MVE036 Satser och definitioner Flashcards
(41 cards)
När är ett koordinatbyte giltigt?
Ett koordinatbyte (x,y,z) (u1,u2,u3) är giltigt då det( delta(x,y,z)/delta(u1,u2,u3)) != 0.
Definition av ONHS
Koordinatsystemet (u1,u2,u3) sägs vara ett ortonormerat högersystem om e1 x e2 = e3, e2 x e3 = e1 och e3 x e1 = e2.
Formeln för längdelement
dr^2 = || d|r ||^2 = h1^2du1^2 + h2^2du2^2+h3^2du3^2
Formeln för ytareaelement
dSi = PI(j != i) hj*duj, ex. dS1 = h2h3du2du3
Formeln för volymelement
dV = h1h2h3du1du2du3
Grad i ONHS
nabla f = summa från i = 1 till 3 ( (1/hi * deltaf/deltaui)*ei)
Div i ONHS
nabla * |F = 1/(h1h2h3) summa från i = 1 till 3 ( delta/deltaui ( h1h2h3/hi fancyfi)
Laplacianen i ONHS
/_\ f = 1/(h1h2h3) summa från i = 1 till 3 ( delta/deltaui (h1h2h3/hi^2 deltaf/deltaui))
Curl i ONHS
1/(h1h2h3) *det( rad 1: h1e1 h2e2 h3e3 rad 2: delta/deltau1 delta/deltau2 delta/deltau3 rad 3: h1fancyf1 h2fancyf2 h3fancyf3 )
Definition av sfäriskt symmetrisk
En funktion f: |R^3 –> |R^3 sägs vara sfäriskt symmetrisk om f är oberoende av den sfäriska radien r.
=> deltaf/deltar = 0
Definition av stödet av f
Låt f: |R –> |R vara en funktion. Stödet av f ges av supp(f)= { x i |R : f(x) != 0 } med streck över. (slutna höljet)
Definition av kompakt stöd
En funktion f: |R –> |R sägs ha kompakt stöd om supp(f) är en begränsad mängd.
Def av C_0(|R), C^infinity(|R), C_0^infinity(|R)
C_0(|R) = { f: |R –> |R : f har kompakt stöd }, C^infinity(|R) = {f: |R –> |R : f är oändligt deriverbar } , C_0^infinity(|R) = C_0(|R) snitt C^infinity(|R), kallas för mängden av testfunktioner.
Definition av approximativ identitet
Låt phi vara en testfunktion med supp(phi) = [-1, 1] och integral över |R av phi(x) = 1. För delta>0 sätt phidelta(x) = 1/delta phi(x/delta). Då gäller - phidelta är också en testfunktion - supp(phidelta) = [-delta, delta] - integralen över |R av phidelta(x) = 1. Familjen av {phidelta : delta >0} kallas approxiamtiv identitet.
Prop: f = g om …
Låt f,g : |R –> |R vara kontinuerliga funktionerl. Om för varje phi som tillhör C_0^infinity(|R) gäller att integralen över |R av f(x)phi(x) = integralen över |R av g(x)phi(x), så gäller att f = g.
Definition av lokalt integrerbar
En funktion f: |R –> |R sägs vara lokalt integrerbar om f är Riemannintegrerbar på varje ändligt intervall
L_loc^1(|R) = {f: f är lokalt integrerbar}
Definition av lika nästan överallt
Låt f,g |R–> |R vara två funktioner. Vi säger att f och g är lika nästan överallt, och skriver “f = g a.e.”, om {x: f(x) != g(x)} är en nollmängd.
Sats om lok integrerbar och testfunk ==> f=g a.e.
Låt f,g tillhöra L_loc^1(|R). Om för varje phi som tillhör C_0^infinity(|R) gäller att integralen över |R av f(x)phi(x) = integralen över |R av g(x)phi(x), då är f = g a.e.
Definition av linjär funktional
Låt V vara ett vektorrum över |R. En linjär avbildning från V till |R kallas för en linjär funktional på V.
Definition av distribution
En distribution på |R är en linjär funktional på C_O^infinity(|R). Vi skriver u för en generisk distribution. Så u: C_O^infinity(|R) –> |R är en linjär avbildning.
Definition av derivata av u’
Låt u vara en distribution. Vi kan definiera en ny distribution u’ enligt
u’(phi) = -u(phi’) för varje phi som tillhör C_O^infinity(|R).
Definition av Heaviside-funktionen
Den endimensionella Heaviside-funktionen H:|R –> |R ges H(x) = 1, om x>= 0 eller 0, om x<0.
Definition av Dirac-delta distributionen
Den endimensionella Dirac-delta distributionen delta ges av delta = H’. Alltså: Dirac-delta är den linjär avbildning från C_O^infinity(|R) till |R som ges av delta(phi) = phi(0) för varje phi i C_O^infinity(|R).
delta(phi) = H’(phi) = -H(phi’) = - integral över |R av H(x)phi’(x) = - integral från 0 till infinity av phi’(x)dx = -phi(infinity) –phi(0) = phi(0)
Spegling för dirac-delta
delta(-x) = delta(x), rigoröst: delta_(phi) = delta(phi_) = phi_(0) = phi(-0) = phi(0) = delta(phi)
