Primo parziale Flashcards

Question

**Densità di poisson**

Answer 1

Quando abbiamo n prove (n molto grande) ma il peso del successo è molto molto piccolo Y~Bin(n,q) con n->∞ e q->0 e nq è circa 1 py(k) = e^(-λ)λ^k/k!

Answer 2

Una v.a. è assolutamente continua (a.c.) se Esiste una fx : R -> R tc P(s≤x≤t) = ∫₍ₛ ₜ₎fx(z)dz Proprietà: 1. fx(z) ≥ 0 2. ∫₍-∞ +∞₎ fx(z) dz = 1

Answer 3

una funzione costante a tratti che dipende da 2 paramentri "a" e "b", dove "a

Answer 4

quando una macchina non è soggetta ad usura: dopo che ha unzionato x volte in t>0 ha ancora la stessa probabilità di funzione per s > 0 di quando è nuova: Fₜ(t) = [1- e^-λt se t ≥ 0] o [ 0 se t < 0] fₜ(t) = [λe^-λt se t ≥ 0] o [0 se t < 0]

Answer 5

Sia "x" una v.a. a.c. tc P(x>0) = 1 con f.d.r. Fx(t) ≠ 1 per ogni t e densità fx si definisce densità di guasto: λ(t) = fx(t)/[1- Fx(t)] con t > 0

Answer 6

P(x > t+s|x>t) = P(x>t+s)/P(x>t) = [e^(-∫₍0 e t+s₎ λ(u) du)]/[e^(-∫₍0 e t₎ λ(u) du)] = e^(-∫₍t e t+s₎ λ(u) du Cosa sappiamo: - se λ[] è crescente -> P(x>t+s|x>t) < P(x>s) -> usura - se λ[] è decrescente -> P(x>t+s|x>t) > P(x>s) -> rodaggio - se λ[] =λ -> P(x>t+s|x>t) = P(x>s) -> non usura

Answer 7

λ(t) = aßt^(ß-1) dove: 1. ß < 1, t -> λ(t) decrescente 2. ß = 1, t -> λ(t)= λ costante 3. ß > 1 , t -> λ(t) crescente Fx(t) = 1 - e^(-at^ß) fx(t) = aßt^(ß-1) e^(-at^ß) X~Weibull(a,ß)

Answer 8

se X è una v.a. g:R->R una funzione, posso considerare la nuova v.a. -> y=g(x) Cosa succede con X a.c: 1. Fy(t) = P(y≤t) = P(g(x) ∈ (-∞, t]) = P(x ∈ g^-1((-∞ t])) = ∫₍g^-1((-∞ t])₎ fx(z)dz 2. fy(t) = d Fy(t) /dt

Answer 9

un quantile qᵧ=Fx^-1(γ) è definito di oridne γ di X sse [γ ∈(0,1) è fissato] ed Esiste un'unica qᵧ ∈ R tc Fx(qᵧ) = γ

Answer 10

Il valore attesso è una variabile aleatoria caso assolutamente continuo: E[x] =∫₍-∞ ∞₎ zfx(z)dz caso discreto: E[x]= ∑₍k∈I₎ kpx(k) Proprietà: 1. E[x] è il paramentro della densità di x 2. se fx è simmetrico rispetto a x=x0 -> E[x] = x0 = q₀,₅=mediana 3. E[x] non è definito se tende a ∞ 4. E[ag(x)+bh(x)] = aE[g(x)] + bE[h(x)] 5. E[ag(x)+b] = aE[g(x)] + b 6. se P(x≥0) = 1 -> E[x] ≥ 0 7. se P(g(x) ≥ h(x)) = 1 -> E[g(x)] ≥ E[h(x)] 8. se P(x≥c) = 1 -> E[x] ≥ c

Answer 11

La varianza di una v.a. X è il numero reale: var[x] = E[(x-E[x])^2] = ϑ^2 Proprietà: 1. var[x] è la dispersione della densita di x 2. var[x] non è definita se non lo è E[x] o E[x]^2 3. var[x] ≥ 0 4. var[x] = E[x^2] - E[x]^2 5. var[ax+b] = a^2 var[x] 6. per la derivata standard sd[x] = √(var[x]) si ha sd[ax+b] = |a|sd[x] 7. per standardizzazione z = (x-E[x])/√var[x] di x si ha E[z]=0 e sd[z]=1

Answer 12

La densità gaussiana di paramentri µ e ϑ^2 è: fx(z) 1/ϑ√(2π) e^(-1/2 (z-µ)/ϑ) X~N(µ, ϑ^2) Proprietà: 1. µx = mediana = µ 2. ϑx^2 = ϑ^2 3. ax+b ~ N(aµ+b, (|a|ϑ)^2) 4. se X~N(µ, ϑ^2) -> z = (x-µ)/ϑ 5. la f.d.r. di N(0,1) si indica con ϕ e si trova sulle tabelle

Answer 13

P((x-E[x])) ≤ var[x]/ε per ogni ε>0

Answer 14

Il momento di ordine k della v.a. X è il numero E[x^k]

Answer 15

La funzione generica dei momenti della v.a. X è la funzione mx:R->R e mx(t) = E[e^tx] Proprietà: 1. mx è la trasformata di laplace della densità di X 2. mx(t) in relatà è definita solo sui t per cui esiste E[e^tx] 3. mx=my -> x e y hanno la stessa densità

Answer 16

2-dimensioni: un vettore aleatorio è una fuinzione V(vettore) : Ω -> R^2 con V(vettore) = (x(w), y(w)) n-dimensioni: stessa cosa ma abbiamo X(vettore) : Ω -> R^n

Answer 17

la funzione di ripartizione di un vettore aleatorio è: Fx(vettore) (t) : R -> [0,1], dove Fx(vettore) (t1, ...,tn) = P("x1≤t1, ..., xn≤tn") Proprietà: 1. lim 𝑡𝑖→∞𝐹𝑋(𝑡1,…, ti-1, ti+1, ...,𝑡𝑛)=𝐹𝑋𝑖(𝑡𝑖) 2. lim ti→-∞FX(t1,…, ti-1, ti+1, ...,tn)=0 3. FX(t1,…,tn)≤min{FX1(t1),…,FXn(tn)} 4. FX(s1, ...,sn) ≤ FX(t1, ....,tn) se si≤ti

Answer 18

il vett. a. X è discreto se Xi è una variabile aleatoria discreta per ogni i: 1. S:= X1(Ω) = {X(w) ∈ R^n : X per ogni w ∈ Ω} 2. la densità discreta di X è pX : S -> R pX(K) = P(X = K) dove x1 = k1, .... 3. P(X ∈ D) = ∑₍K∈D∩S₎pX(K) 4. pX(K) ∈ [0,1] per ogni K 5. ∑pX(K) = 1 6. pxi(ki) = ∑k1∈s1...∑ki-1∈si-1∑ki+1∈si+1....∑kn∈sn pX(k1,...,kn) [tranne ki] = P(xi=ki) 7. pX è la densità coniugata di X 8. pxi èa la densità marginale di X

Answer 19

il vett.a. a.c. se esisesta una funziona fx:R^n->R tc P(X∈D) = integrale in D di (fX(Z)dZ Teorema: se X è un vett.a. a.c.: 1. xi è una v.a.a.c. 2. fxi(zi)=integrale in D di (fX(Z)dZ [tenendo fuori xi e zi]

Answer 20

le v.a. x,y si dicono indipendenti se gli eventi della coppia "x∈A" e "y∈B" sono indipendenti per ogni possibile scelta di A,B ⊆ R

Answer 21

Sono fatti equivalenti se: 1. E1, ..., En sono eventi indipendenti 2. 1E1,....,1En sono v.a. indipendenti

Answer 22

Le v.a. discrete x1,...,xn sono indipendenti sse p(x1,...,xn) (k1,...,kn) = px1(k1) x .... x pxn(kn)

Answer 23

Le variabili aleatorie a.c. x1,...,xn sono indipendenti sse: 1. (x1,...,xn) è vettore aleaotrio a.c. 2. f(x1,....,xn) = fx1(z1) x ... x fxn(zn)

Answer 24

se X:Ω->R^n è un vettore aleatorio e g:R^n -> R^m allora y=g(x) è un vettore aleatorio Discreta: py(k) = ∑₍h∈s|g(h)=k₎ px(k) Assolutamente Continua: Fy(t) = integrale di g^-1((-∞ t]) di fx(z)dz fy(t) = derivata di Fy(t) per tutte le ti presenti

Answer 25

Answer 26

Y = X1+X2 = g(X) con g:R^2->R e g(X)= X1+X2 Proprietà: 1. Fy(t) = ∫₍z|g(z) ≤ t₎ fx(z) dz = ∫₍z|z1+z2 ≤t₎ fx(z1,z2) dz1 dz2 = … = ∫₍-∞, +∞₎dz1 ∫₍-∞, t₎ du fx(z1, u-z1) 2. fy(t) = d/dt (Fy(t) = ∫₍-∞, +∞₎ fx(z, t-z) Attenzione se X1 e X2 sono indipendenti allora fx1+x2 = ∫₍-∞ e +∞₎fx1(z) fx2(t-z) dz

Answer 27

se a>0 e λ>0, la denstià Γ(a, λ) è: f(t) = [λ^a / Γ(a)] e^(-λt) 1[0, +∞] (t) Proprietà: 1. la costante Γ(a) soddisfa Γ(a+1) = aΓ(a) e Γ(1) = 1 2. Γ(1, λ) = ε(λ) 3. x1, x2 indipendenti e xi ~ Γ(ai, λ) -> x1+x2 ~ Γ(a1+a2)

Answer 28

Y = x1 + x2 = g(x) con g:R^2 -> R e g(X) = x1+x2 HP: X1(Ω) ⊆ Z e X2(Ω)⊆Z -> Y(Ω)⊆Z py(K) = ∑ (h∈Z) px(h, k-h) se x1 e x2 sono indipendenti -> py(K) = ∑ (h∈Z) px(h) p(k-h)

Answer 29

siano x1, ..., xn v.a e sia V := max{x1, ..., xn} e W := min{x1, ...,xn} **Legge di V:** Fv = P(v ≤ t) = P(max{x1, ..., xn} ≤ t) = P(x1≤t, ..., xn≤t) = Fx(t1,....,tn) casi particolari: 1. x1,...,x1n indipendenti -> Fv(t) = ∏ Fxk(t) 2. indipendenti e identicamente distrubuiti (iid) -> Fv(t) = Fx1(t)^n **Legge di W:** Fw(t) = P(min{x1, ..., xn} ≤ t) = 1 - P(min{x1, ..., xn} > t) = 1 - P(x1>t, ...., xn>t) casi particolari: 1. caso indipendenti -> Fw(t) = 1 -∏ P(Xk>t) 2. caso iid -> Fw(t) = 1 - ( 1-Fx1(t))^n

Answer 30

SIa X una vettore a. discreto e g:R^ -> R e Y = g(x) se ∑|g(x1,...,xn)|px(x1,..,.xn) < ∞ allora y ammette valore atteso E[Y]=∑|g(x1,...,xn)|px(x1,..,.xn)

Answer 31

SIa X una vettore a. a.c. e g:R^ -> R e Y = g(x) se ∫(R^n) g(x1,...,xn)fx(x1,...,xn) < ∞ allora Y ammette valore atteso E[x] = ∫(R^n) g(x1,...,xn)fx(x1,...,xn) Proprieta: 1. E[x+y] = E[x] + E[y] 2. se x e y sono indipendenti allora E[xy] = E[x]E[y] (non vale il viceversa) 3. var[x+y] = var[x] + var[y] - 2E[(x-E[x])([y-E[y])]

Answer 32

x1,...,xn indipendenti che ammettono funzione generatrice dei momenti mx1+...+xn(t) = E[e^t(x1+....+xn)] = ∏ E[e^txk] = ∏mxk(t)

Answer 33

la covarianza è definita nel seguente modo: cov[x,y] = E[(x-E[x])(y-E[y])] ρx,y = cov[x,y]/√(var[x]var[y]) proprietà: 1. cov[x,c] = 0 per ogni c appartenente a R 2. cov[x,y] = cov[y,x] 3. cov[ax+b,y] = a cov[x,y] 4. cov[x, ax+b] = a cov[x,y] 5. cov[x,y] = E[xy] - E[x]E[y] 6. se x e y indipendenti cov[x,y] = 0 (non vale vicevera) 7. |ρx,y,| ≤ 1 e |ρx,y| = 1 sse esiste a,b appartenti a R tc P(Y=aX+b) = 1

Answer 34

Siano x1,...,xn v.a. indipendenti e identicamente distrubuite (iid) allora Xn = 1/n ∑ xk proprietà: 1. se xk ammettono valore attesso -> E[Xn] = 1/n ∑ E[xk] = 𝜇 2. se Xk ammettono varianza -> var[Xn] = var[ 1/n ∑ xk ] = ϑ^2/ n

Answer 35

**legge debole:** sia (Xk)k≥1 v.a. iid che ammette 𝜇 = E[Xk] e ϑ^2 = var[Xk] -> ε > 0: lim (per n -> ∞) P(|Xn - 𝜇| > ε) = 0 **legge forte:** sia (Xk)k≥1 v.a. iid che ammette 𝜇 = E[Xk] e ϑ^2 = var[Xk]: P(lim (per n -> ∞) Xn = 𝜇) = 1

Answer 36

una variabile aleatoria (v.a.) è il risultato di una misura di un evento aleatorio, ovvero è una funzione X : Ω -> R

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