Secondo Parziale Flashcards

Question

**Valore atteso e varianza Media campionaria**

Answer 1

**Valore atteso** => E[X̅n] = µ ∀n∈N => X̅n è non distorta ∀n **Varianza** => var[X̅n] = σ²/n

Answer 2

**Valore atteso** => E[(S^2)n] = σ² => è simmetricamente non distorata di σ² per ogni n **Varianza** => var[(S^2)n] = 1/n [µ4 - ((n-3)/(n-1)) σ^4]

Answer 3

X1, ..., Xn campioni estratti da Fϑ, ϑ=(ϑ1, ..., ϑn)∈R^k X1 ha momento di ordine k: µ1 = E[X1], µ2 = E[X2] ... Voglio costruire un sistema Ĥ1, Ĥ2, ..., Ĥk di ϑ1, ..., ϑk in questo modo: [sistema:] * 1/n ∑₍i = 1 a n₎ Xi = µ1(ϑ1, ..., ϑn) * ... * 1/n ∑₍i = 1 a n₎ (X^k)i = µk(ϑ1, ..., ϑn) Dove vedo (ϑ1, ..., ϑk) come incognite del sistema Da qui ricavo la soluzione: * ϑ1 = d1(X1, ..., Xn) * ... * ϑk = dk(X1, ..., Xn)

Answer 4

Il campione è X1, ..., Xn estratto da fϑ, ϑ ∈ Θ ⊆ R* parametro incognito **funzione di verosomiglianza:** Sia (X1, ..., Xn) un relazione del campione t.c. fϑ(xi)>0 per ogni i=1,...,n allora la funzione di verosomiglianza è la funzione f : Θ -> R dato da: L(ϑ) = ∏₍i = 1 a n₎ fϑ(xi) **stima di massimizzazione di verosomiglianza:** La stima di massimizzazione di verosmiglianza di ϑ in corrispondenza della realizzazione di (X1, ..., Xn), è la quantità: tn(x1, ..., xn) := angmaxL(ϑ) => punto di massimo * caso discreto => L(ϑ) = Pϑ(X1=x1, ...,Xn=xn) * caso continuo => L(ϑ) = ∏₍i = 1 a n₎fϑ(xi) ≠Pϑ(X1=x1, ...,Xn=xn) **stimatore di max_verosomiglianza:** lo stimatore di max_verosomiglianza è: Ĥ := tn(X1, ..., Xn) => detto *MLE*

Answer 5

Sia X1, ..., Xn campione aleatorio estratto da fϑ, sia (Ĥn)n successione di stimatori di ϑ Sia (k(Ĥn)n)n la successione di MLE di k Allora valgono sotto apparente HP. di regolarità su fϑ e Sn k: * (k(Ĥn)n)n è asintoticamente in media quadratica come stimatore di k(ϑ) ovvero: sono asintoticamente non di stato e varϑ[k(Ĥn)n] -> 0 per ogni n * Per n molto grande k(Ĥn)n è approssimativamente gaussiano N(k(ϑ), σ²(ϑ)/k) dove: σ²(ϑ) = [(k^2(ϑ))^2]/Eϑ[(∂/∂ϑ (ln(fϑ(x1))))^2]

Answer 6

Sia X1, ..., Xn campione aleatorio estratto da Fϑ, con ϑ∈R parametro ignoto Sia k caratteristica della popolazione e a ∈ (0,1) **intervallo di confidenza bilaterale:** un intervallo di confidenza bilaterale per la caratteristica di livello 1-a è un intervallo aleatorio (T1, T2) => dove T1 e T2 sono statistiche: * T1 = t1(X1, ..., Xn) * T2 = t2(X1, ..., Xn) t.c. 1-a = Pϑ(T1 > k(ϑ) < T2) per ogni ϑ ammissibile *Oss*: * non ha senso dire K(ϑ) ∈ (t1(X1, ..., Xn), t2(X1, ..., Xn)) con prob 1-a <= non è piu una probab! * si dice invece con confidenza 1-a **intervallo di confidenza 1-a unilaterale:** Nello stesso quadro, un intervallo di confidenza 1-a unilaterale per k, è un intervallo del tipo: (T1, +∞) oppure (-∞, T2) t.c. 1-a = Pϑ(k(ϑ) > T1) oppure 1-a = Pϑ(T2 < k(ϑ))

Answer 7

Sia X1, ..., Xn campione aleaotorio estratto da Fϑ, con ϑ∈R parametro incognito Sia k caratteristica della popolazione e a∈(0,1) una quantità pivotale è una statistica: Qn = qn(X1, ..., Xn) t.c. la distribuzione di Qn è dipendente da ϑ Dato che FQn è indipendente da ϑ, fissato a => riesco a sceglere q1, q2 ∈ R t.c. 1-a = Pϑ(q1 < Qn < q2) per ogni ϑ Se riesco ad invertitre la disuguaglianza. => q1 < Qn < q2 -> t1(X1, ..., Xn) < k(ϑ) < t2(X1, ..., Xn)

Answer 8

**Varianza nota:** X1, ..., Xn ~ N(µ, σ²0) dove µ∈R parametro ignoto (µ = ϑ) e σ²0 è noto. Fisso a ∈(0,1) X̅n ~ N(µ, σ²0/n) => X̅n-µ/σ0/√n ~ N(0, 1) per ogni quantità pivotale bilaterale => 1-a = Pµ(-z₍a/2₎ < X̅n-µ/σ0/√n < z₍a/2₎) = Pµ (X̅n - z₍a/2₎σ0/√n < µ < X̅n + z₍a/2₎σ0/√n) unilaterale => 1-a = Pµ(X̅n-µ/σ0/√n < z₍a₎) = Pµ (µ > X̅n - z₍a/2₎σ0/√n) Attenzione => con a fissato e rispetto a n -> ampiezza diminuisce; fissato n e con a che diminuisce => aumenta ampiezza **Varianza NON nota:** X1, ..., Xn ~ N(µ, σ²0) dove ϑ=(µ, σ²0) ∈R parametro ignoto e k(ϑ) = µ X̅n-µ/σ0/√n ~ N(0, 1) per ogni ϑ=(µ, σ²0) Attenzione => non posso fare i passaggi di prima, non conosco σ²0 => quindi uso (S^2)n X̅n-µ/Sn/√n ~ t(n-1) per ogni µ bilaterale => 1-a = P₍µ,σ²0₎(-z₍a/2, n-1₎ < X̅n-µ/Sn/√n < t₍a/2, n-1₎) = P₍µ,σ²0₎ (X̅n - t₍a/2, n-1₎Sn/√n < µ < X̅n + t₍a/2, n-1₎Sn/√n) unilaterale => 1-a = P₍µ,σ²0₎(X̅n-µ/Sn/√n < t₍a, n-1₎) = P₍µ,σ²0₎ (µ > X̅n - t₍a, n-1₎Sn/√n) OSS=> se posso scegliere scelgo il primo

Answer 9

**Media NON nota:** X1, ..., Xn ~ N(µ, σ²) dove ϑ=(µ, σ²) ∈R parametro ignoto e k(ϑ) = σ² (S^2)n: stimatore di σ² (n-1)(S^2)n / σ² ~ X^2(n-1) per ogni µ,σ² bilaterale=> 1 - a = P₍µ,σ²₎(X^2₍1-a/2, n-1₎ < (n-1)(S^2)n / σ² < X^2₍a/2, n-1₎) = P₍µ,σ²₎((n-1)(S^2)n/X^2₍1-a/2, n-1₎ < σ² < (n-1)(S^2)n/X^2₍a/2, n-1₎) unilaterale=> 1 - a = P₍µ,σ²₎((n-1)(S^2)n / σ² < X^2₍a/2, n-1₎) = P₍µ,σ²₎(σ² < (n-1)(S^2)n/X^2₍a/2, n-1₎) **Media nota** X1, ..., Xn ~ N(µ, σ²) dove ϑ=σ²∈R parametro ignoto e µ è noto σ² = (S^2)0,n = 1/n ∑₍k=1 a n₎ (Xk - µ0)^2 non distorto n(S^2)0,n/σ² ~ X^2(n) Intervalli di confidenza: bilaterale => [n(S^2)0,n/(X^2)a/2,n ;n(S^2)0,n/(X^2)1-a/2,n] unilaterale => [n(S^2)0,n/(X^2)a,n ; +∞] oppure [-∞ ; n(S^2)0,n/(X^2)1-a,n] OSS => se µ0 noto conviene usare (S^2)0,n

Answer 10

X1, ..., Xn campione aleatorio generico con media µ = ϑ incognita e varianza σ² > 0 nota e nota stimatore X̅n di µ Se n molto grande => uso teorema centrale del limite: (X̅n-µ)/σ/√n≈N(0,1) per ogni µ ∈ R

Answer 11

X1, ..., Xn ~ B(p), p∈(0,1) è incognito p=E[X1] Stimatore di p := P̂n = X̅n = 1/n ∑Xk Se n è molto grande (campione molto numeroso) => teorema centrale del limite: P̂n ≈ N(p, p(1-p)/n) => normalizzo x trovare una quantità pivotale: (P̂n-p)/√(p(1-p)/n) ≈ N(0,1) per ogni p∈(0,1) => I.C per la p sarà => p ∈ (max{ 0, P̂n - Z₍a/2₎√(P̂n(1-P̂n)/n)}, min{1, P̂n + Z₍a/2₎√(P̂n(1-P̂n)/n)})

Answer 12

**IP. Statica:** Un'ipotesi statica è un'affernaziobe sul paramentro incognito della popolazione **Prop:** * H0 : ϑ ∈ Θ ⊆ R, dove Θ0⊆Θ : ipotesi nulla * H1 : ϑ ∈ Θ ⊆ R, dove Θ1⊆Θ : ipotesi alternativa * H0 ∩ H1 = ∅

Answer 13

un test di ipotesi è una procedura rigorosa per stabilire se una data realizzazione del campione conferma o meno l'ipotesi statistica **Obiettivo**=> non è dire se l'ipotesi è vera o falsa, ma se i dati confermano o meno

Answer 14

L'ipotesi nulla Θ0 si dice: * semplice => se dire che ϑ∈H0 caratterizza Fϑ * composta=> se dire che ϑ∈H0 NON caratterizza Fϑ **ES:** H0: Θ = 1 vs H1:Θ≠1 => semplice H0: Θ ≤ 1 vs H1:Θ>1 => composta

Answer 15

* Parto dallo stimatore X̅n di ϑ => Dati: (x1, ..., xn); Stima di ϑ : X̅n * Rifiuto H0 : ϑ = 1 => se |X̅n-1| > k con k>0 soglia arbitratia => la scelgo in modo tale da avere un livello di sicurezza

Answer 16

La regina critica del test è il sottoinsieme C⊆R* tale per cui rifiuto H0 sse la relazione (x1, ..., xn) ∈ C

Answer 17

**Def =>** l'Errore di 1^a specie, si verifica quando rifiuto H0, quando H0 è vera **Def =>** l'Errore di 2^a specie, si verifica quando accetto H0, quando H0 è falsa Il test è impostato in modo che errore 1^a specie => più grave della 2^a Idea: Fisso a ∈ (0,1) piccolo (a=0,01, a=0,05) e costruisco regione critica Ca in modo che la prob di fare errore di 1^a specie sia ≤ a **Def =>** Dato a ∈ (0,1) il test ha livello di significabilità (almeno) a se: Pϑ((x1, ...,xn) ∈ Ca) ≤ a per ogni ϑ∈Θ0 ovvero: sup Pϑ((x1, ...,xn) ∈ Ca) ≤ a per ogni ϑ∈Θ0 **Def =>** la curva OC del test è la funzione b:Θ -> R data da b(ϑ) = Pϑ(accetto H0) = Pϑ((x1, ...,xn) ∉ Ca) **Def =>** la funzione del test è π:Θ1 -> R => π(ϑ) = 1-b(ϑ) *operativamente:* * fisso a * costruisco test significativo a * calibro n in modo da ridurre errore 2^a specie <= cosi ho test di potenza alta

Answer 18

X1, ..., Xn iid, N(µ, (σ0)^2), con ϑ = µ appartenente a R e (σ0)^2 fissata e nota **Test Bilaterale:** H0 : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0 Stimatore di µ => X̅n = 1/n ∑Xk Ca={(x1, ..., xn) : |X̅n-µ0| > ka} => con ka > 0 da determinare in modo che la probabilità di errore di 1a specie è a => a = sup₍µ ∈ Θ0₎ Pµ((x1, ..., xn) ∈ Ca) = Pµ0(|X̅n-µ0| > ka) = [ X̅n ~ N(µ0, ((σ0)^2)/n ] = Pµ0(|X̅n-µ0|/σ0/√n > ka/σ0/√n) = 2 Pµ0((X̅n-µ0)/σ0/√n > ka/σ0/√n) => dove a/2 = P(Z>ka/σ0/√n) con Z ~ N(0,1) => Regione critica: Ca ={(x1, ..., xn): |X̅n-µ0|/σ0/√n > Z₍a/2₎} Calcolo P.value: |Z̄|> Z₍a/2₎ <=> φ(|Z̄|) > φ(Z₍a/2₎) = 1 - a/2 => φ(|Z̄|) > 1- a/2 => a > 2(1-φ(|Z̄|)) Curva OC: b(µ) = Pµ(accetto H0) = Pµ(|X̅n-µ0|/σ0/√n < Z₍a/2₎) = φ(Z₍a/2₎ + (µ0-µ)/σ0/√n) - φ(- Z₍a/2₎ + (µ0-µ)/σ0/√n) = 1-a Funzione potenza: Rifiuto H0 se |X̅n-µ0|/σ0/√n ≥ Z₍a/2₎ <=> µ non appartiene a ( X̅n - Z₍a/2₎/σ0/√n, X̅n + Z₍a/2₎/σ0/√n)

Answer 19

è una quantitò (0,1) associata ai dati t.c: 1. Per a ≥ p.value => rifiuto H0 2. Per a < p.value => accetto H0

Answer 20

X1, ..., Xn campione N(µ, (σ0)^2), con (σ0)^2 > 0 nota e ϑ = µ appartenente a R incognita con: **Unilaterali:** H0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0 **Bilaterali:** H0 : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0 (Guarda appunti PAG. 54)

Answer 21

PAG. 54 (fine pagina)

Answer 22

PAG. 55(inizio)

Answer 23

PAG. 55 (fine) e 56 (inizio)

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