Mathe Flashcards
Didaktische Prinzipien (20 cards)
Stadien des Problemlösens
nach Polya
- Verstehen der Aufgabe
- Ausdenken eines Plans (Heuristiken einsetzen)
- Ausführen des Plans
- Rückschau
Arten des Begründens
- Berufung auf eine Autorität
- Definitives Schließen
- Induktives Schließen
- Reduktives Schließen
- Analogieschluss
- Wahrscheinlichkeitsaussagen
Tätigkeiten mit Formeln
nach Malle
- Aufstellen von Formeln
- Einsetzen von Zahlen und numerisches Berechnen von Größen
- Interpretieren einer Formel
- Herauslesen von Zusammenhängen
- Graphisches Darstellen von Zusammenhängen
- Umformen einer Formel im Kalkülrahmen
- Adaptieren einer Formel für bestimmte Zwecke
Ableitungszugänge
+ Grundverständnis
- Klassischer Zugang: Steigungsproblem
- > Ableitung als Tangentensteigung (GW der Sekantensteigung) - Lokale Änderungsrate
- > Bestand, absolute Änderung, relative Änderung (mittlere Änderungsrate), lokale Änderungsrate - Lokale Linearisierung
- > Tangente als bestapproximierende Gerade (Heranzoomen)
Integralzugänge
+ Ausgangspunkte
- Klassischer Zugang: Produktsummen
- > Integral als GW der Ober- und Untersumme - Integrieren als Rekonstruktion
- > von der Änderung zum Bestand (zunächst kontextbezogen) - Integrieren als Mitteln (kein Einstieg, nur Erweiterung)
- > Integral = (b-a)*f(x0) <=> f(x0)= Integral/(b-a)
Variablenaspekte
nach Malle
- Gegenstandsaspekt (Unbekannte)
- Einsetzungsaspekt (Platzhalter)
- simultaner Bereichsaspekt
- Veränderlichenaspekt
- Kalkülaspekt
Schemamodell für algebraische Umformungen
- Visuelle Informationsaufnahme
- Aufruf eines Schemas
- Kognitive Verarbeitung
- Handlung
Leitideen
in der Mathematik
Zahl Messen Raum und Form Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall
Denkstile
im Mathematikunterricht
nach Klein
- formal- algebraisch
- konstruktiv- geometrisch
- verbal- begrifflich
Bruner’sche Trias
- Enaktiv: konkretes Objekt/ konkrete Handlung
- Ikonisch: abbildendes (statisches oder dynamisches) Zeichen
- Symbolisch: Symbol (als Zeichen mit Spielregeln) und Operatoren
Kognitive Präferenzen
- prädikativ (statisch, in Beziehungen denkend)
- funktional (dynamisch, in Veränderungen denkend)
Begriffsbildung
- logisch (Erkennen des Objekts über seine definierten und abgegrenzten Eigenschaften)
- prototypisch (optisches Erkennen von Beispielen und Gegenbeispielen)
Semantische Konventionen
bei der Verwendung algebraische Ausdrücke
nach Malle
- Objekt- Zahl- Konvention
Variablen symbolisieren Eigenschaft eines Objekts, z.B. Anzahl oder Preis, und nicht die Objekte selbst - Prozess- Produkt- Konvention
Algebraische Ausdrücke können sowohl einen Prozess (a+b = addieren) oder ein Produkt (a+b= Darstellung einer bestimmten Zahl mit dieser Eigenschaft) symbolisieren - Handlungs- Beziehungs- Konvention
Algebraische Ausdrücke können sowohl eine Handlung (a+b = addieren) aufrufen oder die Beziehungen angeben (a+b=c: c ist um b größer als a) - Konvention der Bedeutungskonstanz
Innerhalb eines algebraischen Ausdrucks bleibt die Bedeutung eines Variable erhalten
Waageregel
+ Vorteile
“auf beiden Seiten das Gleiche tun”
A=B <=> A+C=B+C
\+ In einigen Fällen zweckmäßiger ("Kürzungsregel")
\+ Für spätere Regeln bedeutsam
(-A=-B, A^2=B^2)
\+ Herleitung weiterer Regeln
(A=B und C=D => A+C=B+D,
mit A=B <=> A*E=B*E Grundlage vom Gauß'schen Eliminierungsalgorithmus)
\+ Monotonieregeln für Ungleichungen
(A<b> A+C<b></b></b>
Elementarumformungsregel
+ Vorteile
“Hinüberbringen eines Gliedes auf die andere Seite der Gleichung”
Additiv: A+B=C <=> A=C-B (Streckendarstellung)
Multiplikativ: A*B=C <=> A=C/B (Strecken- oder Flächendarstellung)
+ Kein Zwischenzustand
+ Entspricht meist dem Denken der SuS
+ Zusammenhang zum Zahlenrechnen
+ Alle Gleichungen können auf 8 Strucktüren zurückgeführt werden
+ Umformungsschritt geht unmittelbar aus der Termstruktur hervor
Dreischritt-Modell vom Text zur Formel
nach Malle
+Fehler
- Text
- Konkret-anschauliche Wissensstruktur
(Text verstehen und ggf. anschaulich darstellen) - Formal-abstrakte Wissensstruktur
(Mathematischer Blickwinkel: geeignete Rechenoperationen, Reihenfolge der Rechenoperationen, mathematische Beziehungen erkennen,…) - Formel
Fehler:
Umkehrfehler durch Überspringen der formal-abstrakten Wissensstruktur
Kompetenzen im Mathematikunterricht
K1 Mathematisch argumentieren K2 Probleme mathematisch lösen K3 Mathematisch modellieren K4 Mathematische Darstellungen verwenden K5 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K6 Kommunizieren
Textaufgaben
nach Kruckenberg
A) Übungsaufgaben vorbereitenden Charakters
1. Aufgaben mit reinen Zahlen zur Auffindung von Zahlbeziehungen
- Reine Phantasieraufgaben ohne jede Rücksicht auf die Wirklichkeit (von den Bienen lassen sich 1/5 auf Blüten nieder, …)
- Konstruierte Wirklichkeitsaufgaben
- Aufgaben, die die Wirklichkeit verfälschen und zum Scheindenken führen (10 Arbeiter brauchen 30 Std, 10000 Arbeiter?)
- Lebensfremde Aufgaben (Wie viele Katzen haben 28 Beine?)
- Lebensnahe (fingierte) Aufgabe (Zinsrechnung mit fingiertem Prozentsatz)
- Lebenswahre (nicht fingierte) Aufgabe (Zinsrechnung mit tatsächlichem Prozentsatz)
B) Ernstaufgaben, die die augenblickliche Situation meistern sollen
Modellbildungskreislauf
nach Schupp
(Welt/Problem) Situation
Mathematisieren, Modellieren
(Mathematik/Problem) Modell
Deduzieren
(Mathematik/Lösung) Konsequenzen
Interpretieren
(Welt/Lösung) Ergebnis
Validieren
Strategien beim Variieren
+ Beispiele
- wackeln (geringfügig ändern)
x+5=7 => x+6=11 - spezialisieren (hinzufügen von Bedingungen)
Kosinussatz => Satz des Pythagoras - verallgemeinern (weglassen von Bedingungen)
Größtes Rechteck bei geg. Umfang => größtes Viereck bei geg. Umfang - ausloten (Grenzfälle betrachten)
A vom Trapez => A vom Parallelogramm, Rechteck, Dreieck - zerlegen in Teilprobleme
Regelmäßiges n-Eck => n-Eck mit gleich großen Winkeln/ gleich langen Seiten
