statistik

Question 1

Die statistischen Einheiten müssen

Answer 1

sachlich, räumlich und
zeitlich voneinander abgegrenzt werden und somit eindeutig
identifizierbar sein.

Question 2

Als Merkmal wird eine

Answer 2

Eigenschaft einer statistischen Einheit
bezeichnet, die in der statistischen Analyse betrachtet wird.

Question 3

Die Werte oder Kategorien, die ein Merkmal annehmen kann,
werden als

Answer 3

Merkmalsausprägungen bezeichnet.

Question 4

Eine an einer bestimmten statistischen Einheit festgestellte
Merkmalsausprägung wird .

Answer 4

Merkmalswert oder Beobachtungswert genannt

Question 5

Eine Nominalskala unterscheidet Merkmale nur nach

Answer 5

Gleichheit oder Verschiedenheit. Es existiert keine Rangordnung.

Question 6

Eine Ordinal- oder Rangskala liegt vor, wenn

Answer 6

die Merkmalswerte neben der qualitativen Unterschiedlichkeit eine natürliche
Rangordnung besitzen.

Question 7

Besitzt ein Merkmal die Eigenschaften eines ordinalen Merkmals
und ist zusätzlich noch die Interpretation der Abstände zweier verschiedener Merkmalsausprägungen möglich, so

Answer 7

kann das
Merkmal auf einer metrischen Skala (Kardinalskala) gemessen werden.

Question 8

Ein Merkmal heißt diskret, wenn

Answer 8

es nur endlich viele oder höchstens diskrete
abzählbar unendlich viele Ausprägungen besitzt (nominal skalierte Merkmale
Merkmale; Merkmale, deren Wert durch Zählen bestimmt wird).
Nominal- und ordinalskalierte Merkmale sind stets diskret.

Question 9

Dagegen heißt ein metrisches Merkmal stetig (kontinuierlich), wenn

Answer 9

stetige
es überabzählbar viele Ausprägungen hat, d.h. wenigstens in einem Merkmale
bestimmten Bereich können unendlich viele Werte angenommen werden.
Z.B. wird das Merkmal Einkommen als stetiges Merkmal behandelt, da
es in Berechnungen mit vielen Nachkommastellen eingeht und somit
überabzählbar viele Ausprägungen vorliegen können. Die tatsächliche
Angabe erfolgt dagegen meistens nur mit zwei Nachkommastellen.
Ebenso kann das Merkmal Wohnfläche auf viele Nachkommastellen
gemessen werden, wobei oft nur ganze m2 angegeben werden.

Question 10

Eine Skalentransformation kann als

Answer 10

Abbildung von einer
Menge Merkmalsausprägungen in eine anderere Menge Merkmalsäusprägungen angesehen werden. Dabei ist zu beachten,
dass die Ordnungseigenschaften der Skala erhalten bleiben.

Question 11

Je nach Skalenniveau sind verschiedene Transformationen zulässig, d.h.
durch die Transformation darf keine Information verloren gehen.

Answer 11

Question 12

Bei einer eineindeutigen Skalentransformation, wird

Answer 12

jedem
Wert der alten Skala genau ein Wert der neuen Skala (und umgekehrt) zugeordnet.

Question 13

Eine monotone Skalentransformation liegt vor, wenn

Answer 13

die
Rangordnung der Skalenwerte erhalten bleibt.

Question 14

Lineare Skalentransformationen nutzen

Answer 14

lineare Funktionen
der Form y = a+bx, wobei das Verhältnis der Abstände zwischen
den Skalenwerten erhalten bleibt.

Question 15

Die Klassierung von Merkmalsausprägungen stellt eine

Answer 15

Zusammenfassung benachbarter Merkmalsausprägungen zu einer
Klasse dar, wobei die vorgegebene Ordnung erhalten bleibt. Dabei sollten disjunkte Klassen mit möglichst gleicher Breite (Ausnahme: Randklassen) ausgewählt werden.

Question 16

Für diskrete Merkmale gilt als Faustregel, dass bei Vorliegen von n Merkmalswerten die Anzahl der Klassen √
n betragen soll. Die Gesamtzahl der
Klassen sollte aufgrund der Übersichtlichkeit die Zahl 20 nicht überschreiten. Eine Klasse wird mittels der

Answer 16

Klassengrenzen, der Klassenbreite
und der Klassenmitte eindeutig festgelegt.

Question 17

Als offene Randklasse wird die

Answer 17

erste oder letzte der geordneten
Klassen bezeichnet, wenn keine untere bzw. obere Klassengrenze
vorhanden ist.

Question 18

Liegt eine statistische Reihe vor, deren Beobachtungen aus nur einem
Merkmal bestehen, so wird eine eindimensionale (univariate) Häufigkeitsverteilung aufgestellt.
mehrdimensionale
Häufigkeitsvtlg.
Eine mehrdimensionale (multivariate) Häufigkeitsverteilung
ergibt sich, wenn

Answer 18

mehrere Merkmale gleichzeitig betrachtet werden.

Question 19

Ein Stab- bzw. Säulendiagramm veranschaulicht

Answer 19

bei Vorliegen
einer horizontalen Achse eine höhenproportionale Darstellung der
Häufigkeiten mittels Stäben bzw. Säulen.
Balkendiagramme besitzen eine vertikale Achse mit waagerecht
aufgetragenen Balken (längenproportionale Darstellung).

Question 20

bei Vorliegen
einer horizontalen Achse eine höhenproportionale Darstellung der
Häufigkeiten mittels Stäben bzw. Säulen.
Balkendiagramme besitzen eine

Answer 20

vertikale Achse mit waagerecht
aufgetragenen Balken (längenproportionale Darstellung).

Question 21

Ein Liniendiagramm/Kurvendiagramm ist eine

Answer 21

grafische Darstellung von Messzahlen oder Indexzahlen in einem Koordinatensystem durch Kurven bzw. geradlinig verbundene Punkte.

Question 22

Ein Histogramm ist eine

Answer 22

grafische Darstellung der Häufigkeiten eines klassierten, quantitativen Merkmals durch rechteckige Flächen
über den Klassen in einem Koordinatensystem. Es ist zu beachten,
dass die einzelnen Rechtecke des Histogramms unmittelbar aneinander schließen und nicht wie beim Säulendiagramm getrennt sind.

Question 23

Wird eine Nominalskala vorausgesetzt, bei der keine natürliche oder Nominalskala
vorgegebene Ordnung vorliegt, bieten sich

Answer 23

Flächendiagramme in Form
eines Kreisdiagramms an. Hierbei lässt sich am besten illustrieren, wie
die Gesamtzahl auf die einzelnen Ausprägungen aufgeteilt ist. Auch
Säulen-, Stab- und Balkendiagramme sind geeignete Darstellungsmöglichkeiten

Question 24

Liegt eine Ordinalskala vor, wird in der Regel auf

Answer 24

Säulen-, Stab- und Ordinalskala
Balkendiagramme zurückgegriffen, wobei auch hier Flächendiagramme
sinnvoll verwendet werden können.

Question 25

Die Summenhäufigkeit einer Merkmalsausprägung oder einer oberen Klassengrenze eines wenigstens ordinal messbaren Merkmals ist

Answer 25

die zugeordnete Häufigkeit aller Beobachtungswerte, die diese Merkmalsausprägung bzw. diese Klassengrenze nicht überschreiten.

Question 26

summenhäufigkeit bsp

Answer 26

Question 26

Lagemaße (Mittelwerte) geben die

Answer 26

zentrale Tendenz einer Beobachtungsreihe mittels einer einzigen charakteristischen Größe wieder, welche die beobachteten Merkmalswerte möglichst gut repräsentieren soll.

Question 27

Der Modalwert xmod einer Häufigkeitsverteilung ist jene Merkmalsausprägung, die

Answer 27

am häufigsten vorkommt. Es gilt somit h(xmod) = max j h(xj ) (Maximum über alle xj ).

Question 28

Der Median xmed zerlegt eine geordnete Reihe von Beobachtungswerten x(1), x(2), ..., x(n) in zwei gleiche Teile, so

Answer 28

dass unterhalb und oberhalb des Medians gleich viele Beobachtungswerte liegen. n ungerade: xmed = x( n+1/ 2 )

Question 29

Eine weitere wichtige Eigenschaft des Medians ist

Answer 29

seine Robustheit gegenüber Ausreißern, d.h. der Median reagiert nicht auf Veränderungen der Werte, die am Rande der Verteilung liegen.

Question 30

Der Median entspricht dem sogenannten 0.5-Quantil x0.5, dem Wert der

Answer 30

Beobachtungsreihe bis zu dem 50% der Beobachtungen liegen. Allgemein wird als p-Quantil xp(0 < p < 1) der Wert xi der geordneten Reihe p-Quantil x(1), ..., x(n) bezeichnet bis zu dem p% der Beobachtungen liegen.

Question 31

Bei vielen ordinalskalierten Merkmalen wie z.B. beim Rating von Fonds kann kein Durchschnittswert gebildet werden. Weitere Quantile, die einen speziellen Namen tragen, sind die Dezile 0.1-, 0.2-, ... bzw. 0.9-Quantile x0.1, x0.2, ..., x0.9, die auch als Dezile bezeichnet werden, und zwar als 10%-Dezil, 20%-Dezil,...,90%-Dezil, welche häufig mit 1.Dezil, 2.Dezil, ..., 9.Dezil abgekürzt werden. Der untere/obere Median entspricht somit

Answer 31

dem 50%-Dezil. Zu erwähnen sind weiter das Quartil untere Quartil x0.25 und das obere Quartil x0.75.

Question 32

ungewogene arithmetische Mittel

Answer 32

Question 33

gewogene geometrische Mittel

Answer 33

Question 34

Die Spannweite w ist als

Answer 34

Question 35

Die empirische Varianz s˜ 2 ist die

Answer 35

Question 36

Der Variationskoeffizient v ist eine relative Größe, welche

Answer 36

Question 37

Standardisierung von Daten

Answer 37

Question 38

Kurtosis

Answer 38

Question 39

Die Häufigkeitstabelle zweier metrischer oder ordinalskalierter Merkmale wird auch

Answer 39

Korrelationstabelle genannt.

Question 40

Die Verteilung nur eines Merkmals einer zweidimensionalen Häufigkeitsverteilung, wobei das andere Merkmal unberücksichtigt bleibt, heißt

Answer 40

Randverteilung oder marginale Verteilung.

Question 41

Die Kovarianz Cov(X, Y ) der gemeinsamen Verteilung der quantitativen Merkmale X und Y ist ein Maß für die

Answer 41

gemeinsame Streuung der beiden Merkmale. Das Vorzeichen der Kovarianz gibt die Richtung des vorliegenden Zusammenhangs an.

Question 42

Kontingenz bezeichnet den

Answer 42

Zusammenhang zwischen qualitativen Merkmalen und von Korrelation wird bei einem Zusammenhang zwischen quantitativen bzw. mindestens ordinalskalierten Merkmalen gesprochen.

Question 43

Zusammenhang zwischen qualitativen Merkmalen und von Korrelation wird bei einem

Answer 43

Zusammenhang zwischen quantitativen bzw. mindestens ordinalskalierten Merkmalen gesprochen.

Question 44

Formal nach Bravais

Answer 44

Question 45

Rangkorrelationseffizient

Answer 45

Question 46

Mit den tatsächlich beobachteten absoluten Häufigkeiten hjk und den sich bei Unabhängigkeit ergebenden absoluten Häufigkeiten wird die Hilfsgröße χ 2 (Chi-Quadrat) berechnet.

Answer 46

Question 47

Kontingenzkoeffizient

Answer 47

Question 48

Kontingenzkoeffizient Beispiel

Answer 48

Question 49

Invarianzeigenschaft

Answer 49

Werden in einer Kontingenztabelle Zeilen bzw. Spalten miteinander vertauscht, so ändert sich der Kontingenzkoeffizient nicht.

Question 50

Der Begriff Regression bezeichnet die Untersuchung der

Answer 50

Abhängigkeit der Veränderungen eines quantitativen Merkmals von Änderungen eines anderen quantitativen Merkmals (=einfache Regression) oder von Änderungen mehrerer quantitativer Merkmale (=mehrfache Regression). Zur Beschreibung dieser Abhängigkeit wird die Regressionsfunktion verwendet.

Question 51

(Kriterium der KleinstenQuadrate)

Answer 51

Die Koeffizienten der Regressionsfunktion werden so bestimmt, dass die Summe der quadrierten Abweichungen der Beobachtungswerte yi von den Regressionsfunktionswerten f(xi) ein Minimum wird

Question 52

Die Koeffizienten a und b heißen auch Regressionskoeffizienten:

Answer 52

Question 53

Die Koeffizienten a und b heißen auch Regressionskoeffizienten: Beispiel

Answer 53

Question 54

Punktschätzung:

Answer 54

Eine Punktschätzung entspricht der Angabe eines einzelnen Wertes für den zu schätzenden Parameter.

Question 55

Intervallschätzung

Answer 55

Abweichungen eines Punktschätzers vom wahren Wert sind in der Regel unvermeidlich. Daher wird eine Punktschätzung oft durch eine Intervallschätzung ergänzt. Dabei wird ein Intervall bestimmt, das den wahren, unbekannten Wert des Parameters mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit überdeckt.

Question 56

Der sich für bestimmte Stichprobenwerte x1, x2, ..., xn ergebende Wert Schätzwert, der Schätzfunktion g(x1, ..., xn) = t heißt

Answer 56

Schätzwert oder PunktPunktschätzung schätzung, d.h. ˆθ = t.

Question 57

Schätzfunktionen sind durch bestimmte Eigenschaften charakterisiert, die Auskunft darüber geben, wie gut Schätzfunktionen für bestimmte Zwecke geeignet sind. Behandelt werden an dieser Stelle drei wichtige Eigenschaften, nämlich die

Answer 57

Erwartungstreue, die Effizienz und die Konsistenz

Question 58

Eine Schätzfunktion T des Parameters θ heißt erwartungstreu oder unverzerrt (engl.: „unbiased“), wenn die

Answer 58

Beziehung E(T) = θ gilt, d.h. der Erwartungswert der Zufallsvariablen T entspricht dem wahren Wert des zu schätzenden Parameters

Question 59

Um eine erwartungstreue Schätzfunktion für die Varianz der Grundgesamtheit zu erhalten, wird die Stichprobenvarianz wie folgt definiert (Beweis s. Aufgabe 1 zu Kapitel 1):

Answer 59

Question 60

Eine erwartungstreue Schätzfunktion T für den Parameter θ einer Grundgesamtheit heißt effizient, wenn

Answer 60

T eine endliche Varianz besitzt und wenn es für θ keine andere erwartungstreue Schätzfunktion T ∗ gibt, welche eine kleinere Varianz als T besitzt. Es wird mit der Effizienz also die Forderung der Erwartungstreue und minimaler Varianz gestellt.

Question 61

Endlichkeitskorrektur

Answer 61

Question 62

Im Wesentlichen werden zwei Typen von Nullhypothesen unterschieden, und zwar zwischen

Answer 62

zweiseitigen Nullhypothesen (Punkthypothesen) und einseitigen Nullhypothesen (Bereichshypothesen).

Question 63

Fehler 1. Art, α-Fehler

Answer 63

Die Ablehnung einer zutreffenden Nullhypothese, obwohl sie richtig ist, wird als „Fehler 1. Art“ oder auch „α-Fehler“ bezeichnet. Die vorgegebene Wahrscheinlichkeit α heißt Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau.

Question 64

Fehler 2. Art, β-Fehler

Answer 64

Die Wahrscheinlichkeit β, mit der die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie falsch ist, heißt Fehler 2. Art oder β-Fehler.