13 Goodness of fit (GOF) tests

Question 1

(D) Chi-square GOF test: Teststatistik, Verteilung, Nullhypothese, R-Befehl (4)

Answer 1

1. Teststatistik
   Tn = ∑ (Nj - npj)^2 / npj
2. Verteilung
   annähernd Chi-^2-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden (sample size 5 => 4 degrees of freedom)
3. Nullhypothese
   H0: F = G
4. R command
   chisq. test(x (observed), p=p0 (expected))

Question 2

(A) Schritte bei Chi-square GOF-Test (4)

Answer 2

1. Daten: angebliche Verteilung + Beobachtungen
2. Ewartete Anzahl bestimmen
3. Klassenbedingung überprüfen
4. chisq.test(x,p=p0)

Question 3

(A) Steigung und Achsenabschnitt beim QQ-Plot

Answer 3

Die Verteilungen stimmen überein, wenn die Daten auf der Diagonale liegen. Die Diagonale ist die Gerade mit Steigung 1 und Achsenabschnitt 0.

Question 4

Shapiro-Wilk-Test (Beschreibung, Testentscheidung, Schwachstellen) (4)

Answer 4

1. Beschreibung
   - liegt Daten irgendeine Normalverteilung zugrunde? (= man testet gegen ganze Klasse von Verteilungen)
   - QQ-Plot gegen die Standard-Normalverteilung
   - Ausgleichsgerade hat Steigung \sigma und Achsenabschnitt µ
2. Test: quadrierte Steigung durch geschätzte Varianz muss Nahe an 1 liegen, damit Test erfolgreich.
3. Schwachstellen: Nicht robust gegen unsaubere Daten (Ausreißer, etc.)

Question 5

(A) Verteilung simulieren

Answer 5

Wir wollen die Verteilung einer Teststatistik simulieren. Wie gehen wir vor?

1. for-Schleife mit vielen Wiederholungen (≥1000)
2. jedes Mal aufs Neue den Wert der Teststatistik bestimmen
3. verschiedenen Werte der Teststatistik haben Verteilung
4. Verteilung mithilfe QQ-Plot ausfindig machen

Question 6

binned Chi^2-GOF

Answer 6

1. Fall: stetige Zufallsvariable (z.B. X ~ N(0,1))
   - dann müssen wir den Wertebereich von X in Intervalle unterteilen
   - z.B.: I1 = (-∞,-2], I2 = (-2, -1], …, I6 = (2, ∞)

Question 7

(A) Verteilung normalverteilter Daten in einem Histogramm überprüfen

Answer 7

x=rnorm(1000)
hist(x,breaks=30,prob=TRUE)
curve(dnorm(x),add=TRUE)

Question 8

Chi^2-GOF,

=CIP12 (1-4)

Answer 8

1. Chi^2-GOF-Test für Binomialverteilungen
   - wir simulieren Verteilung der Teststatistik für Binomialverteilung
   - Plug-in Schätzung für p reduziert df auf n-1
2. binned Chi^2-GOF-Test
   - falls einer der drei Fälle auftritt
   - Aufgabe: mit binned Chi^2-GOF-Test überprüfen, ob Daten von Normalverteilung kommen (1. Wertebereich unterteilen(1), 2. Klassenbedingung überprüfen, 3. chisq(x,p=expected))
3. Chi^2-Test auf Unabhängigkeit
   - …
   - wir überprüfen Verteilung von … mit Histogramm und qqPlot
   - chisq.test(M)
4. Run-Test auf Unabhängigkeit
   x=sample(c(0,1),replace=TRUE,20)
   runs.test(as.factor(x))