Se approssimi a 1.60, il che va più che bene sulle lunghe distanze in cui l'approssimazione non si "sente" troppo, puoi raddoppiare e rimuovere il 20%. Infatti 2 - 20% = 1.60.

- Da chilometri a miglia: Qui si può dividere per 1.6 moltiplicando facendo l'equivalenza 1.6 = 16 / 10. Quindi potresti moltiplicare per 10 e poi dimezzare 4 volte. Alternativamente, se vuoi qualcosa di meno preciso ma un po' più rapido, potresti considerare l'opposto, ossia che un chilometro equivale a circa 0.62 miglia e moltiplicare per 0.62. Qui anche ci può stare, per semplificare le cose, un'approssimazione a 0.66, ossia semplicemente rimuovi un terzo dalla misura in chilometri per ottenere le miglia.

- Da libbra (pound) a chilogrammo: Una libbra equivale a circa 0.45 kg. Quindi dato un peso in libbre, per ottenere l'equivalente in chili puoi dimezzare (moltiplicazione per 0.50) e poi levare il 10% (0.50 - 10% = 0.45). Semplice, no?

- Da chilogrammo a libbra: Un chilo equivale a circa 2.2 libbre. Quindi per moltiplicare per 2.2 ed ottenere la tua conversione puoi semplicemente raddoppiare ed aggiungere il 10%.

- Da gallone a litro: Un gallone vale circa 3,785 litri. Qui potresti approssimare a 3,80 e moltiplicare per 4 e poi eliminare il 5%

- Da litro a gallone: Un litro vale circa 0.26 galloni. Se approssimi a 0.25 dividi semplicemente per 4 ed hai risolto il problema.

16

Divisione attraverso sottrazioni...

- Se negli operandi ci sono virgole, usa la proprietà invariantiva per semplificarti visivamente la divisione ed eliminarle. Per esempio, se hai 56 / 0,23, trasformalo in 5600 / 23. Oh, e fai attenzione, perché nei prossimi passi ci riferiremo a questo 23 come "divisore originale". Ora fai in modo che dividendo e divisore abbiano lo stesso numero di cifre, moltiplicando il divisore per una potenza di 10 che permetta di soddisfare quest'eguaglianza. Per esempio, in questo caso, per far si che 23 abbia le stesse cifre di 5600 dovrai moltiplicarlo per 100, ritrovandoti quindi ora ad operare con 5600 e 2300. Attenzione: se dopo avere eguagliato le cifre il dividendo è minore del divisore, elimina uno zero dal divisore prima di andare al passo successivo. Sottrai ora ripetutamente il tuo dividendo dal nuovo divisore "aumentato", e fallo finché il risultato rimane positivo.
- Quindi, in questo caso hai: 5600 - 2300 = 3300. Sottrai ancora, 3300 - 2300 = 1000. Non puoi sottrarre più, o il risultato diverrebbe negativo. Conta quante volte hai sottratto. In questo caso sono 2, e quindi 2 è la prima cifra che devi scrivere nel risultato parziale (a destra della virgola, se hai messo virgole nei primi passi).
- Ora parti proprio dal risultato a cui ti sei fermato con le precedenti sottrazioni (in questo caso, 1000) e comincia a sottrarre, invece del divisore usato finora, il divisore diviso 10 (in questo caso quindi dovrai operare con 230 invece che con 2300), e ripeti sempre finché il numero rimane positivo.
- Nell'esempio quindi hai 1000 - 230 = 770. Ancora, 770 - 230 = 540. Poi 540 - 230 = 310 e 310 - 230 = 80.
- Fermati qui perché altrimenti si va verso i numeri negativi. Hai sottratto 4 volte e quindi puoi mettere 4 nel risultato parziale che, per ora, è 24. Se il numero al quale ti sei fermato (in questo caso, 80) è ancora maggiore del divisore originale (in questo caso, il 23), ripeti il passo precedente, partendo proprio dal numero a cui ti sei fermato con le precedenti sottrazioni e cominciando a sottrarre da esso il divisore nuovamente diviso per 10 (quindi invece che 230, comincia a sottrarre 23). Quindi in questo caso hai: 80 - 23 = 57 57 - 23 = 34 34 - 23 = 11
- E ti fermi all'11 visto che a sottrarre ancora il numero diverrebbe negativo. Hai sottratto 3 volte e quindi metti il 3 nel risultato parziale, che è 243. Attenzione: sei arrivato ad un numero, l'11, che è minore anche del divisore originale dell'intera operazione. Quindi il risultato parziale, 243, è anche il risultato finale.
Il numero a cui ti sei fermato, invece, è proprio il resto finale della divisione.

17

La prova del 9 per le addizioni e sottrazioni...

Ecco innanzitutto come può essere svolta la prova del 9 per l'addizione: Per ogni addendo, fai una somma delle sue cifre. Poi somma tra loro le cifre del risultato finché non hai un numero ad una sola cifra. Chiameremo questa operazione "Modulo 9" o, per abbreviarlo, Mod9. Tale operazione sarà la "base" della prova del 9 per tutte e quattro le operazioni ed il motivo per cui si chiama "Modulo 9" è che corrisponde al resto che si ottiene dividendo quel numero per 9. Per esempio, se devi fare 237 + 344, somma 2 + 3 + 7 = 12. Poi somma 1 + 2 = 3. Ora che hai ottenuto il modulo del primo addendo, fai la stessa cosa con il secondo e somma 3 + 4 + 4 = 11. Ed 1 + 1 = 2. Ora somma tra loro i Mod9 degli addendi e continua a sommare tra loro le cifre del risultato finché non hai un numero ad una sola cifra. Nel nostro esempio abbiamo avuto come somme finali 2 e 3. Quindi 2 + 3 = 5. Adesso prendi il risultato della tua addizione e fanne il Mod9. In questo caso, 237 + 344 fa 581. 5 + 8 + 1 = 14. 1 + 4 = 5. Notato? La somma dei moduli degli addendi ed il modulo del risultato sono uguali. Questo, attenzione, porta ad una considerazione molto importante, ossia: se le due somme finali non coincidono è sicuro che tu abbia sbagliato. Tuttavia, se le due cifre finali sono identiche non puoi mai essere sicuro che tu abbia davanti a te il risultato giusto. Insomma, la prova del 9 può farti capire se hai sbagliato ma non può darti la certezza su se tu abbia operato correttamente.
Per la sottrazione invece di sommare tra loro le cifre ottenute nel precedente passaggio, sottraile nello stesso ordine imposto dalla sottrazione e se ti ritrovi con un numero negativo, aggiungi 9.

18

La prova del 9 per la moltiplicazione e divisione...

- Dopo avere effettuato la tua moltiplicazione disegna una X su un foglio. Metti a sinistra il Mod9 del moltiplicando. Per esempio, se hai svolto 45 x 62, metti 4 + 5 = 9 Metti a destra il Mod9 del moltiplicatore. In questo caso 6 + 2 = 8. Metti nella parte alta il prodotto dei moduli trovati: 9 x 8 = 72. Anche qui è necessario fare il modulo finché non lo si riconduce ad una cifra sola, quindi fai nuovamente 7 + 2 = 9. Adesso metti nella parte bassa il Mod9 del risultato della moltiplicazione originaria. In questo caso hai che 45 x 62 = 2790. Ed in 2 + 7 + 9 + 0, abbiamo che il 9 si può considerare 0 e quindi vediamo immediatamente che il risultato è proprio 9. La verifica da effettuare qui è sempre la stessa: la cifra di sotto dovrà essere identica a quella di sopra. Come al solito, in caso affermativo abbiamo probabilmente agito bene, altrimenti avremo commesso sicuramente un errore.

- La prova del 9 per la divisione è identica a quella per la moltiplicazione, con la premessa necessaria di svolgerla tuttavia solo in presenza di risultati interi. In particolare, visto che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione, ossia se a / b = c allora c x b = a, non dovremo far altro che:

19

Quali sono i quadrati base?

1 al quadrato = 1
2 al quadrato = 4
3 al quadrato = 9
4 al quadrato = 16
5 al quadrato = 25
6 al quadrato = 36
7 al quadrato = 49
8 al quadrato = 64
9 al quadrato = 81
10 al quadrato = 100
11 al quadrato = 121
12 al quadrato = 144
13 al quadrato = 169
14 al quadrato = 196
15 al quadrato = 225
16 al quadrato = 256
17 al quadrato = 289
18 al quadrato = 324
19 al quadrato = 361
20 al quadrato = 400

20

Quadrati di numeri da 11 a 19...

- Aggiungi al numero le proprie unità.
- Moltiplica tale risultato per 10.
- Somma a tale risultato il quadrato delle unità.

Il quadrato di 17 quindi, per esempio, sarà:
- 17 + 7 = 24
- 24 x 10 = 240
- 240 + 49 = 289

21

Quadrati detto numeri che finiscono per 5...

Questa è una delle strategie di quadratura più note ed apprezzate, vista l'incredibile semplicità e rapidità di calcolo che offre.
- In particolare, se vuoi fare il quadrato di un numero che finisce per 5, non devi fare altro che:
- Moltiplicare il numero privato delle unità per il numero successivo.
- Apporre 25.
Facciamo subito un semplice esempio: qualora volessi ottenere il quadrato di 75, dovrei:

- volgere 7 x 8 = 56.

- Apporre 25 = 5625.