Meccanica Newtoniana Flashcards
Cosa si intende per determinismo laplaciano
Per determinismo laplaciano si intende che le soluzioni dell’equazioni di newton con forza assegnata sono univocamente determinate una volta determinate le condizioni iniziali.
Spiega il metodo di Newton (o Cauchy-Kowalewska)
La soluzione è analitica se la funzione è analitica. pg 7 dispense
Cos’è lo spazio degli stati (o delle fasi)
è lo spazio delle condizioni iniziali. Per lo studio della dinamica questo significa che non è solo lo spazio dei vettori posizione ma anche lo spazio dei vettori velocità, quinfi F=R^3 x R^3.
Data una forza F=F(x,v,t) si ha che il teorema di esistenza e unicità garantisce che esista una ed una sola soluzione dell’equazione di Newton a partire da un certo punto (x0,v0) dello spazio delle fasi
Teorema dell’energia cinetica, con dimostrazione
T punto =F scalar v. Per la dimostrazione scrivi T e derivi nel tempo, ricordando che la regola di leibniz vale anche per il prodotto scalare
Quando una forza ammette potenziale?
Se è definita su un aperto semplicemente connesso e il campo è irrotazionale, cioè rotF=0. Si ha F=-gradV, cioè F*dx=-dV
Enuncia e dimostra il teorema dell’energia e perché è una costante del moto
Se si hanno solo forze posizionali conservative (e quindi che ammettono potenziali) la derivata nel tempo dell’energia meccanica è nulla lungo ogni soluzione x=x(t) dell’equazione di newton F=ma. Per dimostrarlo si usa il teorema dell’energia cinetica e sostituendo -gradV al posto di F e scrivendo il gradiente come dp V/ dp x, dove x è un vettore, si ottiene che T punto =-V punto da cui rielaborando la tesi.
Da questo teorema si trova che E è costante su tutti i punti di un’orbita nello spazio delle fasi corrispondenti ad ogni particolare soluzione dell’equazione di newton, ogni variabile dinamica che goda di questa proprietà viene detta costante del moto
Cos’è il ritratto di fase
Se E è costante si avrà che E(x0,v0)=c. Per moti con un solo grado di libertà (es su una retta) si avrà uno spazio delle fasi bidimensionale e le superfici di livello si riducono o curve monodimensionali. Per ogni dato iniziale è ben definitoil valore dell’energia e allora il corrispondente moto nello spazio delle fasi èsi svolge proprio sulla corrispondente linea di livello dell’energia
Come si determina l’energia potenziale
dalla definizione di potenziale si trova facilmente che F(x)dx=-dV, da cui V è l’integrale da x0 a x di -F(x)dx.
Esempi a pg 22 dispense
Teorema del momento angolare
L punto = M
L=x vettorial p= mx vettorial v, con L momento angolare
M=x vettorial F, con M momento della forza
per dimostrarlo deriva L nel tempo
Come si comporta il momento angolare per forze centrali
è costante, quindi L punto=0. Per vederlo basta scrivere il Momento per forze centrali M=xvett vettorial f(r) xvett/r=0, con r modulo di xvett. Ma se L è costante il moto è piano, perché sarà costante sia in modulo che direzione che verso, ma quindi poiché ho un prodotto vettoriale nella definizione di L, si avrà che x e v sono vincolati nel piano perpendicolare a L ( da 3 gdl a 2)
Dimostra che la velocità per un campo di forza centrale e trova la formula generale per la velocità e l’accelerazione di un moto
pg 7-8 quaderno
Problema d n corpi e equazioni cardinali della dinamica (con dim) e condizioni necessarie per l’equilibrio di un sistema
pg 31 dispense e pg 9 quaderno
Potenziale in un problema ad n corpi
pg 33 dispense e 11 sul quaderno (leggi da tutte ed due le parti)
