Teoremi

Question 1

estensione definizione integrale per funzioni che differiscono di un numero limitato di punti

Answer 1

siano f e g : [ a, b ] → R limitate con f ∈ R [ a, b ]
se f = g tranne al più per un numero finito di punti, allora g ∈ R [ a, b ] e
∫ ( a ,b ) f (x) dx = ∫ ( a, b ) g (x) dx

Question 2

integrabilità delle funzioni continue

Answer 2

sia f : [ a, b ] → R continua. allora f è integrabile in [ a, b]
non vale il viceversa ( f può essere integrabile anche se non è continua )

Question 3

integrabilità delle funzioni monotone

Answer 3

sia f : [ a, b ] → R limitata e monotona. allora f è integrabile
( non chiede la continuità )
non vale il viceversa ( una funzione continua non monotona è integrabile )

Question 4

proprietà dell’integrale

Answer 4

siano f, g : [ a, b ] → R integrabili. allora:

• ∀ α, β ∈ R , la funzione α f(x) + β g(x) è integrabile e
  ∫ ( a ,b ) [ α f(x) + β g(x) ] dx = α ∫ f(x) dx + β ∫ g(x) dx
• se a <= r <= b allora f è integrabile in [ a, r ] e in [ b, r ]
  e ∫ ( a ,b ) f (x) dx = ∫ ( a ,r ) f (x) dx + ∫ ( r ,b ) f (x) dx
• se f (x) >= g (x) ∀x ∈ [ a, b ] allora
  ∫ ( a ,b ) f (x) dx >= ∫ ( a ,b ) g (x) dx
  in particolare se f (x) >= 0 ∀x ∈ [ a, b ], allora
  ∫ ( a ,b ) f (x) dx >= 0
  ( viceversa non vale )
• | ∫ ( a ,b ) f (x) dx | <= ∫ ( a ,b ) | f (x) | dx

Question 5

Teorema della media integrale

Answer 5

sia f : [ a, b ] → R continua. allora
∃ λ ∈ [ a, b ] : [ 1 / ( b - a ) ] ∫ ( a ,b ) f (x) dx = f ( λ )
( f assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo ) DA DIMOSTRARE

Question 6

primo teorema fondamentale del calcolo integrale

Answer 6

sia f ∈ Rp [ a, b ] , e sia F una sua primitiva qualsiasi.
Allora:
∫ ( a ,b ) f (x) dx = F ( b ) - F ( a )

DA DIMOSTRARE

Question 7

secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

Answer 7

sia f ∈ Rp [ a, b ] e sia x0 ∈ [ a, b ] fissato.
si consideri la funzione integrale di f
F ( x ) = ∫ ( x0 ,x ) f (t) dt ( funzione che a ogni x associa l’integrale tra x0 e x di f ( t ) )
allora :
1 ) F è continua in [ a, b ]
2) se f è continua in [ a, b ] allora F è derivabile in
[ a, b ] e F’ ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ [ a, b ]

DA DIMOSTRARE

Question 8

Proprietà della norma

Answer 8

1) || v || >= 0 e || v || = 0 se e solo se v = 0 ( proprietà di positività )
2) ∀λ ∈ R, || λv || = | λ | || v || ( proprietà di omogeneità )
3) || v + w || <= || v || + || w || ( disuguaglianza triangolare )
4) | v ∙ w | <= || v || ∙ || w || ( disuguaglianza di Cauchy - Schwartz )

Question 9

ortonormalizzazione di Gram - Shmidt

Answer 9

sia V svps di dimensione n. allora:

1) V ammette sempre una base ortonormale
2) se V1 è sottospazio di V di dimensione m < n, allora è sempre possibile costruire una base di V del tipo e1, … , en dove e1, … , em sono una base ortonormale di V1 e gli ultimi n - m vettori ( em+1, em+2, … , en ) sono una base ortonormale di V1⊥

Question 10

teorema di Laplace

Answer 10

il determinante della matrice quadrata A di ordine n è la somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga o colonna per i rispettivi complementi algebrici

Question 11

proprietà del determinante

Answer 11

sia A matrice quadrata di ordine n
1) se A ha una riga o una colonna di zeri, allora il suo determinante è 0
2) scambiando due righe o due colonne, il determinante cambia segno
3) se A ha due righe o due colonne uguali, allora il suo determinante è 0
4) ?
5) se ad una riga ( o colonna ) si aggiunge una combinazione lineare delle altre righe o colonne, il determinante non cambia
6) se le righe ( o le colonne ) sono L.D, allora det(A) = 0
7) det ( λA ) = λ^n det(A)
8) se A è triangolare ( in particolare se A è diagonale )
det(A) = a11 a22 … ann (prodotto degli elementi sulla diagonale principale )
9) se A e B sono matrici quadrate dello stesso ordine, allora det(AB) = det(A) det(B)
10) det(A) = det(AT)

Question 12

teorema del rango

Answer 12

siano a1, … , ar vettori riga di Rn ( r < n ) e sia A la matrice di ordine ( r, n ) che ha per righe questi vettori.
a1, … , ar sono L.D. se e solo se ogni sottomatrice quadrata di ordine r estratta da A ha determinante nullo.
conseguenze:
- a1, … , ar sono L.I. se ∃ una sottomatrice quadrata di ordine r con determinante ≠ 0
- n vettori di Rn sono L.I se e solo se la matrice che si ottiene accostandoli ha determinante ≠ 0

Question 13

Teorema di Knonecker

Answer 13

condizione necessaria e sufficiente affinché RG( A ) = K è che esista un minore non nullo di ordine K e siano tutti nulli i minori di ordine K + 1 ottenuti da quello orlando con una qualsiasi altra riga o colonna

Question 14

teorema della matrice inversa

Answer 14

condizione necessaria e sufficiente affinché esista A^-1 è che det ( A ) ≠ 0. in tal caso
A^-1 = ( 1 / det ( A ) ) ( matrice composta dai complementi algebrici TRASPOSTA )

Question 15

teorema di Binet

Answer 15

date due matrici A e B aventi lo stesso numero di righe, det ( A B ) = det ( A ) det ( B )

Question 16

Teorema di rappresentazione delle applicazioni lineari

Answer 16

siano V e W spazi vettoriali su K di dimensioni n ed m rispettivamente.
Sia L : V → W una applicazione lineare.
fissata { v1, …, vn } base di V e { w1, …, wn } base di W,
∃! ( esiste ed è unica ) matrice A di tipo ( m, n ) che rappresenta L.
DA DIMOSTRARE

conseguenza: la composta di due applicazioni lineari è anch’essa lineare.

Question 17

Teorema di nullità più rango

Answer 17

siano V e W spazi vettoriali su K di dimensione n ed m rispettivamente, e sia L : V → W applicazione lineare. Allora:
n = dim Ker ( L ) + dim Im ( L )

dove n è la dimensione dello spazio di partenza 
dim Ker ( L ) è nullità
dim Im ( L ) è il rango 

DA DIMOSTRARE

Question 18

Teorema di Cramer

Answer 18

supponiamo che ( S ) sia un sistema lineare quadrato
( m = n ). se detA ≠ 0 allora ∃! soluzione x, data da
x = ( A ^ -1 ) b
la componente xi di x è data dalla formula
xi = ( det Bi ) / det A
dove Bi è la matrice quadrata che si ottiene da A sostituendo alla colonna i il vettore b

in caso di sistemi quadrati omogenei ( b = 0 ), il teorema di cramer dice che
se det A ≠ 0 abbiamo solo la soluzione banale x = 0
se det A = 0 esiste sempre almeno una soluzione non banale

Question 19

Teorema di Rouchè - Capelli

Answer 19

si consideri il sistema S ( non necessariamente quadrato ). si consideri la matrice B ottenuta orlando A con la colonna dei termini noti.
allora S ha soluzioni se e solo se
rango ( A ) = rango ( B )

DA DIMOSTRARE

Question 20

primo criterio di diagonalizzabilità

Answer 20

una matrice A nxn a coefficienti in K è diagonalizzabile su K se e solo se lo spazio Kn possiede una base fatta da autovalori di A. in tal caso detti h1, … , hn gli autovettori di tale base e λ1, … , λn i corrispondenti autovalori, vale che A = S ∧ S^-1
dove ∧ è la matrice diagonale avente i λi sulla diagonale principale e S è la matrice ottenuta affiancando gli h vettori colonna h1, … , hn

Question 21

secondo criterio di diagonalizzabilità

Answer 21

• una matrice A nxn ad elementi in C è diagonalizzabile su C se e solo se i suoi autovalori sono tutti regolari
• una matrice A nxn ad elementi in R è diagonalizzabile su R se e solo se ammette n autovalori ( contati con la loro molteplicità ) e tutti gli autovalori sono regolari

Question 22

teorema spettrale

Answer 22

sia A matrice nxn a coefficienti reali e simmetrica. allora A è diagonalizzabile su R con una matrice di passaggio ortogonale, cioè ∃ ∧ diagonale ed M ortogonale :
A = M ∧ M^-1 = M ∧ Mt