Satser på bevislista Flashcards
(13 cards)
Varje C1 funktion är differienterbar
Om D är en delmängd av R^n och är en domän, då gäller att f tillhör C1(D) och f: R^n –> R implicerar att f är differentierbar.
Kedjeregeln för en sammansättning
Sammansättningen f(g1(t),…,gn(t)) är en deriverbar funktion och dess derivata är d/dt( f ( g1(t) , …, gn(t)) = Summa från p=1 till n deltaf/deltaxp(g1(t),…,gn(t))*dgp/dt.
Clairauts sats
Om f(x,y) tillhör C2(D) där D är en delmängd till R^2 och är en domän så gäller att f_xy = f_yx.
Taylors formel
Låt (a,b) tillhöra R^2 och låt f tillhöra C3(D) där D är en omgivning av (a,b). Då gäller att f(a+h,b+k) = f(a,b) + hf_x(a,b) + kf_y(a,b)+1/2(h^2f_xx(a,b)+2hkf_xy(a,b)+k^2*f_yy(a,b)) + Ordo(abs(H)^3) där H = (h,k).
Kont funkt. är integrerbara på kompakta rektanglar
Låt /\ = [a,b]x[c,d] vara en axelparallell rektangel och låt f: /\ –> vara en kontinuerlig funktion. Då gäller (i) f är integrerbar över /\ (ii) Båda de itererade enkelintegralerna existerar (iii) Dubbelintegralen av f över /\ är lika med de båda enkelintegralerna.
Gauss sats
Integralen av e^(-x^2) över hela |R är lika med sqrt(pi)
Volym av det n-dimensionella enhetsklotet
Låt my_n = vol(B_n) = vol( {X i |R^n där abs(X) <=1} ). Då gäller att my_1 = 2, my_2 = pi, my_n = 2pi/n * my_n-2 för varje n>=3.
Greens sats
Låt P och Q vara två C1-funktioner definierade i en öppen mängd omega i |R^2. Om det kompakta delområdet D av omega har en rand deltaD som utgörs av en eller flera styckvis C1-kurvor, alla med positiv orientering m.a.p. på D så gäller att S(deltaD) (Pdx+Qdy) = SS(D)(deltaQ/deltax-deltaP/deltay)dxdy
Kurvintegralen av ett konservativt fält är en potentialdifferens
Låt |F:|R^n–>|R^n vara ett potentialfält med potential phi i det öppna området omega i |R^n. Då gäller för varje C1-kurva gamme i omega att S(gamma)( |F*d|r) = phi(b) - phi(a), där a är startpunkten och b är slutpunkten.
Existens av en potential
Låt |F vara ett kontinuerligt fält i den öppna, bågvis sammanghängande mängden omega i R^n. Om S(gamma)(|F * d|r) är oberoende av väg (dvs för alla C1-kurvor gamma i omega) så gäller att |F är konservativt.
Gauss Divergenssats
Låt |F = (F1,F2,F3) vara ett C1-fält definierat i en öppen mängd omega i |R^3. Om det kompakta området K i omega har en rand deltaK som består av en eller flera C1-ytor och som är orienterad med utåtriktad normal så gäller SS(deltaK)(|FN^ dS = SSS(K)(nabla|F dV).
Stokes sats
Låt |F = (F1,F2,F3) vara ett C1-fält definierat i en öppen mängd omega i |R^3. Om Y är ett orienterat ytstycke i omega med orienterad rand deltaY så gäller att S(deltaY)( |F*d|r) = SS(Y)(nabla x |F) *N^dS
Varje potentialfält som är C1 är virvelfritt
Om |F är konservativ i den öppna mängden omega i |R^3 med potential phi, och om phi tillhör C^2, då är också |F virvelfritt
