Suites

Question 1

Etape 1 de la récurrence expliquée

Answer 1

Démontrer Pn
1. Initialisation
Pn pour n=0

Question 2

Etape 2 de la récurrence expliquée

Answer 2

2. Hérédité
   Soit n ∈ N
   On suppose Pn vraie (H.R)
   Montrons que Pn+1 vraie
   Inégalité = Hypothèse
   Egalité = Enoncé

Question 3

Etape 3 de la récurrence expliquée

Answer 3

3. Conclusion
   D’après le principe de récurrence, ∀n ∈ N, Pn est vraie.

Question 4

Lim n→+∞(n^k)

Answer 4

+∞

Question 5

Lim n→+∞(e^n)

Answer 5

+∞

Question 6

Lim n→+∞(1/n^k)

Answer 6

0

Question 7

Lim n→+∞(1/√n)

Answer 7

0

Question 8

Lim n→+∞(1/e^n)

Answer 8

0

Question 9

Lim n→+∞(√n)

Answer 9

+∞

Question 10

Les F.I

Answer 10

+∞-∞ ; ∞/∞ ; 0/0 ; 0 × ∞

Question 11

Lim n→+∞(-1× +∞)

Answer 11

-∞

Question 12

Lim n→+∞(1× +∞)

Answer 12

+ ∞

Question 13

Lim n→+∞(-∞ × +∞)

Answer 13

-∞

Question 14

Lim n→+∞(-∞ × -∞)

Answer 14

+∞

Question 15

Lim n→+∞(6/-e^n)

Answer 15

0

Question 16

Lim n→+∞(n^2/0+)

Answer 16

+∞

Question 17

Comment déterminer la limite d’un quotient entre 0 et un infini

Answer 17

0/∞ = 0
∞/0 = ∞
On suit la règle des signes.

Question 18

Forme par récurrence suite arithmétique

Answer 18

Un+1 = Un+r

Question 19

Forme par récurrence suite géometrique

Answer 19

Un+1 = q×Un

Question 20

Terme géneral / Forme explicite suite arithmétique

Answer 20

Un= Up + (n-p)r

Question 21

Terme géneral / Forme explicite suite géometrique

Answer 21

Un = Up × q^(n-p)

Question 22

Monotonie d’une suite arithmétique

Answer 22

r >0, croissante
r< 0, décroissante
r =0, constante

Question 23

Somme des termes d’une suite arithmétique

Answer 23

n(n+1)/2

Question 24

Somme des termes d’une suite géometrique

Answer 24

1− q^n+1/1− q

Question 25

Lim n→+∞(q^n)

Answer 25

q ≤ −1= pas de limite −1 < q < 1= 0 q = 1 = 1 q > 1=+∞

Question 26

Théorèmes de comparaison

Answer 26

1. Si, à partir d'un certain rang, Un ≤ Vn et Lim n→+∞(Un)= +∞ Alors Lim n→+∞ (Vn) = +∞ . 2. Si, à partir d'un certain rang, Un ≥ Vn et Lim n→+∞(Un) = −∞ Alors Lim n→+∞(Vn) = −∞ .

Question 27

Encadrement de sin (n)

Answer 27

-1≤ sin(n)≤1

Question 28

Théorème d’encadrement (théorème des gendarmes) :

Answer 28

Si, à partir d'un certain rang, Un ≤ Vn ≤ Wn et Lim n→+∞ (Un) = Lim n→+∞ (Wn) = L Alors Lim n→+∞ (Vn) = L .

Question 29

Un majorée

Answer 29

∃ M ∈ R; ∀ n, Un ≤ M .

Question 30

Un minorée

Answer 30

∃ m ∈ R; ∀ n, Un ≥ m .

Question 31

Un bornée

Answer 31

Si elle est à la fois majorée et minorée.

Question 32

Théorème de convergence monotone

Answer 32

1. Si Un croissante et majorée, elle converge. Si non majorée elle diverge vers +∞. 2. Si Un décroissante et minorée, elle converge. Si non minorée elle diverge vers −∞.

Question 33

Déterminer les variations.

Answer 33

Un ≤ ≥Un+1

Question 34

Suite arithmético-géometrique

Answer 34

Un+1 = aUn+b