Sistemi dinamici a tempo continuo: variabili di stato Flashcards Preview

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Flashcards in Sistemi dinamici a tempo continuo: variabili di stato Deck (37):
1

Sistemi dinamici: caratteristiche

Legame dinamico tra u e y: y dipende non solo da u ma anche dallo stato x
Per determinare l'uscita, occorre conoscere, oltre all'ingresso, la condizione iniziale dello stato

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Classificazione sistemi

1) Sistema statico o dinamico, in base alla dipendenza di y da x
2) Lineare: f e g sono funzioni lineari di x e u
Non lineare: f e g sono funzioni non lineari di x e u
3) Tempo invariante: né f né g sono funzioni esplicite del tempo
Tempo variante: f o g sono funzioni esplicite del tempo
4) Ordine del sistema, in base al numero di variabili di stato
5) SISO: u e y sono scalari
MIMO: u e/o y sono vettoriali
6) Strettamente proprio: g non dipende direttamente da u
Proprio: g è funzione di u

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Rappresentazione di stato

Equazione di stato: x'(t)=f(x(t),u(t),t)
Trasformazione di uscita: y(t)=g(x(t),u(t),t)

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Rappresentazione sistemi LTI

x'(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)

x app R^n
y app R^p
u app R^m

A, B, C, D sono matrici a coefficienti costanti

A nxn, B nxm, C pxn, d pxm

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Scelta delle variabili di stato: criterio generale

x1=y
x2=y'
...
xn=y(n-1)

- > Equazioni di stato: x1'=x2, x2'=x3,..., xn'=y(n)=phi
Dove phi è l'equazione differenziale di ordine n che descrive il sistema

Variabili di stato associate in questo modo a fenomeni di accumulo

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Movimento di un sistema dinamico

Noti u(t), Vt > = 0 e x0=x(t0) condizione inziale,
Si chiama movimento dello stato la corrispondente soluzione dell'equazione di stato
Si chiama movimento dell'uscita la soluzione della trasformazione di uscita ottenuta sostituendo x e u

In sistemi TI si può sempre porre t0=0, x0=x(0)

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Movimento di equilibrio (sistemi TI)

Fissati x0=x_ costante e u(t)=u_ costante Vt > = 0
Se esiste un corrispondente movimento dello stato x(t)=x_ cost. e un movimento dell'uscita y(t)=y_ cost., x_ e y_ sono lo stato e l'uscita di equilibrio associati a u(t)=u_ e x0=x_

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Calcolo dell'equilibrio (sistemi TI)

Se esiste x_ di equilibrio, deve essere soluzione di:
0=f(x_,u_), perché x'=0
L'uscita è y_=g(x_,u_)

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Equilibrio nei sistemi LTI

0=Ax_+Bu_ - > Ax_=-Bu_
- > x_ = -A^-1 B u_

y_=Cx_+Du_=(-CA^-1B+D)u_

Esistenza di x_ dipende dalla matrice A:
- Se A è invertibile - > x_ esiste ed è unico
- Se A non è invertibile - > Ax_=-Bu_ può avere nessuna soluzione (zero stati di equilibrio) o infinite soluzioni (infiniti stati di equilibrio)

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Studio del movimento per sistemi LTI

Dato il sistema LTI:
x'(t)=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=Cx(t)+Du(t)

Dati u(t) Vt > = 0 e x(0) = x0
Calcolare x(t) e y(t) Vt > = 0

Si usano formule di Lagrange:
Movimento dello stato:
x(t) = e^At*x0 + int(0,t) (e^A(t-tau)*Bu(tau)dtau)
Movimento dell'uscita:
y(t) = Ce^At*x0 + Cint(0,t) (e^A(t-tau)*Bu(tau)dtau) + Du(t)

Entrambe le equazioni sono formate da due parti:
- Movimento libero: dipende solo dalla condizione iniziale
- Movimento forzato: dipende solo dall'ingresso

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Principio di sovrapposizione degli effetti per sistemi dinamici LTI

Se dati x(0)=x0' e u(t)=u'(t) si ottiene x'(t) e y'(t)
e dati x(0)=x0'' e u(t)=u''(t) si ottiene x''(t) e y''(t)
Allora dati x(0)=ax0'+bx0'' e u(t)=au'(t)+bu''(t) si ottiene
x(t)=ax'(t)+bx''(t) e y(t)=ay'(t)+by''(t)

In particolare, il movimento libero si ottiene da una condizione iniziale generica con ingresso nullo, il movimento forzato da un ingresso generico con condizione inziale nulla

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Linearizzazione

Dato un sistema non lineare tempo invariante, il sistema linearizzato approssima linearmente il sistema di partenza in un intorno di una condizione di equilibrio x_,u_,y_

Il sistema non lineare
x'(t)=f(x(t),u(t))
y(t)=g(x(t),u(t))
diventa:
δx'(t)=Alin δx(t) + Blin δu(t)
δy(t) = Clin δx(t) + Dlin δu(t)

Dove
δx(t) = x(t)-x_
δu(t) = u(t)-u_
δy(t) = y(t)-y_

E se il sistema è SISO:
Alin = dfi/dxj |x_,u_
Blin = dfi/du |x_,u_
Clin = dg/dxi |x_,u_
Dlin = dg/du |x_,u_

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Esponenziale di matrice

Definizione non operativa:
e^At = Σ(k=0, +inf) (At)^k/k!

Se A è diagonale:
e^At = diag(e^λit) , dove λi sono gli autovalori

Se A è diagonalizzabile:
e^At = T^-1 e^Adt T
dove T^-1 è formata dagli autovalori di A, e Ad è la diagonalizzata di A
- > Modi del tipo e^λt

Se A non è diagonalizzabile:
- > Modi del tipo e^λt e t^k*e^λt , k > = 1 legato alla differenza tra molteplicità algebrica e geometrica

Se A ha autovalori complessi e coniugati:
- > Modi del tipo e^(σ +- jω)t - > andamento oscillatorio
Oscillazioni crescenti all'infinito per σ > 0;
Oscillazioni smorzate per σ < 0
Oscillazioni di ampiezza costante per σ = 0

Se A ha autovalori complessi coniugati non regolari:
- > compaiono inoltre modi del tipo t^k*e^(σ +- jω)t

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Rappresentazioni equivalenti sistemi LTI

Se A è diagonalizzabile, esiste T matrice di trasformazione tale che T A T^-1 = Ad diagonale

Mediante questa matrice si può effettuare un cambio di coordinate equivalente dal punto di vista input/output, cioè trasformare il sistema originale in un sistema che con lo stesso ingresso produce la stessa uscita.
Si ottiene ponendo:

A* = TAT^-1 = Ad
B* = TB
C* = CT^-1
D* = D

Il movimento dello stato invece:
x(0) - > x(t)
x*(0) - > Tx(t)

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Stabilità: definizione generale

La stabilità è la proprietà per cui un movimento del sistema, a fronte di una perturbazione dello stato (delle condizioni iniziali), tende a ritornare nella condizione di partenza

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Movimento stabile

Il movimento si dice stabile se
Vε > 0 Eδ(ε) > 0 tale che se || x0p - x0n || < δ allora || xp(t) - xn(t) || < ε Vt > = 0

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Movimento instabile

Il movimento si dice instabile se non è stabile, cioè se xp(t) si discosta da xn(t) in norma tanto o più di ε per almeno una condizione iniziale perturbata appartenente a un intorno di raggio δ centrato in x0n

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Movimento asintoticamente stabile

Il movimento si dice asintoticamente stabile se
1) è stabile
2) è convergente, cioè lim(t - > inf) || xp(t) - xn(t) || = 0 Vx0p app Bδ(x0n)

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Regione di attrazione

Per stati di equilibrio asintoticamente stabili si definisce regione di attrazione l'insieme di condizioni iniziali che generano movimenti stabili e convergenti al movimento di equilibrio x_

Se la regione di attrazione R coincide con R^n, l'equilibrio si dice globalmente asintoticamente stabile

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Stabilità in sistemi LTI: proprietà

1) La stabilità non dipende dall'ingresso
2) La stabilità è una proprietà del sistema, non del singolo movimento, in relazione ai modi del sistema
3) La stabilità è funzione del solo movimento libero

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Stabilità in sistemi LTI e movimento libero

Un sistema LTI è
- Asintoticamente stabile se e solo se tutti i movimenti liberi, al variare della condizione iniziale, tendono a 0 per t - > inf, cioè xp(t) - > xn(t) per t - > inf. (La linearità impedisce che ci sia convergenza senza stabilità)
- Semplicemente stabile se e solo se tutti i movimenti liberi, al variare della condizione iniziale, sono limitati per t - > inf
- Instabile se e solo se esiste almeno una condizione iniziale tale che il movimento libero diverge per t - > inf

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Stabilità in sistemi LTI e matrice A

- A diagonalizzabile
Modi e^λit , λi app C per t - > inf : tendono a 0 se Re(λi) < 0; tendono a una costante se Re(λi)=0; tendono a inf se Re(λi) > 0

- A non diagonalizzabile:
Modi e^λit come prima
Modi t^k*e^λit per t - > inf : tendono a 0 se Re(λi) < 0; tendono a inf se Re(λi) < = 0

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Stabilità in sistemi LTI e autovalori

Criterio degli autovalori:
Un sistema dinamico LTI con equazioni
x'=Ax+Bu
y=Cx+Du
si dice:
1) Asintoticamente stabile se e solo se Re(λi) < 0 Vi
2) Semplicemente stabile se e solo se Re(λi) > = 0 Vi e Vi : Re(λi)=0 λi è regolare
3) Instabile se e solo se Ei : Re(λi) > 0 oppure Re(λi) < = 0 Vi e Ei : Re(λi)=0 e λi non è regolare

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Stabilità del movimento di equilibrio in sistemi non lineari TI: proprietà

1) A parità di u_ = cost., un sistema non lineare può ammettere un numero finito > 1 di punti di equilibrio
2) Ogni movimento di equilibrio ha la propria caratteristica in termini di stabilità, quindi non ha senso parlare di stabilità di un sistema non lineare

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Stabilità del movimento di equilibrio in sistemi non lineari TI: relazione con λi(Alin)

- Teorema 1: Se Re(λi(Alin)) < 0 Vi, allora il movimento di equilibrio del sistema non lineare è asintoticamente stabile (condizione solo sufficiente, non necessaria)

- Teorema 2: Se Ei : Re(λi(Alin)) > 0, allora il movimento di equilibrio del sistema non lineare è instabile (condizione sufficiente)

- Se Re(λi(Alin)) < = 0 Vi e Ei : Re(λi(Alin))=0 non si può concludere nulla sulle proprietà di stato del movimento di equilibrio del sistema non lineare, perché non è adeguata l'approssimazione lineare al primo ordine.

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Analisi di stabilità in sistemi LTI senza calcolare gli autovalori

- Condizione necessaria perché un sistema LTI è asintoticamente stabile è tr(A) < 0
- Condizione necessaria perché un sistema LTI è asintoticamente stabile è det(A) ! = 0

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Criterio di Routh-Hurwitz

Data una matrice A, le radici del suo polinomio caratteristico hanno tutte parte reale negativa se e solo se:
1) I coefficienti del polinomio sono concordi e non nulli (condizione necessaria)
2) Gli elementi della prima colonna della tabella di Routh sono concordi e non nulli (condizione sufficiente)

Nel caso n=1 o n=2 la prima condizione è necessaria e sufficiente

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Costruzione tabella di Routh

La tabella ha n+1 righe
formula...

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Traiettorie (sistemi LTI di ordine 2)

Traiettorie: proiezione del movimento sullo spazio di stato Rn, n ordine del sistema

Se n=2: traiettoria x2(x1)
Autovettore è una retta nel piano x2,x1
Verso di percorrenza dipende dal segno della parte reale dell'autovalore

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Autovalore dominante

Autovalore associato al polo che tende a 0 più lentamente

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Costante di tempo

Dato un autovalore λ, si chiama costante di tempo associata a λ : tau = 1/|Re(λ)|

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Piani invarianti

I piani X su cui evolvono le traiettorie sono detti piani invarianti

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Classificazione autovalori

Se ho un sistema LTI di ordine n si può scomporre
n = n- + n+ + n0

Con n- autovalori stabili, con Re < 0
n+ autovalori instabili, con Re > 0
n0 autovalori critici, con Re = 0

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Scomposizione Rn

Si può scomporre Rn in tre sottospazi invarianti
n- - > X- varietà stabile
n+ - > X+ varietà instabile
n0 - > X0 varietà centro

le tre varietà sono disgiunte, e la loro unione coincide con Rn

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Classificazione sistema LTI in base alla varietà

Se in un sistema LTI:
X- coincide con R^n (n=n-) il sistema si dice attrattore
X+ coincide con R^n (n=n+) il sistema si dice repulsore
X- unito X+ coincide con R^n il sistema si dice sella

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Forma delle traiettorie per n=2 in sistemi LTI

- Autovalori reali distinti, negativi: nodo stabile, sistema attrattore
- Autovalori reali distinti, positivi: nodo instabile, sistema repulsore
- Autovalori complessi coniugati, parte reale negativa: fuoco stabile, sistema attrattore
- Autovalori complessi coniugati, parte reale positiva: fuoco instabile, sistema repulsore
- Autovalori con parte reale nulla: centro (movimento sinusoidale)
- Autovalori reali, uno positivo, uno negativo: sella

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Riassunto: proprietà dei sistemi LTI asintoticamente stabili

1) Fissato u(t) = u_ cost. , lo stato di equilibrio è unico.
Infatti gli autovalori hanno tutti parte reale negativa, quindi nessuno è nullo, quindi A è non singolare e invertibile

2) Il movimento dello stato e dell'uscita dipende, a regime, solo dall'ingresso u(t).
Infatti, la parte libera tende a 0 per t - > inf; parte forzata comprende modi che tendono a 0, e termini della stessa forma della forzante

2A) Se u(t) = 0, allora x(t) e y(t) tendono a 0 per t - > inf

2B) Se u(t) diverge, allora x(t) e y(t) possono anche divergere per t - > inf (la stabilità riguarda solo il movimento libero)

2C) Se u(t) è una funzione del tempo limitata, allora l'uscita è limitata: proprietà di stabilità BIBO (Buonded Input Buonded Output)

3) Se u(t) = u_ cost. , allora l'uscita a regime vale:
y_ = (CA^-1B+D)u_
μ=CA^-1B+D si chiama guadagno statico