Spazi Vettoriali Flashcards
(20 cards)
Spazio vettoriale
Uno spazio vettoriale su un campo k è un insieme non vuoto su cui si possono definire due operazioni:
- somma
- prodotto
Sottospazio vettoriale
Un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V su un campo K si dice sottospazio vettoriale di V sul campo K se W è contenuto in V.
Ogni K spazio vettoriale B almeno due sottospazi :
- v stesso = sottospazio improprio
- sottoinsieme zero (vettore nullo) = sottospazio nullo
Combinazione lineare
Sa V uno spazio vettoriale su K una combinazione lineare di elementi di V (v1,..,v_n) è una somma finita del tipo:
λ1v1+ …+ λ_n*v_n
λ1,…,λ_n £ k sono scalari
Componenti
Se s {v1,v2,v_n} è una base di uno spazio vettoriale V di dimensione finita e
V= λ1v1+ … + λ_n*v_n
Allora gli scalari sono le componenti di V relative alla base S
Sottospazi intersezione e somma
Dati due sottospazi u e w
- l’insieme u intersecato w costituito dai vettori che £ U ed a W è un sottospazio vettoriale V (sottospazio intersezione)
- L’insieme U+W dei vettori u+w con u £ U ed w £ W, è un sottospazio vettoriale di V (è un sottospazio somma)
Formula di grassmann
Siano V1 e V2 sottospazi dello spazio vettoriale V
dim (V1+V2)=dimV1+dimV2-dim(V1 ^ V2)
- ^ significa intersecato
Somma diretta
Siano V1 e V2 sottospazi dello spazio vettoriale V
V1 ^ V2 = {0} lo spazio somma V1 più V2 è uguale alla somma diretta
dim (V ⊕ V ) = dim V + dim
Sottospazio generato
Se v1, v2, … , v_n sono vettori di un k-spazio vettoriale V e se ogni vettore di V si può esprimere come combinazione lineare si dice che questi vettori generano V.
L’insieme W di tutti i vettori che generano V, è un sottospazio vettoriale di V detto sottospazio generato.
Indipendenza e dipendenza lineare
Siano v1,..,v_n vettori di uno spazio vettoriale V su un campo k. Essi si dicono linearmente indipendenti se l’unica loro combinazione lineare che dia il vettore nullo è quella a coefficienti tutti nulli.
Se v non soddisfano questa proprietà si dicono linearmente dipendenti.
Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti
v1,…,v_n sono linearmente indipendenti se e solo se ogni combinazione lineare di essi ha coefficienti unici.
Base
Sia V uno spazio vettoriale ed S = {v1, … , v_n } un sottoinsieme finito di vettori di V,
allora S è detto base di V se:
- i vettori di S generano V (sono un sistema di generatori)
- S è libero, cioè, è costituito da vettori linearmente indipendenti.
Caratterizzazione delle basi
Sono equivalenti:
- B, base;
- B, sistema di generatori minimale;
- B, sistema di vettori linearmente indipendenti massimale.
Caratterizzazione delle basi per spazi finitamente generati
Caratterizzazione delle basi per spazi finitamente generati
Sia V un k-spazio vettoriale finitamente generato, un insieme di vettori è una base se e solo se ogni vettore di V può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori di tale insieme.
Teorema di esistenza delle basi
Ogni spazio vettoriale V ≠ {0 } (non nullo) ammette basi.
Teorema di estrazione di una base
Sia V un k-spazio vettoriale non nullo e sia G un sistema di generatori di V. Allora esiste una base B contenuta in G.
Teorema di completamento di una base
Sia V un k-spazio vettoriale e sia L un insieme libero (un insieme di vettori linearmente indipendenti) contenuto in V. Allora esiste una base B che contiene L.
Dimensione
Uno spazio vettoriale non nullo V ha dimensione finita se contiene un insieme finito di vettori {v1, … , v_n} che è una base.
La dimensione di uno spazio vettoriale V non nullo di dimensione finita, dim V, è il numero di vettori di una base di V
IMPORTANTE!!!
Si chiama dimensione di uno spazio vettoriale non nullo la cardinalità di una sua base.
Lo spazio vettoriale nullo ha, per definizione, dimensione zero
Lemma di steinitz
Se S = {v1, … , v_n } è una base di uno spazio vettoriale V, allora ogni sottoinsieme di V contenente più di n vettori è costituito da vettori linearmente dipendenti.
Corollari
- Le basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita hanno la stessa cardinalità.
- La dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato è il minimo numero di generatori.
- La dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato è il massimo numero di vettori indipendenti.
