Wie lassen sich hieraus inferenzstatistische Methoden ableiten?

Question 1

Neuformulierung des zu lösenden Problems (jetzt in die Inferenzstatistik verschoben)

Answer 1

Im Falle von einfachen Zufallsstichproben lassen sich Aussagen über Populationen auf Aussagen über Parameterwerte von Wahrscheinlichkeitsverteilungen verschieben (Verschiebung des Problems des Rückschlusses von der Stichprobe auf die Population in die Wahrscheinlichkeitstheorie)

→immer noch unklar, wie man von Stichproben zu Aussagen über Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen gelangt → Gegenstand d. Inferenzstatistik

Question 2

Zwei Gebiete der Inferenzstatistischen Methoden

Answer 2

Inferenzstatistische Methoden lassen sich, je nach Fragestellung, d.h. je nach Art der Aussage, die über einen Parameter getroffen werden soll, zwei Gebieten zuordnen:

• Parameterschätzung:
• Fragestellung: Welchen konkreten Wert hat ein Parameter (z.B. p bzw. μ, σ²)
• Resultate von Parameterschätzungen sind konkrete Zahlen oder Intervalle.
• Statistische Hypothesentests:
• Fragestellung: Entspricht ein Parameter einem vorgegebenen Wert oder liegt er in einem vorgegebenen Bereich? (Beispiele: Ist p=0.5 ? , Ist μ=100 ? , Ist σ²>10 ?)
• Das Resultat eines statistischen Hypothesentests ist eine Ja/Nein-Antwort.

Question 3

Parameterschätzung:

1. Ziel der Parameterschätzung
2. Unterscheidung in Punktschätzung und Intervallschätzung

Answer 3

1. Auf der Basis einer einfachen Zufallsstichprobe eine Aussage darüber machen, welchen konkreten Wert ein Parameter hat.
2. Man unterscheidet in der Parameterschätzung zwischen

• Punktschätzung (Ergebnis einer Punktschätzung ist eine konrete Zahl)
• Intervallschätzung (Ergebnis einer Intervallschätzung ist ein Intervall von Zahlen)

Question 4

Wiederholung Zusammenhang deskriptivstatistische Maßzahlen in einer Population - Parameterwerte der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsvariable I: Vorgehen

Answer 4

Wir interessieren uns für eine deskriptivstatistische Maßzahl in einer Population (Beispiel I: h_D der Depression i. d. Populatio; Beispiel II: x̄ Mittelwert und s²_empIQ empirische Standardabweichung des IQs in der Population)

• Wir ziehen eine einfache Zufallsstichprobe und betrachten die iid Zufallsvariablen X₁, X₂, … , X_n, mit ihren Realisationen x₁, x₂, …, x_n (Messwerte der Personen in der Stichprobe).
• Diese ZVs weisen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf, deren Parameter jeweils den uns interessierenden deskriptivstatistischen Maßzahlen in der Population entsprechen (Beispiel I: p=h_D; Beispiel II: μ=x̄ und σ²=s²_empIQ)

Aussagen über Parameter sind im Fall von einfachen Zufallsstichproben gleichbedeutend mit Aussagen über die uns eigentlich interessierenden deskriptivstatistischen Maßzahlen in der Population

Question 5

Wiederholung Zusammenhang deskriptivstatistische Maßzahlen in einer Population - Parameterwerte der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsvariable II: Fazit

Answer 5

Aussagen über Parameter sind im Fall von einfachen Zufallsstichproben gleichbedeutend mit Aussagen über die uns eigentlich interessierenden deskriptivstatistischen Maßzahlen in der Population.

Question 6

Schätzwertbestimmung Ansatz/Idee

Answer 6

Wir wollen auf Basis der Realisationen der ZVs für jeden Parameter jeweils einenSchätzwert bestimmen, d.h. einen Wert, von dem wir auf der Basis unserer Stichprobe davon ausgehen, dass er „möglichst nahe“ an dem wahren Parameterwert bzw. dem wahren Wert der Maßzahl in der Population liegt.

→Idee: Wir verwenden als Schätzwert einfach die entsprechende deskriptivstatistische Maßzahl in der Stichprobe.

Question 7

Schätzfunktion

Answer 7

• Das Ziehen einer einfachen Zufallsstichprobe ist ein Zufallsexperiment →Jedes Mal würde aufgrund der zufälligen Ziehung der Personen ein zufälliger anderer

Schätzwert resultieren/die Stichprobe unterliegt Zufallsschwankungen

• Ein Schätzwert ist eine konkrete Zahl und kann für jede dieser Stichproben aus den Realisationen x₁, x₂, …, x₂ der iid Zufallsvariablen X₁, X₂, …, Xn berechnet werden

→ aus der Zufälligkeit der Stichprobenziehung ergibt sich die Zufälligkeit der Schätzwerte

→Wir können also eine Zufallsvariable definieren, die jedem möglichen Ergebnis des Zufallsexperiments – also jeder möglichen Stichprobe, den aus ihr berechneten Schätzwert zuweist ⇒ Schätzfunktion (der konkrete Schätzwert ist dann die Realisation dieser Schätzfunktion)

Question 8

Schätzfunktionen 2 Bemerkungen

Answer 8

Bemerkung I:

• Schätzwerte sind Funktionen der Realisationen x_i der Zufallsvariablen Xi
• Schätzfunktionen sind Funktionen der Zufallsvariablen X_i selbst

Bemerkung II:

Schätzfunktionen sind Zufallsvariablen, die allein dadurch zu Schätzfunktionen für einen Parameter werden, dass man sie zur Schätzung für diesenParameter verwendet. Das heißt aber natürlich nicht, dass es sich dann automatisch um gute Schätzfunktionen für diesen Parameter handelt.

Question 9

(Schätzfunktion Beispiel I)

Answer 9

Question 10

(Schätzfunktion Beispiel II)

Answer 10

Question 11

Notation Schätzwerte

Answer 11

Question 12

Unterscheidung Parameter, Schätzfunktion, Schätzwerte

Answer 12

(Wir werden in der Inferenzstatistik noch sehr häufig der folgenden Situation begegnen:)

• Wir interessieren uns für einen Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
• Für diesen Parameter bestimmen wir eine Schätzfunktion.
• Wir ziehen eine einfache Zufallsstichprobe, in der sich die Schätzfunktion in einem konkreten Schätzwert für den Parameter realisiert.