Vm Flashcards
(38 cards)
Selitä mikä on determinantti ja mihin sitä tarvitaan?
Determinantti on luku, joka kertoo onko matriisi kääntyvä. Determinantti on määritelty vain neliömatriiseille. Jos determinantti on erisuuri kuin nolla, niin matriisi on kääntyvä, jolloin yhtälölle löytyy yksikäsitteinen ratkaisu ja matriisin sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat. Lisäksi jos matriisia ajatellaan kuvauksena, niin determinantti kertoo kuinka paljon kuvaus muuttaa kuvioiden pinta-aloja. Determinantin itseisarvo on R2-avaruudessa suunnikkaan pinta-ala. Determinanttia tarvitaan matriisin kääntyvyyden määrittämiseen sekä ominaisarvojen laskemiseen.
determinantin ominaisuuksia:
Jos matriisi on kolmiomatriisi, niin detrminantti on lävistäjäalkioiden tulo. Det(AB)=Det(A)*Det(B)
determinantin voi laskea gaussin eliminointijärjestelmän avulla, miten?
Muodosta rref-muoto ja laske lävistäjäalkioiden tulo. Jos vaihdoit menetelmän aikana rivien paikkaa, vaihtuu determinantin +/- merkki ja jos kerroit riviä reaaliluvulla, täytyy lopussa dterminantti kertoa samalla luvulla
Määrittele matemaattisesti ominaisarvot, ominaisvektorit ja ominaisavaruus
Oletetaan, että A on neliömatriisi. Luku lambda on matriisin A ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v, että Av=(lambda)*v, kun v ei ole nolla. Tässä v on ominaisvektori, lambda ominaisarvot ja ominaisavaruus koostuu kaikista vektoreista v. Matriisin ominaisvektorit pysyvät virittämällään suorallaan, kun niitä kerrotaan matriisilla A, eli matriisilla kertominen vaikuttaa vektoriin samalla tavalla kuin skalaarilla kertominen
Selitä geometrisesti ominaisvektorit, ominaisarvot ja ominaisavaruus
Geometrisesti ominaisvektori tarkoittaa suuntaa, joka säilyy samana tai vastakkaisena sovellettaessa lineaarikuvausta A, eli kerrottaessa matriisilla A. Ominaisarvo kuvaa venytys/kutistus suhdetta, eli se on kerroin jolla kuvavektori kutistuu/kasvaa. Ominaisavaruus on joukko ominaisvektoreita, joilla on sama ominaisarvo
Selitä termit geometrinen kertaluku ja algebrallinen kertaluku
geom.= vastaavan ominaisavaruuden dimensio ja alg.= kuinka montaa kertaa ominaisarvo on karakteristisen poynomin juuri.
Mistä saadaan ominaisarvoihin liittyvä laskukaava det(A-lambda*I)v=0?
Yhtälöllä (A-lambdaI)v=0 on aina triviaaliratkaisu v=0, mutta se ei kelpaa ominaisvektoriksi. Nyt hyödynnetään determinanttia, koska halutaan löytää epätriviaaliratkaisu ja se löytyy silloin kun (A-lambdaI) ei ole kääntyvä, eli kun determinantti on nolla
Milloin matriisi on diagonalisoituva?
Silloin kun matriisilla on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria ja sillon kun sen geom. ja algeb. luvut ovat samat.
Miten lasket diagonalisoinnin?
Kaava on A=PDP^-1, missä P on ominaisvektoreista koostuva matriisi, D on ominaisarvoista koostuva matriisi ja P^-1 on P:n käänteismatriisi
Mitä tarkoitetaan virittämisellä?
Vektorit virittävät vektoriavaruuden, jos jokainen vektoriavaruuden alkio voidaan kirjoittaa näiden vektoreiden lineaarikombinaationa
Mikä on aliavaruus?
Aliavaruus on avaruuden sisällä oleva pienempi avaruus, jonka vektorit voivat virittää, mikäli ne eivät koko avaruutta viritä. Ne ovat origon kautta kulkevia suoria tai tasoja.
Miten aliavaruutta merkitään?
W=span(v1,v2,…)
Mitä ehtoja aliavaruuden vektorit täyttävät?
1) jos u ja v kuuluvat W, niin u+v kuuluu W
2) cu ja cv kuuluvat W
3) nollavektori kuuluu W
Mitä tarkoitetaan lineaarisella riippumattomuudella?
vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia kun niiden lineaarikombinaatio ei sisällä turhia vektoreita, eli annettu vektorijoukko ei sisällä vektoreita, joita voidaan ilmaista toisten vektoreiden avulla, koska ne eivät tuo mitään uutta avaruuteen
mikä on kanta?
kanta koostuu vektorijoukosta, joka virittää avaruuden/aliavaruuden ja ovat lineaarisesti riippumattomia
Milloin joukko (v1,v2..) on vektoriavaruuden kanta?
Silloin kun jokainen avaruuden vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden v1,v2.. lineaarikombinaationa
Mikä on dimensio?
avaruuden kannan vektorien lukumäärä
Mikä on sarakeavaruus?
On yhtälön Ax=b ratkaisut, eli kun matriisilla A kerrotaan vektoreita, saadaan tulokseksi toisia vektoreita ja kaikki mahdolliset tulosvektrorit muodostavat sarakeavaruuden joukon. Sarakeavaruus on sarakkeiden virittämä aliavaruus
Mikä on kuva-avaruus?
Se on toinen nimi sarakeavaruudelle. Jos matriisia ajattelee kuvauksena, sarakeavaruus koostuu kaikista maalijoukon vektoreista, joille kuvautuu jotain
Mikä on nolla-avaruus?
Koostuu yhtälön Ax=0 ratkaisuista, eli matriisin A nolla-avaruus koostuu kaikista niistä vektoreista, joilla kertomalla saadaan nollavektori.
sarakeavaruuden kanta ja dimensio?
kannan muodostavat rref muodossa olevan matriisin ne sarakkeet joissa on johtava alkio ja dimensio on sama kuin matriisin aste eli johtavien ykkösten lkm.
nolla-avaruuden dimensio?
Dimensiolauseen mukaan Dim(NA)+rank(A)=n
Mitä pistetulon avulla voidaan laskea?
vektorin pituus eli normi ja vektoreiden välinen kulma ja normaalivektori
Mitä pistetulo kertoo?
Pistetulo kertoo kuinka paljon vektorit osoittavat samaan suuntaan; jos pistetulo on positiivinen, niin vektorit osoittavat lähes samaan suuntaan ja jos pistetulo on negatiivinen, vektorit osoittavat eri suuntiin
