Элементы аналитической геометрии Flashcards
Уравнение плоскости в векторной форме
(n, r - r0) = (n, r) - (n, r0) = 0, где n - нормальный вектор плоскости, (r - r0) - вектор, принадлежащий плоскости, где r и r0 - векторы, концы которых лежат на плоскости, а начала совпадают.
Нормальное уравнение плоскости
A(x - x0) + B(y - y0) + c(z - z0) = 0, где (x0; y0; z0) - координаты фиксированной точки, принадлежащей плоскости, (x; y; z) - координаты текущей точки, принадлежащей плоскости, (A; B; C) - координаты нормального вектора плоскости.
Доказательство:
n = (A; B; C) - нормальный вектор;
r-r0 = (x - x0; y - y0; z - z0) - вектор, лежащий в плоскости;
n * (r - r0) = 0 = A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) - скалярное произведение векторов в ортогональном базисе.
Общее уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0, где D = -Ax0 -By0 - Cz0, (x0; y0; z0) - координаты фиксированной точки, принадлежащей плоскости, (x; y; z) - координаты текущей точки, принадлежащей плоскости, (A; B; C) - координаты нормального вектора плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках
x/a + y/b + z/c = 1, где a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C, D = -Ax0 -By0 - Cz0, (x0; y0; z0) - координаты фиксированной точки, принадлежащей плоскости, (x; y; z) - координаты текущей точки, принадлежащей плоскости, (A; B; C) - координаты нормального вектора плоскости.
Векторно-параметрическое уравнение прямой
r-r0 = st; r = r0 + st, где s - направляющий вектор, r-r0 - направляющий вектор, лежащий на прямой, t - коэффициент между векторами s и r-r0, r и r0 - векторы, концы которых лежат на прямой, а начала совпадают.
Направляющий вектор прямой
Вектор, параллельный данной прямой
Параметрические уравнения прямой
Система: x = x0 + mt; y = y0 + nt; z = z0 + pt. Где (x0; y0; z0) - координаты фиксированной точки на прямой, (x; y; z) - координаты конечной точки, (m; n; p) - координаты направляющего вектора, t - коэффициент. Доказательство: r - r0 = st, где s - направляющий вектор, r-r0 - направляющий вектор, лежащий на прямой, t - коэффициент между векторами s и r-r0, r и r0 - векторы, концы которых лежат на прямой, а начала совпадают. r - r0 = (x - x0; y - y0; z - z0); s = (m; n; p).
Канонические уравнения прямой
(x - x0)/m = (y - y0)/n = (z - z0)/p = t.
Где (x0; y0; z0) - координаты фиксированной точки на прямой, (x; y; z) - координаты конечной точки, (m; n; p) - координаты направляющего вектора, t - коэффициент.
Общее уравнение прямой
Система: A1 * x + B1 * y + C1 * z + D1 = 0;
A2 * x + B2 * y + C2 * z + D2 = 0.
Где (A1; B1; C1) и (A2; B2; C2) - координаты нормальных векторов плоскостей.
Доказательство:
Две плоскости при пересечении дают прямую, поэтому уравнения двух плоскостей - это уравнение прямой.
Каноническое уравнение прямой на плоскости (простейшее уравнение прямой)
y = k * x + b, где k = n/m, b = y0 - k * x0.
Образовано из: (x - x0)/m = (y - y0)/n.
Угол между плоскостями
cosφ = cos(n1^n2) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|), где n1 и n2 - нормальные векторы плоскостей.
Угол между прямыми
cosφ = cos(s1^s2) = (s1 * s2) / (|s1| * |s2|) = (m1 * m2 + n1 * n2 + p1 * p2) / √((m1m1 + n1n1 + p1p1)(m2m2 + n2n2 + p2*p2)), где s1 и s2 - направляющие векторы.
Угол между прямыми
cosφ = cos(s1^s2) = (s1 * s2) / (|s1| * |s2|) = (m1 * m2 + n1 * n2 + p1 * p2) / √((m1m1 + n1n1 + p1p1)(m2m2 + n2n2 + p2*p2)), где s1 и s2 - направляющие векторы.
Пересекающиеся прямые
(M1M2, s1, s2) = 0 и
s1 ⨯ s2 ≠ 0 или m1/m2 ≠ n1/n2 ≠ p1/p2.
где s1 и s2 - направляющие векторы и (m1 ; n1; p1), (m2; n2; p2) соответственно их координаты, M1M2 - вектор, соединяющий прямые (т. M1 - находится на первой прямой т. M2 - на второй).
Параллельные прямые
(M1M2, s1, s2) = 0 и
s1 ⨯ s2 = 0 или m1/m2 = n1/n2 = p1/p2 и
точка, принадлежащая одной прямой, не принадлежит другой.
где s1 и s2 - направляющие векторы и (m1 ; n1; p1), (m2; n2; p2) соответственно их координаты, M1M2 - вектор, соединяющий прямые (т. M1 - находится на первой прямой т. M2 - на второй).
