Skupovi Flashcards
(19 cards)
Osnovni odnos izmedju skupova i elemenata?
Osnovni odnos izmedju elementa i skupa je pripadanje.
izraz ‘‘a pripada A/ a je element skupa A/ a je sadrzan u A “ se pise a (pripada) A.
Izraz “a ne pripada skupu A” se pise a (ne pripada) A.
Zadavanje skupova?
Navodjenjem svi njegovih elemenata izmedju viticastih zagrada { i }.
Konacni skupovi se mogu zadati sa {v1, v2}, {v1,..,vn}
ako ima vise elemenata, {v1, v2, …} ako skup nije konacan.
Zadavanjem svojstva koji svi clanovi skupa moraju da imaju: A = {x | x ima svojstvo P(x) ili A = {x |P(x)}.
Rekurzivna (induktivna) definicija skupa A?
Skup A se moze definisati rekurzivno ili induktivno na sledeci nacin:
- Zadaju se polazni ili bazni elementi.
- Odredjuje se nacin na koji se pomocu odredjenih operacija iz prethodno definisanih elemenata mogu definisati drugi elementi skupa A.
- Skupu A mogu pripadati samo oni objekti koji se mogu dobiti primenom pravila 1 i 2 konacan broj puta.
Kada su skupovi jednaki?
Dva skupa su jednaka kada imaju iste elemente: A = B <=> (za svako x) (x pripada A <=> x pripada B)
Negacija se oznacava sa A (ne pripada) B.
Kada je neki skup podskup nekog skupa?
A je podskup skupa B, u oznaci A (podskup) B, ako su svi elementi skupa A sadrzani u skupu B:
A (podskup) B <=> (za svako x) ( x (pripada) A => x (pripada) B )
Odnos (pripada) se zove inkluzija.
Ako je A (podskup) B, i A (nejednako) B, onda se kaze da je A pravi podskup skupa B, u oznaci A (podskup bez crte dole) B.
Refleksivnost, (anti)simetricnost, tranzitivnost skupova.
refleksivnost: A = A;
simetricnost: A = B => B = A;
tranzitivnost: A = B ^ B = C => A = C;
refleksivnost: A (podskup) A;
(sve isto samo sa podskupom)
Kako graficki predstavljamo skupove?
Najcesce skupove predstavljamo uz pomoc Venovih dijagrama. Kod Venovih dijagrama skupovi su predstavljeni skupovima tacaka izvesnih geometrijskih figura, kao sto su krugovi ili elipse, i oblsati ravni koje nastaju presecanjem tih geometrijskih figura.
Razlika skupova?
Razlika skupova A i B je skup A \ B koji se definise sa
A \ B = {x|x (pripada) A ^ x (ne pripada) B) tj. to je skup svih elemenata iz A koji ne pripadaju B.
Teorema: Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Tada je X \ X = Y \ Y.
Dokaz:
x (pripada) X \ X <=> x (pripada) X ^ x (ne pripada) X <=> -T;
x (pripada) Y \ Y <=> x (pripada) Y ^ x (ne pripada) Y <=> -T;
odavde sledi da je X\X <=> Y\Y. To znaci da je razlika X\X ne zavisi od skupa X.
* -T je zapravo zapisano kao obrnuto T.
Prazan skup (kako se definise)?
Prazan skup, u oznaci (prazan skup iks de), definisemo kao skup X \ X
gde je X proizvoljan skup. Ili mozemo reci (prazan skup) = (x | x (nije jednako) x)
Dakle, to je skup koji nema elemenata.
Teoreoma: za svaki skup x vazi (prazan skup) (podskup) X.
Dokaz: Implikacija x (pripada) prazan skup => x (pripada) X je tacna jer je leva strana uvek netacna.
Presek skupova?
Presek skupova A i B, u oznaci A (presek) B, je skup koji sadrzi tacno one elemente koji se nalaze istovremeno u oba skupa. A (presek) B = {x | x (pripada) A ^ x (pripada) B}
Kada su skupovi disjunktivni?
Za skupove ciji je presek prazan skup kazemo da su disjunktivni.
Unija skupova?
Unija skupova A i B, u oznaci A U B, je skup koji sadrzi sve elemente koji se nalaze bar u jednom od njih.
A U B = { x | x e A v x e B}
Partitivni skup?
Partitivni skup je, u oznaci P(A), skup svih podskupova proizvoljnog skupa A: P(A) = {X | X (podskup) A}
Komplement skupa?
Ako je B (podskup) A, onda se razlika A \ B zove komplement skupa B u odnosu na A i oznacava sa CA(B):
CA(B) = A \ B = { x | x e A ^ A x (ne pripada) B).
(A je u indeksu kod CA)
Uredjeni par (n-torka)?
Sa {x, y} oznacavamo skup koji sadrzi elemente x i y, pri cemu je {x, y} isto sto i {y, x} tj. nije bitan redosled navodjenja elemenata. Zato se skup {x, y} naziva i neuredjeni par elemenata x i y. Ali ako je bitno koji je elemenat prvi a koji drugi u paru uvodimo oznaku (x, y), i to nazivamo uredjeni par elemenata x i y, pri cemu se x naziva prva a y druga koordinata. (x, y) = {(x), (x, y)}
Uopstenjem pojma uredjenog para sa n = 2 na bilo koji prirodan broj n, dolazimo do pojma uredjene n-torke. Uredjena n-torka (x1,..,xn) elemenata
x1, … , xn definise se induktivno:
(x1) = x1
(x1, …, xn) = {(x1, … , xn-1), xn)
Za bilo koje k (pripada) {1,..,n), element xk se naziva k-ta koordinata uredjene n-torke (x1 , …, xn).
Dva uredjena para/n-torke su jedna ako su im jednake odgovarajuce koordinate.
Dekartov proizvod skupova?
Dekartov proizvod dva skupa A i B u oznaci A x B je skup svih uredjenih parova sa 1. koordinatom iz A a drugom iz B:
A x B = {(a, b) | a (pripada) A i b (pripada) B}
Dekartov kvadrat skupa A, u oznaci A na kvadrat je skup A x A.
Dekartov proizvod n skupova A1 , .., An, u oznaci A1 x .. An ili P(cirilica) = 1^nAi, je skup svih uredjenih n-torki sa koordinatama iz odgovarajucih skupova:
A1 x … x An {(a1, …, an) | a1 (pripada) A1, …, an (pripada) An}.
Ako je A1 = A2 = … An = A onda se odgovarajuci dekartov proizvod u oznaci
A^n naziva Dekartov n-ti stepen: A^1 = A, A^0 = {prazan skup}
Familija skupova?(familijo?)
Neka je dat neprazan skup i nazvan indeksni skup, i neka je svakom elementu i koje pripada I pridruzen neki skup Ai. Tada mozemo formirati novi skup
{Ai | i (pripada) I} tako sto svaki element i u skupu I zamenimo odgovarajucim
skupom Ai. Dakle, elementi tog novog skupa su skupovi Ai i ovako definisan skup oznacavamo sa {Ai}i (pripada) I nazivamo familija skupova
Ai, i (pripada) I, indeksirana skupom I.
Unija familije skupova?
Unija familije skupova {Ai | i (pripada) I} definise se na sledeci nacin:
(ogromno U)Ai = (ogromno U){Ai | i (pripada) I) = po definiciji {
i (pripada) I
Znate kako ja cu ovo recenicom da izdiktiram jer ovo ne moze da se predstavi
Unija gde i pripada I, puta Ai jednako je Unija { Ai tako da i pripada I } jednako je po definiciji { x tako da POSTOJI i koje pripada I x pripada AI}
Uniju familije skupova mozemo shvatiti tako kao da smo uklonili opne koje razdvajaju elemente iz razlicitih skupova A i time sve te elemente objedinili u jedan skup. (napokon malo smisla)
Presek familije skupova?(FAMILIJOOOO)
isto unija samo sa presekom .
