Relationen und Funktionen Flashcards
(20 cards)
Was ist eine Relation?
Seien M und N Mengen.
R⊆MxN, also ist eine Relation eine Teilmenge einer Produktmenge (karthesisches Prdukt).
Wann ist eine Relation wohldefiniert?
Falls jedem x∈M höchstens ein y∈N zugeordnet ist, also (∀x∈M)(∃y,z∈N) sodass xRy ∧ xRz ⇒ y=z.
Wann ist eine Relation überall definiert?
Falls jedem x∈M mindestens ein
y∈N zugeordnet ist.
Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ist eine wohldefinierte und überall definierte Relation, man schreibt dann:
f={(x,y)∈MxN: y = f(x)}
Wie wird die Verkettung von Funktionen defininiert?
Seien M, N, O Mengen und seien
f : M → N, g : N → O Funktionen.
Dann ist die Verkettung g o f : M → O der beiden Funktionen definiert durch (g o f)(x) = g(f(x)).
Was ist eine Äquivalenzrelation?
Sei M eine Menge und ~⊆MxM ist eine Relation. Dann muss diese Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.
Wann gilt bei einer Äquivalenzrelation Reflexivität?
Wenn ∀x∈M: x~x.
Wann gilt bei einer Äquivalenzrelation Symmetrie?
Wenn ∀x,y∈M: x~y ⇔ y~x.
Wann gilt bei einer Äquivalenzrelation Transitivität?
Wenn ∀x,y,z∈M: x~y ∧ y~z ⇒ x~z.
Was ist eine Äquivalenzklasse?
Sei ~⊆MxM eine Äquivalenzrelation.
Dann gilt für m∈M die Äquivalenzklasse [m] := {x∈M : x ~ m}.
Was ist eine Ordnungsrelation?
Eine Relation ⪯ auf N heißt Ordnungsrelation, falls Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität gilt.
Wann ist eine Ordnungsrelation reflexiv?
Wenn ∀x∈N: x⪯x.
Wann ist eine Ordnungsrelation antisymmetrisch?
Wenn ∀x,y∈N: x⪯y ∧ y⪯x ⇒ x=y
Wann ist eine Ordnungsrelation transitiv?
Wenn ∀x,y,z∈N: x⪯y ∧ y⪯z ⇒ x⪯z
Wann ist eine Ordnungsrelation total geordnet?
Wenn ∀x,y∈N: x⪯y ∨ y⪯x
Was ist eine obere Schranke?
Sei (N,⪯) geordnet, M⊆N und a∈N.
Obere Schranke ist m⪯a ∀m∈M, also falls a nach jedem m kommt.
Was ist das Supremum?
Ist die kleinste obere Schranke.
Was ist eine untere Schranke?
Sei (N,⪯) geordnet, M⊆N und a∈N.
Untere Schranke ist a⪯m ∀m∈M, also falls a vor jedem m kommt.
Was ist das Infimum?
Ist die größte untere Schranke.
Wann ist eine Menge M beschränkt?
Wenn sie sowhol nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
