Trigonometriska samband, satser och mer

Question 1

cos2x kan skrivas om som?

Trigonometri

Answer 1

cos^2x-sin^2x
2cos^2x-1
1-2sin^2x

Question 2

sin2x kan skrivas om som?

Trigonometri

Answer 2

2sinxcosx

Question 3

Hur förlänger man cos(x+y)?

Trigonometri

Answer 3

cosxcosy-sinxsiny

Question 4

Hur förlänger man sin(x+y)?

Trigonometri

Answer 4

sinxcosy+sinycosx

Question 5

Vad är hjälpvinkelsmetoden?

Trigonometri

Answer 5

asinx + bcosx = Asin(x+p)
där A = sqrt(a^2+b^2)
och p antingen är sinp = a/A eller cosp = b/A

Question 6

Skriv om sin^2x

Integral

Answer 6

(1-cos2x)/2

Question 7

Skriv om cos^2x

Integral

Answer 7

(1+cos^2x)/2

Question 8

cos(-x) = ?

Trigonometri

Answer 8

cosx

Question 9

sin(-x) = ?

Trigonometri

Answer 9

-sinx

Question 10

cos(pi-x) = ?
sin(pi-x) = ?

Trigonometri

Answer 10

cos(pi-x) = cosx
sin(pi-x) = -sinx

Question 11

Härled randvinkelsatsen

Trigonometri

Answer 11

Randvinkel i en cirkel är hälften så stor som medelpunktsvinkeln som spänner över samma cirkelbåge.

Question 12

Härled areasatsen

Trigonometri

Answer 12

Area = 1/2 · ab · sinC;
där a och b representerar längd av triangeln och kapitaliserade C representerar vinkeln mellan längderna.

Question 13

Härled sinussatsen

Trigonometri

Answer 13

sinA/a = sinB/b = sinC/c

Question 14

Härled cossinussatsen

Trigonometri

Answer 14

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc · cosA

Question 15

Härled logarithmlagarna.

Hur ser ln(34x^2) förlängd?

Logarithm

Answer 15

lnx + lny = ln(x · y)
lnx - lny = ln(x/y)
lnx^n = n · lnx
e^lnx = x

ln(34x^2): ln34 + 2lnx

Question 16

Hur ser gränsvärdet för ln(x) då:
x → inf
x → -inf
x → 0+
x → 0-

Gränsvärde

Answer 16

ln(x) blir då:
inf
ej def
-inf
ej def

Question 17

Härled Mclaurinutveckling för följande funktioner:

ln(1+x)
e^x
(1+x)^a

Maclaurin & Taylor

Answer 17

ln(1+x) = 0 + x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + (x^n)/n + B(x)
e^x = 1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/3! + (x^4)/4! + (x^n)/n! + B(x)
(1+x)^a = 1 + ax + ax^2(a-1)/2 + ax^3(a-1)(a-2)/3! + ax^4(a-1)(a-2)(a-3)/4! + ax^n((a-1)…(a-(n-1))/n! + x^(n+1)B(x)

Question 18

Härled Maclaurinutveckling för följande funktioner:
sinx
cosx
arctanx

Maclaurin & Taylor

Answer 18

sinx = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + … + (-1)^(n-1) · x^(2n-1)/(2n-1)! + x^(2n+1)B(x)
cosx = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + … + (-1)^(n-1) · x^(2n)/(2n)! + x^(2n+2)B(x)
arctanx = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + … + (-1)^(n-1) · x^(2n-1)/(2n-1) + x^(2n+1)B(x)

Question 19

Hur beräknar man geometrisk summa förenklat?

Gränsvärde

Answer 19

a1(k^n-1)/(k-1);
a1 är första summan
k är kvoten
n antal termer i summa

Question 20

Hur följer satsen för Maclaurinutvecklingen?

Maclaurin & Taylor

Answer 20

Antag att funktionen f har kontinuerliga derivator (minst) till och med ordning n + 1 i en omgivning av punkten 0.

Antag vidare att:
f(x) = c0 + c1x + c2x^2 + … cnx^n + x^(n+1)B(x)

Där B(x) är begränsad nära x = 0. Då är detta en Maclaurinutveckling av funktionen f; dvs. qn(x) = c0 + c1x + c2x^2 + … cnx^n är Maclaurinutvecklingen av ordning n.

Question 21

Hur följer satsen för resttermen för Maclaurinutvecklingen?

Maclaurin & Taylor

Answer 21

Nästan samma som Maclaurinutvecklingen, men B(x) ersätts med Rn+1(x) där:

Rn+1(x) = f^(n+1)(ξ)/(n+1)! · x^(n+1)

för något ξ mellan 0 och x.

Question 22

För vilka x konvergerar dessa serier?

e^x
ln(1+x)
(1+x)^a

Gränsvärde

Answer 22

e^x = alla reella tal
ln(1+x) = -1< x ≤ 1
(1+x)^a = -1 < x < 1

Question 23

För vilka x konvergerar dessa trigonomiska serier?
sinx
cosx
arctanx

Gränsvärde

Answer 23

sinx = cosx = alla reella tal
arctanx = -1≤ x ≤ 1

Question 24

Vad är kravet för att använda l’hôpital regel?

Gränsvärde

Answer 24

Gränsvärdet f(x)/g(x) då x→a blir antingen 0/0 eller inf/inf, då a ∈ ℝ
Funktionerna f(x) och g(x) måste vara deriverbara i ett öppet intervall kring a (förutom eventuellt vid a själv).
Derivatan g’(x) ≠ 0 i ett intervall runt a (igen, eventuellt exkluderat a).

Då kan man använda regeln vilket blir då:

f’(x)/g’(x)

Question 25

Vilka varianter finns det för att lösa en homogen lösning på differential ekvation i andra ordning? | Differentialekv.

Answer 25

Finns tre variationer för homogen lösning av: r^2+ar+b=0 Reella rötter: y = C1e^r1​x + C2e^r2x Dubbelrot: y = (C1+C2x)e^rx Komplexa tal: r = α±iβ ⇒ y = (C1cosβx+C2sinβx)e^(αx)

Question 26

Vilka varianter finns det för att lösa en partikulär lösning på differential ekvation i andra ordning? Hur fungerar det då högerledens ekvation är "ful"? | Differentialekv.

Answer 26

Polynomfunktioner: Ax+B; Ax^2+Bx+C ... Trigonometriska funktioner: Sinx; Cosx; Tanx ... Exponentiella funktioner: e^x; lnx ... Om högerleden är ful kan den partikulära lösningen beräknas genom: yp = yp1 + yp2 + ...

Question 27

Hur beräknas första ordning differentialekvation? | Differentialekv.

Answer 27

y′+P(x)y=Q(x) Den integrerande faktorn μ(x) beräknas som e^(∫P(x)dx) och multipliceras över hela ekvationen sådan att ∫d/dx(μ(x)y) = ∫μ(x)Qx

Question 28

Vad är tabellformeln för e^ax? | Integral

Answer 28

1/a · e^ax + C

Question 29

Vad är tabellformeln för xe^ax? | Integral

Answer 29

1/a^2 · e^ax · (ax - 1) + C

Question 30

Vad är tabellformeln för xsin(ax) och xcos(ax)? | Integral

Answer 30

För sin: -x/a · cos(ax) + 1/a^2 · sin(ax) + C För cos: x/a · sin(ax) + 1/a^2 · cos(ax) + C

Question 31

Vad är tabellformeln för xe^(-x^2)? Om det är x^(2n+1)e^(-x^2)? | Integral

Answer 31

-1/2e^(-x^2) -1/2x^(2n) · e^(-x^2)

Question 32

Vad är tabellformeln för lnx? | Integral

Answer 32

x(lnx - 1) + C

Question 33

Vad är tabellformeln för xlnx? Eller om det är x^n · lnx? | Integral

Answer 33

För xlnx: x^2/2 · lnx - x^2/4 + C Om det är x^n · lnx: x^(n+1)/(n+1) - x^(n+1)/(n+1)^2, då n ≠ -1 WIP

Question 34

Om nämnaren skrivs som (x - a)(x - b), hur ser partialbråkuppdelningen? | Integral

Answer 34

A/(x - a) + B/(x - b)

Question 35

Om nämnaren skrivs som (x^2 + 1), hur ser partialbråkuppdelningen? | Integral ## Footnote Exempel på irreducibel kvadratisk faktor då det kan ej fördelas till (x - a)(x - b)

Answer 35

Ax+B/x^2+1 | OBS! om det hade varit (x^2+1)^2 som nämnare: Ax+B/x^2+1

Question 36

Om nämnaren skrivs som (x - a)^n, hur ser partialbråkuppdelningen? | Integral

Answer 36

A/(x - a) + B/(x - a)^2 + C/(x - a)^3 + ... + R/(x - a)^n

Question 37

Om nämnaren skrivs som en kombination av irreducibel och reducibel faktorer, hur ser partialbråkuppdelningen? Ange exempel denna gången.

Answer 37

Ex. P(x)/(x-1)(x^2+4) ⇒ A/(x-1) + Bx+C/(x^2+4)

Question 38

Härled kedjeregeln. | Derivata

Answer 38

f'(g(x)) = f'(g(x)) ⋅ g'(x)

Question 39

Härled kvotregeln. | Derivata

Answer 39

f'(x)g(x) - f(x)g'(x) / (g(x))^2

Question 40

Härled partialintegration. | Integral

Answer 40

∫ u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)] - ∫ u'(x)v(x) dx

Question 41

För partialintegration kan man använda sig av LIATE regeln. Vad står det för? | Integral

Answer 41

Ordningen att priotisera vilken att välja för u(x). Det står för: - Logarithmer - Inverse trigonometri - Algebraiskt - Trigonometriskt - Exponentiell

Question 42

Hur skrivs rotationsvolymen kring x-axeln? | Integral

Answer 42

V = π ∫ f(x)^2 dx

Question 43

Hur skrivs rotationsvolymen kring y-axeln?

Answer 43

V = 2π ∫ xf(x) dx

Question 44

Definiera vad som menas med att funktionen f är kontinuerlig, respektive deriverbar i punkten x = a | Derivata

Answer 44

Om lim x→a f(x) = f(a), så är det kontinuerlig i a. Samma princip för inversen, om funktionen är definerad i intervallet. Om gränsvärdet lim h→0 (f(a+h)-f(a))/h existerar och är ett ändligt tal, så är f deriverbar i a. Detta är då funktionens derivata, vilket är f'(a).

Question 45

Definiera vad som menas med att f är deriverbar i a. | Derivata

Answer 45

Om gränsvärdet lim h→0 (f(a+h)-f(a))/h existerar och är ett ändligt tal, så är f deriverbar i a. Detta är då funktionens derivata, vilket är f'(a).

Question 46

Definiera för en funktion f vad som menas med att ”f är kontinuerlig i punkten a" Vad innebär det då för inversen? | Gränsvärde

Answer 46

Om lim x→a f(x) = f(a), så är det kontinuerlig i a. Samma princip för inversen, om funktionen är definerad i intervallet.

Question 47

Hur följes Moivres formel? | Komplexa tal

Answer 47

För varje positivt heltal n gäller (e^iθ)n = e^iθn = (cosθ+isinθ)^n = cosθn + isinθn

Question 48

Hur skissar man, resp. optimiserar man en funktion? | Optimisering

Answer 48

1 - Leta var funktionen är definerad resp. ej definerad samt inkl. nollställen 2 - Derivera funktionen för att hitta kritiska punkter; kolla även där derivatan inte existerar, om det är en positivt värde där f'(x) = 0, då anses funktionen öka, annars minskning om det är negativt. 3 - Derivera funktionen en gång till för att hitta terasspunkter (vid behov) 4 - Asymptot identifiering där: a) Vertikala asymptoter: Finns ofta där funktionen är odelbar (nämnaren = 0) b) Horisontella asymptoter: Bestäms av lim x→±∞ f(x) c) Sned asymptot: Om f(x) ∼ ax + b när x→∞, dvs växer som en rät linje 5 - Skissa då Markera då dessa ovan till en skiss.

Question 49

Hur löser man ett komplext tal polär form? | Komplexa tal

Answer 49

z = r^(1/n) · (cos((θ+2kπ)/n)+isin((θ+2kπ)/n), k=0,1, ... ,n−1 Ex. z^4 = -4 r^4 = 4 ⇒ r = sqrt2 4θ = π + k2π ⇒ θ = π/4 + kπ/2 k ∈ ℤ

Question 50

Hur löser man ett komplext tal biomiskt? | Komplexa tal

Answer 50

Genom att skriva om z = a + bi och lösa det antingen som en andragradsekvation, konjugat, m.m.

Question 51

Det finns två typer av lösningar inom trigonometri, hur löses det? | Trigonometri

Answer 51

Sin: A = B + 2πn och A = π - B + 2πn Cos: A = B + 2πn och A = -B + 2πn

Question 52

Vad är normalen till kurvan y = f(x)? | Derivata

Answer 52

y - f(a) = -(x-a)/f'(a)

Question 53

Vad är tangenten till kurvan y = f(x)? | Derivata

Answer 53

y - f(a) = f'(a)(x-a)

Question 54

Hur lyder medelvärdessatsen? | Derivata

Answer 54

Antag att funktionen f är kontinuerlig på det slutna intervallet [a,b] och deriverbar på det öppna intervallet ]a,b[. Då finns det minst en punkt ξ, a < ξ < b, sådan att: f'(ξ) = k = dy/dx = (f(b)-f(a))/(b-a)

Question 55

Antag att f är deriverbar på intervallet I. Vad innebär: f'(x) = 0 f'(x) ≥ 0 f'(x) ≤ 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 | Derivata

Answer 55

1. Konstant på I 2. Växande på I 3. Avtagande på I 4. Strängt växande på I 5. Strängt avtagande på I

Question 56

Hur lyder binomialsatsen?

Answer 56

(a+b)^n = ∑(n k)a^(n−k)b^k Då Σ är från k = 0 till n och där (n k) = n!/k!(n - k)!; (n över k)

Question 57

Härled derivatan av funktionen y = arctan(x), d.v.s. (arctanx)′ = 1/(x^2 + 1).

Answer 57

y = arctan(x) ⇒ x = tan(y) d/dx(x) = d/dx(tan(y)), derivera båda i avseende med x innebär då: d/dx(x) = 1 d/dx(tan(y)) = (behöver kedjeregeln) Kedjeregeln får det att bli: 1 + tan^2y dy/dx. 1 = 1 + tan^2y dy/dx = 1/(1+tan^2y) = dy/dx = 1/(1+x^2) = dy/dx

Question 58

Enkel metodik att veta om något integreras till en arctan funktion?

Answer 58

Kolla om nämnaren liknar: x^2 + a^2 eller (bx)^2 + a^2 Då blir funktionen: 1/a ⋅ arctan(1/a)